張紅艷，申星，張小芳

(1.湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2.溆浦縣屈原學(xué)校，湖南 溆浦 419300)

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如何引導(dǎo)小學(xué)生理解方程中的等量關(guān)系

張紅艷1，申星1，2，張小芳1

(1.湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2.溆浦縣屈原學(xué)校，湖南 溆浦 419300)

摘要：列方程解實際問題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點之一，對等量關(guān)系的正確理解是建立方程的關(guān)鍵。在教學(xué)實踐中，要引導(dǎo)學(xué)生抓住題目中的關(guān)鍵詞、運(yùn)用有關(guān)公式、在情景圖或以文字?jǐn)⑹龅膶嶋H問題中捕捉信息，提煉出等量關(guān)系。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；方程教學(xué)；等量關(guān)系

小學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初級階段，小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)感覺直接影響學(xué)生在初、高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)感悟能力的培養(yǎng)，如何有效解決小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)疑難問題一直是一線教師十分重視的問題[1]。為此，我校五年級數(shù)學(xué)備課組在“創(chuàng)建優(yōu)質(zhì)有效備課組”項目實施過程中，通過集體備課，把每個教師的個性與智慧集中起來，實現(xiàn)教師的個性互補(bǔ)，使[2-3]不同層次的教師得到更好的提高，有效解決教學(xué)中出現(xiàn)的疑難問題,優(yōu)化教學(xué)設(shè)計,提高課堂教學(xué)效率。

“解實際問題”與“列方程解實際問題”一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點?！胺匠探虒W(xué)”對一個具體直觀思維還在唱主導(dǎo)的小學(xué)生來說，是有一定的理解難度的。如果教學(xué)中不重視知識點間的內(nèi)部關(guān)系，不注重引導(dǎo)學(xué)生去思考分析條件與結(jié)論的淺易關(guān)系，要把方程學(xué)好、學(xué)出特色，是困難的。本文就如何在方程教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生抓住題目中的關(guān)鍵詞、運(yùn)用有關(guān)公式、在情景圖或以文字?jǐn)⑹龅膶嶋H問題中捕捉信息，提煉出等量關(guān)系列方程解決問題進(jìn)行了探討與研究，旨在幫助學(xué)生輕松準(zhǔn)確地用簡易方程解決實際問題，破解方程教學(xué)的瓶頸。

1 小學(xué)數(shù)學(xué)中列方程解決實際問題教學(xué)現(xiàn)狀

小學(xué)數(shù)學(xué)階段解決實際問題的思考方法有兩種，一是算術(shù)法，二是方程法。兩者的共同點都是以四則運(yùn)算和常見的數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)，都需要分析數(shù)量關(guān)系。而它們的區(qū)別主要在于：算術(shù)方法解決實際問題時，未知數(shù)始終作為一個“目標(biāo)”，不參與整個的列式運(yùn)算，只能用已知數(shù)和運(yùn)算符號組成算式，所以在復(fù)雜的實際問題中，列式費思考，解題思路也常常迂回曲折，局限性較大。列方程解決實際問題時，未知數(shù)能以一個字母為代表和已知數(shù)一起參加整個的列式運(yùn)算，所以解題思路更加直截了當(dāng)，降低了思維難度，適用面廣。但小學(xué)生較長時期用算術(shù)方法解決問題，初學(xué)列方程解決實際問題時，由于思維定勢的影響，解題思路仍停留在用算術(shù)方法解決實際問題上——列出與算術(shù)解法完全一樣的特殊方程。

例1小明在跳遠(yuǎn)中破紀(jì)錄啦！成績?yōu)?.21 m，超過原紀(jì)錄0.06 m。學(xué)校原跳遠(yuǎn)紀(jì)錄是多少米？

當(dāng)筆者將這個問題的幻燈片一展示出來，學(xué)生馬上就舉起小手，爭先恐后發(fā)表自己解決問題的方法，然而大多數(shù)學(xué)生輕而易舉地列出4.21-0.06=x這樣的方程，將未知數(shù)x單獨放在等號的一邊，而全部的已知數(shù)放在等號的另一邊。

