楊　鵬

(西京學院 應(yīng)用統(tǒng)計與理學系　陜西 西安 710123)

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Heston模型下最優(yōu)投資-消費策略選擇

楊鵬

(西京學院 應(yīng)用統(tǒng)計與理學系陜西 西安 710123)

摘要：在隨機金融市場模型中，研究了最優(yōu)投資-消費策略選擇問題.隨機金融市場由無風險資產(chǎn)和風險資產(chǎn)構(gòu)成，在風險資產(chǎn)的方差滿足Heston模型下，求得最優(yōu)投資-消費策略最大化終端財富和累積消費的期望折現(xiàn)效用.在冪效用函數(shù)情形下，通過求解值函數(shù)滿足的Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程，得到了最優(yōu)投資-消費策略以及值函數(shù)的顯式解.

關(guān)鍵詞：Heston模型； HJB方程； 冪效用； 投資策略； 消費策略

0引言

應(yīng)用隨機控制理論研究最優(yōu)投資-消費策略選擇是數(shù)理金融中的一個熱點問題[1—4].文獻[1]首次研究了投資-消費問題，假設(shè)投資者的資產(chǎn)可以在消費和投資之間進行分配，目標是在時間區(qū)間[0,T]或[0,∞)上尋求最優(yōu)的投資-消費策略和值函數(shù)的顯式解.文獻[2]研究了不完備市場上的投資-消費問題.文獻[3]研究了財富有限制情形的投資消費問題.文獻[4]研究了帶比例交易費用的投資-消費問題.文獻[5]研究了投資-消費問題，假設(shè)在金融市場上含有多個風險資產(chǎn)，給出了比較好的數(shù)值解.文獻[6]應(yīng)用隨機脈沖理論研究投資-消費問題.上述對最優(yōu)投資-消費問題的研究，都假設(shè)金融資產(chǎn)滿足Black-Scholes模型，很多學者在研究最優(yōu)投資問題時都對Black-Scholes模型進行了推廣.文獻[7]研究了CEV模型下基于確定繳費型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資.文獻[8] 在O-U模型下，研究了基于確定繳費型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資.文獻[9]在Heston模型下基于確定繳費型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資.文獻[10]在Heston模型下研究了保險公司的最優(yōu)投資和再保險，文獻[11]在Ho-Lee利率模型下研究了最優(yōu)投資-消費問題.本文致力于研究Heston模型下，最優(yōu)投資-消費策略選擇問題.關(guān)鍵是求解值函數(shù)滿足的HJB方程，根據(jù)邊界條件構(gòu)造了解的形式，求得值函數(shù)和最優(yōu)投資-消費策略的顯式解.

1市場模型

假設(shè)所有的隨機變量和過程都定義在完備的概率空間(Ω,F,P),滿足Ft右連續(xù)且P-完備.假設(shè)沒有交易費用，資產(chǎn)是無窮可分的，在概率空間(Ω,F,P)上定義兩個標準布朗運動W1(t)和W2(t)，兩個標準布朗運動的相關(guān)系數(shù)為ρ，即t=ρt.

一個金融市場由兩個金融資產(chǎn)組成：一個是無風險資產(chǎn)(債券)，時刻t的價格為Bt；另一個為風險資產(chǎn)(股票)，時刻t的價格記為S(t).Bt滿足方程dBt=rBtdt，這里常數(shù)r>0為無風險資產(chǎn)的利率，B0=1.假設(shè)風險資產(chǎn)的收益和方差都是隨機的，即S(t)滿足下面的Heston模型

(1)

其中k是一個正常數(shù)，η(t)滿足下面的CIR模型,

設(shè)時刻t在風險資產(chǎn)上的投資金額為π(t)，投資者的總財富為X(t)，則在無風險資產(chǎn)上投資的金額為X(t)-π(t).以c(t)表示投資者在t時刻的消費率，則考慮投資、消費后，財富過程X(t)滿足下面的隨機微分方程

(2)

定義1一策略θ(·)=(c(·),π(·))稱為可行的，如果θ(·)關(guān)于流{Ft}是可料的，且對于任意時刻t≥0,過程θ(·)滿足下面的條件：

3) 式(2)對于θ(t)有唯一的強解,所有可行策略記為Θ.

2Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程

假設(shè)投資者的目的是在區(qū)間[0,T]和最終時刻T最大化期望折現(xiàn)消費效用.記Vθ(t,η,x)是時刻t在投資-消費策略θ(t)=(c(t),π(t))和盈余為x，η(t)=η時的值函數(shù)，即

(3)

其中：u1(x)和u2(x)是2個二次可微、單調(diào)增加的凹的效用函數(shù);a∈[0,1]為常數(shù);參數(shù)β是折現(xiàn)率;u1(x)是度量消費的效用函數(shù);u2(x)是度量最終財富的效用函數(shù).本文假設(shè)消費效用和最終財富的效用是相互獨立的,研究目標是尋找到值函數(shù)

(4)

和最優(yōu)的策略θ*使得

V(t,η,x)=Vθ*(t,η,x).

