溫丹華，　鄭道都

(1.鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院　河南 鄭州 450044； 2.商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院　河南 商丘 476000)

?

一個新型的帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程

溫丹華1，鄭道都2

(1.鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院河南 鄭州 450044； 2.商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院河南 商丘 476000)

摘要：通過引進(jìn)關(guān)于自變量y的任意函數(shù)，利用源生成法構(gòu)造了一個新型的帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程.

關(guān)鍵詞：變系數(shù)(3+1)維KP方程； 源生成法； Hirota方法

0引言

自上世紀(jì)八十年代起，如何構(gòu)造和求解帶自相容源的孤子方程成為學(xué)者關(guān)心的一個重要問題，文獻(xiàn)[1—3]提出的源生成法是解決這類問題行之有效的方法.文獻(xiàn)[4]給出了變系數(shù)(3+1)維KP方程的Wronskian和Grammian解，文獻(xiàn)[3]利用源生成法給出了一個關(guān)于自變量t的普通類型的帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程.

本文用源生成法來構(gòu)造和求解一個關(guān)于自變量y的新型的帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程，首先考慮變系數(shù)(3+1)維KP方程

(ut+s(t)uux+m(t)uxxx)x+h1(t)uyy+h2(t)uzz=0，

(1)

(2)

其中D是Hirota雙線性算子，且方程(2)有Grammian解[4—5]，

fN=det(aij)1≤i≤j≤N，aij=δij+∫xφiφjdx，δij=constant，

(3)

其中函數(shù)φi、ψj滿足如下關(guān)系：

φiy=c1(t)φixx；φiz=c2(t)φixx；φit=-4m(t)φixxx，

(4)

ψjy=-c1(t)ψjxx；ψjz=-c2(t)ψjxx；ψjt=-4m(t)ψjxxx，

(5)

1一個新型的帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程

根據(jù)源生成法的步驟，對(3)式中的函數(shù)f作如下改變，

fN=det(aij)1≤i≤j≤N，

(6)

f=pf(1,2,…,N,N*,…,2*,1*)≡f(·)，

其中pfaff式的元素定義為

此時，引進(jìn)新的函數(shù)Gj和Hj，其定義如下：

(7)

(8)

(9)

上述實(shí)證檢驗(yàn)的結(jié)果表明，研發(fā)投入和營銷投入對公司主營業(yè)務(wù)利潤的影響既有共性又有個性。共性在于，研發(fā)投入和營銷投入對主營業(yè)務(wù)利潤的影響都具有一定的滯后效應(yīng)；個性在于，研發(fā)投入對主營業(yè)務(wù)利潤的滯后效應(yīng)是正向的，而營銷投入對于主營業(yè)務(wù)利潤的滯后效應(yīng)是負(fù)向的。

(10)

(11)

其中：

定理1式(6)、(8)、(9)所定義的函數(shù)f、Gj、Hj滿足以下雙線性方程：

(12)

Dxkj·f+GjHj=0，

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

證明利用pfaff式技巧和色散關(guān)系式(4)和式(5)，得如下的微分公式：

把以上微分公式代入雙線性方程(12)中，得到pfaff恒等式的和：

由此說明方程函數(shù)(12)成立.

同理可證函數(shù)f、Gj和Hj滿足雙線性方程(13)～(19).

因此方程(12)～(19)構(gòu)成了雙線性的新型的帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程，而式(6)、(8)和(9)中定義的函數(shù)f、Gj、Hj就是方程(12)～(19)的行列式解.

則式(12)～(19)轉(zhuǎn)化為非線性發(fā)展方程：

(ut+s(t)uux+m(t)uxxx)x+h1(t)uyy+h2(t)uzz=

χjx+φjψj=0，

其中j=1,2,…,K.此方程即是新型的帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程.

參考文獻(xiàn)：

[1]HU X B, WANG H Y. New type of KP equation with self-consistent sources and its bilinear transformation[J]. Inverse problems, 2007,23(4):1344—1444.

[2]王紅艷，胡星標(biāo).帶自相容源的孤立子方程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008:16—21.

[3]溫丹華，趙曉焱. 一個帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程 [J].鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2014,46(1):21—24.

[4]徐娟.變系數(shù)(3+1)維KP方程的Wronskian和Grammian解[J].溫州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013,34(1):13—17.

[5]孟祥華. 基于符號計算的光纖通信等若干領(lǐng)域中變系數(shù)非線性模型的研究[D].北京：北京郵電大學(xué)，2009：124—125.

(責(zé)任編輯：方惠敏)

A New (3+1) Dimensional KP Equation with Variable Coefficients with Self-consistent Source

WEN Danhua1，ZHENG Daodu2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics，ZhengzhouNormalUniversity,Zhengzhou450044,China;2.Shangqiupolytechnic,Shangqiu476000,China)

Abstract:A new (3+1) dimensional KP equation with variable coefficients with self-consistent source was constructed with source generation procedure.

Key words:(3+1) dimensional KP equation with variable coefficients；source generation procedure；Hirota bilinear method

收稿日期:2015-07-01

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10871186).

作者簡介:溫丹華(1986—)，女，助教，碩士，主要從事孤立子與可積系統(tǒng)研究，E-mail: wendahua@126.com.

中圖分類號：O175.29

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1671-6841(2016)01-0037-04

DOI:10.3969/j.issn.1671-6841.201507003

引用本文：溫丹華，鄭道都.一個新型的帶自相容源的變系數(shù)(3+1)維KP方程[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2016，48(1)：37—40.