因此，要把學(xué)生從算術(shù)列式的思維定勢中牽出來，進(jìn)到列方程解決實際問題的思路上去，這就成了小學(xué)數(shù)學(xué)中方程教學(xué)的重點和難點。經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，筆者認(rèn)為這個難點的破解之法就是引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)實際問題中“等量關(guān)系”的準(zhǔn)確認(rèn)識和把握。

2小學(xué)數(shù)學(xué)方程解決實際問題破難的思考

從以上的分析可以知道小學(xué)生在初列方程解決實際問題時容易受算術(shù)解法的影響，列出與算術(shù)解法完全一樣的特殊方程。要解決這個問題,主要是引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確認(rèn)識題中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而找到它們間的等量關(guān)系。找出等量關(guān)系是準(zhǔn)確列出方程的關(guān)鍵。根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教材與小學(xué)生的認(rèn)識水平，可從以下幾個方面來引導(dǎo)學(xué)生思考。

2.1抓住題中關(guān)鍵詞語,揭示等量關(guān)系,布列方程

教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)真審題、理解題意的基礎(chǔ)上,抓住題中的關(guān)鍵詞語，篩選出相關(guān)信息，為找等量關(guān)系、布列方程做先期準(zhǔn)備。

例2王阿姨到超市買了蘋果與梨各2 kg，共10.4元。梨每千克2.8元，蘋果每千克多少錢？

題中已知條件和未知條件，學(xué)生很明確。需要做的是：

首先，要引導(dǎo)學(xué)生弄清楚兩個概念： 一是買2 kg梨，梨的“總價”是多少，即2.8×2；二是買2 kg蘋果，蘋果總共花了多少錢， 即10.4-(2.8×2)。

其次，引導(dǎo)學(xué)生弄懂 “共”的意思?！肮病?，即“蘋果的總價” + “梨的總價” = 共用10.4元。

再考慮蘋果“總價”與蘋果“單價” 和蘋果“數(shù)量”的關(guān)系。蘋果單價是未知的，就可以用字母來代替(設(shè)蘋果每千克x元)。 總價 = 單價×數(shù)量， 即蘋果總價為2x元。有了以上概念的理解基礎(chǔ)， 根據(jù)題意不難得出等式，也就是我們要列的方程：2x+2×2.8=10.4。

由于抓住了題中的“總價” “共”等關(guān)鍵詞,學(xué)生對題目中的等量關(guān)系看得很明白,列出方程就沒有了問題。

在小學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，實際問題中的數(shù)量關(guān)系一般是“和”“差”“倍數(shù)”等關(guān)系。常用的數(shù)學(xué)術(shù)語有“一共”“比……多”“比……少”“是……倍”“是”“為”，解題時，引導(dǎo)學(xué)生抓住這些數(shù)學(xué)術(shù)語來找等量關(guān)系，列方程的難點就破擊了。

例3世界上最大的洲是亞洲，面積是4 400 萬km2,最小的洲是大洋洲，亞洲的面積比大洋洲的面積的4倍還要多812 萬km2。大洋洲的面積是多少萬km2？

引導(dǎo)學(xué)生抓住其中的數(shù)學(xué)術(shù)語“比……多”，很容易發(fā)現(xiàn)本題的等量關(guān)系：大洋洲面積的4倍+812=亞洲的面積。有了這個等式，再根據(jù)題意，已知的用具體的數(shù)，未知的用字母代替(設(shè)大洋洲的面積為x 萬km2)。水到渠成，方程就這樣得出：4x+812=4 400。

2.2指導(dǎo)學(xué)生用畫圖來找等量關(guān)系

五年級學(xué)生尚處在以形象思維為主、抽象思維啟蒙的過渡時期。教學(xué)中采用畫線段圖來分析數(shù)量關(guān)系正是基于該階段學(xué)生的“直觀形象”的學(xué)情特點而采取的。特別是“行程問題”和“修路的工程問題”等，線段圖能使其中的數(shù)量關(guān)系更直觀形象地呈現(xiàn)出來，學(xué)生找等量關(guān)系就很容易了。