(5)

與文獻[12—13]類似，應(yīng)用隨機控制理論，易得值函數(shù)V(t,η,x)滿足下面的定理1和定理2.

定理1假設(shè)由(4)式，V關(guān)于變量t是連續(xù)可微的函數(shù)，同時關(guān)于x,η的二階連續(xù)可微的函數(shù)，則V滿足下面的HJB方程

ρσπ(t)η(t)Vxη+ae-βtu1(c(t))-c(t)Vx}=0,

(6)

邊界條件

V(T,η,x)=(1-a)e-βTu2(x).

(7)

這里Vt、Vx、Vxx分別記作:V關(guān)于t的一階導數(shù)，關(guān)于x的一階導數(shù)，關(guān)于x的二階導數(shù)，Vη、Vηη分別是關(guān)于η的一階導數(shù)、二階導數(shù).

定理2設(shè)W∈C2是HJB方程(6)的解，是單調(diào)遞減的凹函數(shù)，且滿足邊界條件式(7).則式(4)定義的V恰好等于W，進一步設(shè)θ*使下式成立,

ρσπ*(t)η(t)Vxη+ae-βtu1(c*(t))-c*(t)Vx=0,

則θ*(·)是最優(yōu)策略，即W(t,x)=V(t,x)=Vθ*(t,x).(6)式在π*(t)、c*(t)處取得最大值，且滿足下式

(8)

(8)式代入(6)式得

ae-βtu1(c*(t))-c*(t)Vx=0.

(9)

下面將求解(9)式，得到值函數(shù)的顯式解，進一步得到最優(yōu)投資-消費策略的顯式解.

3最優(yōu)投資-消費策略及值函數(shù)

引理1n(t)滿足如下的Rieeati方程

(10)

則方程(10)的解為：

1) 當Δ>0時，

2) 當Δ=0時，

3) 當Δ<0時，

其中：

1) 當Δ>0時,方程(10)可變形為

(11)

(12)

式(12)兩端在[t,T]上求積分，注意n(T)=0，即可求出n(t).

2) 當Δ=0時，方程(10)可變形為

(13)

(14)

式(14)兩端在[t,T]上求積分，注意n(T)=0，即可求出n(t).

引理2m(t)滿足常微分方程

m′(t)+m(t)[l3+bn(t)]=0,m(T)=1,

(15)

則方程(15)的解為

引理3設(shè)

(16)

若g(t,η)∶=g滿足方程

(17)

(18)

且

(19)

n(t)、m(t)分別滿足引理1和引理2.

，

則(17)式可寫為gt+.應(yīng)用(16)式，(17)式可寫成

(20)

又因為

(21)

所以(20)式等于(21)，因此

也就是

(22)

(23)

要使(23)式成立，則

通過前面3個引理的準備，下面就可以求解方程(9)了,由邊界條件式(7)，可設(shè)方程(9)有如下形式的解

(24)

所以，有

代入方程(9)有

上式消除對x的依賴，得到

(25)

(25)式很難直接求解，需要進行轉(zhuǎn)化，設(shè)

f(t,η)=[g(t,η)]1-γ,

(26)

所以

代入(25)式，得到

上式為零，即(17)成立，通過引理3即可求得g(t,η)，進一步就可以表示出V(t,η,x).

通過上述討論，得到下面的定理.

定理3對于財富過程(2)最優(yōu)的投資策略為

(27)

最優(yōu)的消費策略為

(28)

相應(yīng)的值函數(shù)為

(29)

其中：

n(t),m(t)分別滿足引理1和引理2.

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(責任編輯：方惠敏)

Optimal Investment-consumption Policies Selection for Heston Model

YANG Peng

(DepartmentofAppliedStatisticsandScience,XijingUniversity,Xi’an, 710123,China)

Abstract:The optimal investment-consumption policies selection problems were studied with stochastic financial market. In stochastic financial market, assets are composed of risk-free and risky asset, and the volatility of the risky asset was described by a Heston model. Optimal investment-consumption policies which maximize the expected discounted utility of terminal wealth and accumulative consumption was found. By solving the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, closed-form solutions for the value function as well as the investment-consumption policies in the power utility function case are obtained.

Key words:Heston model； HJB equation； Power utility； Investment policy； Consumption policy

收稿日期:2015-07-23

基金項目:陜西省教育廳專項科研計劃項目(15JK2183).

作者簡介:楊鵬(1983—)，男，山東臨沂人，講師，主要從事風險理論和數(shù)理金融的研究，E-mail:yangpeng511@163.com.

中圖分類號：F830；O211.6

文獻標志碼：A

文章編號：1671-6841(2016)01-0017-06

DOI:10.3969/j.issn/1671-6841.201507035

引用本文:楊鵬.Heston模型下最優(yōu)投資-消費策略選擇[J]．鄭州大學學報(理學版)，2016，48(1)：17—22.