渠英

圖形運(yùn)動(dòng)問題是綜合性比較強(qiáng)的問題，也是中考的熱點(diǎn)，因此備受關(guān)注. 它需要以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來處理問題，在解題中，要通過實(shí)驗(yàn)、操作、觀察和想象的方法掌握運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，在圖形的運(yùn)動(dòng)中找到不變量，然后解決問題. 下面結(jié)合2015年河北省壓軸題給出其解題思路，幫助同學(xué)們加深理解.

（2015·河北）平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延長(zhǎng)DA和QP交于點(diǎn)O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤60°）.

發(fā)現(xiàn)：

（1） 當(dāng)α=0°，即初始位置時(shí)，點(diǎn)P_____直線AB上. （填“在”或“不在”）

求當(dāng)α是多少時(shí)，OQ經(jīng)過點(diǎn)B.

（2） 在OQ旋轉(zhuǎn)過程中，簡(jiǎn)要說明α是多少時(shí)，點(diǎn)P，A間的距離最??？并指出這個(gè)最小值.

（3） 如圖2，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在BC邊上時(shí)，求α及S陰影.

拓展：如圖3，當(dāng)線段OQ與CB邊交于點(diǎn)M，與BA邊交于點(diǎn)N時(shí)，設(shè)BM=x（x>0），用含x的代數(shù)式表示BN的長(zhǎng)，并求x的取值范圍.

探究：當(dāng)半圓K與矩形ABCD的邊相切時(shí)，求sinα的值.

【思路突破】

發(fā)現(xiàn)（1）思路突破：

延長(zhǎng)AB交直線OP于E，因?yàn)镺A=1，∠O為60°，可求OE的長(zhǎng)度等于2，即點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，所以點(diǎn)P在直線AB上；當(dāng)OQ經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖4，由△AOB是等腰直角三角形，可知∠AOB為45°，所以旋轉(zhuǎn)角α為15°.

發(fā)現(xiàn)（2）思路突破：

拓展思路突破：

如圖3，由∠ANO=∠BNM，則tan∠ANO=tan∠BNM，=，BN=.如圖6，因?yàn)镺C>OD=OQ，所以當(dāng)OQ轉(zhuǎn)到Q點(diǎn)在BC上時(shí)，BM即為x所取最大值.作QF⊥OD，在直角三角形FQO中，由勾股定理得：

探究思路突破：

【解后反思】

1. 關(guān)鍵步驟是哪幾步？

拓展的關(guān)鍵步驟是利用三角函數(shù)或三角形相似將BN用字母x表示，而求x的取值范圍時(shí)，只有OQ轉(zhuǎn)到Q點(diǎn)在BC上時(shí)，BM最大；另外，探究中的關(guān)鍵步驟是分類討論，半圓K與BC、AD相切容易想到，由于OQ=OD，半圓K與DC相切容易漏掉，構(gòu)造直角三角形將∠α放在直角三角形中也是關(guān)鍵.

2. 有什么值得一學(xué)？

旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)、相似、直線與圓的位置關(guān)系、幾何中的最值、分類討論思想是本題涉及的知識(shí)，也是各地中考?jí)狠S題的常見類型.在復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)注意問題的全面性、知識(shí)的連貫性及知識(shí)的遷移. 遇到直角三角形既可考慮相似又可考慮利用三角函數(shù)列方程，遇到運(yùn)動(dòng)問題要注意在利用分類討論解決問題時(shí)，做到不重不漏.