例4小林家和小云家相距4.5 km。周日早上9∶00兩人分別從家騎自行車相向而行，小林每分鐘騎250 m，小云每分鐘騎200 m。兩人何時相遇？

分析：小林騎行的路程+小云騎行的路程=兩家的距離，即V小林× t小林+V小云× t小云=4.5 km。

解：設(shè)x小時后兩人相遇，那么

0.25 x + 0.2 x = 4.5

用方程解決實際問題在分析題目時，不必先急于設(shè)未知數(shù)，而應(yīng)該是先弄清題意，找出能代表整個題意的等量關(guān)系；更不能用一句總結(jié)性的話去告訴學(xué)生“問題怎么問就怎么設(shè)”，而應(yīng)該是根據(jù)等量關(guān)系中的未知量來設(shè)未知數(shù)，這樣列方程才更容易，解決問題才會更方便。

2.3根據(jù)常見的“數(shù)量關(guān)系”或公式來找等量關(guān)系

在用算術(shù)方法解決實際問題時，學(xué)生已經(jīng)掌握了不少常見的基本“數(shù)量關(guān)系”，形成了做題過程中的基本公式。如：單價×數(shù)量=總價、速度×?xí)r間=路程 、工作效率×工作時間=工作總量、總量-剩下的=用完的、單產(chǎn)量×數(shù)量=總產(chǎn)量、已完成的+剩下的=要完成的、本金×利率×?xí)r間=利息 、方磚的面積×塊數(shù)=所鋪地面的面積 、車輪的周長×轉(zhuǎn)數(shù)=所行的路程 、規(guī)則幾何圖形的面積、周長公式等等。這些公式其實就是等量關(guān)系的具體化。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生緊扣這些公式，便能列出方程。

例5長風(fēng)電扇廠計劃生產(chǎn)2 800臺電扇。前6天已經(jīng)生產(chǎn)了672臺，照這樣計算，還要生產(chǎn)多少天才能完成任務(wù)？

分析：本題涉及工作總量、工作效率、工作時間三個量之間的關(guān)系。此題的數(shù)量(等量)關(guān)系應(yīng)該是：計劃生產(chǎn)的= 已生產(chǎn)的+還要生產(chǎn)的 ，工作效率=工作總量÷工作時間。所以很容易得到前6天的生產(chǎn)速度(工作效率) = ( 672 ÷ 6 )。如果設(shè)還需要t天才能完成任務(wù)，那么本題的數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是：

672+(672÷6)×t = 2 800

引導(dǎo)學(xué)生尋找等量關(guān)系的方法很多，這里雖然只探討了三種方法，但更重要的是為了強(qiáng)調(diào)這樣一種意識，即小學(xué)數(shù)學(xué)方程教學(xué)中，一定要重視等量關(guān)系的分析和引導(dǎo)，它是破解方程教學(xué)瓶頸的一個重要方法[4]。因為學(xué)生掌握了通過正確理解等量關(guān)系來建立方程的方法，不僅在當(dāng)前階段能輕松準(zhǔn)確地用簡易方程解決實際問題，也為將來學(xué)習(xí)多元方程組、高次方程、不等式組、函數(shù)解決實際問題做好了鋪墊。

總之，今天的新課程教學(xué)，要求的是學(xué)生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展，注重的是學(xué)生運(yùn)用知識解決實際問題的能力。講清知識點的內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系正是新課程教學(xué)的理念使然。我們必須從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，為學(xué)生提供更多有價值的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在解決問題的學(xué)習(xí)過程中，實現(xiàn)真正意義上的全面發(fā)展，為學(xué)生終身學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 宋文權(quán),張玉蘭.集體備課與教師的專業(yè)發(fā)展[J].江蘇教育研究,2010(3):47-50.

[3] 劉為舉.提高集體備課有效性的策略[J].教學(xué)與管理,2009(19):39-41.

[4] 李雅芬.集體備課的瓶頸與突破策略[J].教育理論與實踐,2011(17):45-46.

(責(zé)任校對游星雅)

doi:10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.04.008

收稿日期：20151226

基金項目：湖南省教育科學(xué)規(guī)劃課題(XJK013CZXX071)

作者簡介：張紅艷(1974-)，女，湖南溆浦人，中學(xué)一級教師，主要從事初等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究。

中圖分類號：G622

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-5884(2016)04-0024-03