柴生波, 王秀蘭, 任　翔

(1.西安科技大學(xué)　建筑與土木工程學(xué)院，陜西　西安　710054；2.長安大學(xué)　公路學(xué)院，陜西　西安　710061)

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三塔兩跨懸索橋中塔位移及跨中撓度簡化計(jì)算方法

柴生波1, 王秀蘭2, 任翔1

(1.西安科技大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，陜西西安710054；2.長安大學(xué)公路學(xué)院，陜西西安710061)

摘要：為獲得活載作用下三塔兩跨懸索橋變形解析公式，首先通過微分與變分方法推導(dǎo)了均布荷載作用下單跨主纜撓度的解析計(jì)算公式，通過綜合研究塔頂位移及主纜彈性伸長引起的主纜變形，推導(dǎo)了用于計(jì)算三塔兩跨懸索橋中塔塔頂位移及加勁梁撓度的解析計(jì)算公式。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)單跨主纜施加均布荷載時(shí)，恒載大小對(duì)于主纜變形影響不大，主纜變形主要由纜的彈性伸長所引起，取決于主纜的軸向剛度及垂跨比;三塔兩跨懸索橋的變形主要取決于中塔的變形以及主纜的伸長。建立三塔兩跨懸索橋模型對(duì)本文公式進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，公式能有效對(duì)塔頂位移及加勁梁撓度進(jìn)行估算，可用于初步設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)三塔懸索橋進(jìn)行簡化分析。

關(guān)鍵詞：橋梁工程；懸索橋；簡化計(jì)算；變形；中塔位移

0引言

多跨懸索橋在跨越寬闊河流、海峽時(shí)具有明顯優(yōu)勢(shì)，泰州長江大橋和馬鞍山大橋的建造標(biāo)志著多塔連跨懸索橋這一新型橋梁結(jié)構(gòu)的崛起。然而，由于多塔體系橋梁中間橋塔缺乏邊跨主纜的有效約束，不平衡活載作用下，加勁梁的豎向撓度較大，加勁梁豎向撓跨比成為控制多塔懸索橋設(shè)計(jì)的重要技術(shù)指標(biāo)。隨著計(jì)算手段的進(jìn)步，采用有限元等數(shù)值計(jì)算方法可以較為準(zhǔn)確地計(jì)算橋梁變形與受力，但是多塔懸索橋的設(shè)計(jì)參數(shù)較多，初步設(shè)計(jì)階段采用數(shù)值模擬來優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)往往需要進(jìn)行大量計(jì)算，若能夠采用解析方法對(duì)結(jié)構(gòu)變形進(jìn)行估算，既可以避免復(fù)雜的參數(shù)分析，提高工作效率，又可以使設(shè)計(jì)者更好地了解其力學(xué)特性，簡化設(shè)計(jì)流程，因此，研究多塔懸索橋的簡化計(jì)算方法十分必要[1-3]。

對(duì)于大跨度懸索橋，主纜的力學(xué)行為決定著整個(gè)結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為。國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)主纜在活載作用下的變形和受力進(jìn)行了研究[1-6]。Clemente[1]研究了大跨度懸索橋主要設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響，研究發(fā)現(xiàn)，隨著跨徑的增大，懸索橋的力學(xué)特性越來越接近主纜的力學(xué)特性。Jennings[2]以線性撓度理論為基礎(chǔ)，忽略活載對(duì)主纜內(nèi)力的影響，研究了集中荷載及均布荷載下主纜的變形，但未考慮橋塔剛度的影響。Wollmann[3]以撓度理論為基礎(chǔ)，提出了一套計(jì)算加勁梁撓度及彎矩的實(shí)用方法。Gimsing[4]對(duì)均布荷載及集中荷載下的主纜變形進(jìn)行了數(shù)值研究，探討了活載作用下主纜變形的規(guī)律。也有學(xué)者對(duì)懸索橋的重力剛度進(jìn)行了研究，得到了集中荷載下主纜豎向變形的解析計(jì)算公式[5-6]。以上研究主要針對(duì)傳統(tǒng)兩塔懸索橋，由于多跨懸索橋存在“中塔效應(yīng)”，其力學(xué)特性與傳統(tǒng)兩塔懸索橋有明顯差異，以上成果直接用于對(duì)多跨懸索橋的分析。

懸索橋主纜對(duì)橋塔的約束效應(yīng)是影響結(jié)構(gòu)變形的重要因素，許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究[7-10]。Yoshida[7]研究了多塔懸索橋中跨主纜對(duì)橋塔的約束，給出了中跨主纜對(duì)橋塔約束的公式。柴生波等[8]運(yùn)用能量法研究了纜塔約束，給出了纜塔約束解析計(jì)算公式。Kiureghian和Sackman等[9]假定索的線形為拋物線，忽略索的彈性伸縮，推導(dǎo)了傾斜索在自重作用下沿各個(gè)方向的切線幾何剛度。Choi Dong-ho[10]通過假定懸索橋主纜線形為拋物線，通過變分原理推導(dǎo)了傾斜拉索的縱橋向剛度，提出用于分析多塔懸索橋橋塔變形及受力的簡化力學(xué)模型。以上針對(duì)纜塔約束效應(yīng)的研究成果有助于對(duì)懸索橋力學(xué)特性的理解，同時(shí)也為多跨懸索橋變形解析計(jì)算方法的研究奠定了理論基礎(chǔ)。

本文綜合研究活載下的主纜變形及纜塔約束效應(yīng)，推導(dǎo)單個(gè)主跨滿布均布荷載時(shí)三塔懸索橋的最大撓度及塔頂位移解析計(jì)算公式，并通過有限元模型對(duì)公式的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1主纜變形的解析方法

三塔懸索橋變形的最不利加載模式是一個(gè)主跨滿布活載，其余各跨空載[11-12](如圖1所示)，此時(shí)中塔承受的不平衡水平力最大，塔頂位移及加勁梁撓度均達(dá)到最大。我國現(xiàn)有規(guī)范中尚沒有針對(duì)大跨度多塔懸索橋設(shè)計(jì)荷載的明確規(guī)定，目前國外的研究者對(duì)多跨懸索橋的研究中采用均布荷載的加載模式[10,12-13]，這種加載方式是合理的，因?yàn)榇罂缍榷嗫鐟宜鳂蛑?，僅對(duì)其中一個(gè)主跨滿跨布載已是一種極端工況，因此施加均布荷載后，不必再在其最不利位置施加集中力。本文研究中將沿用這種加載方式。

本文分析時(shí)，采用如下假定：

(1) 恒載狀態(tài)下，主纜線形為拋物線；

(2) 吊桿沿縱橋向密布，忽略吊桿的彈性伸縮，并且吊桿在恒載及活載作用下均保持豎直；

(3) 大跨度懸索橋中，加勁梁剛度對(duì)結(jié)構(gòu)變形的影響遠(yuǎn)小于重力剛度的影響，因此研究中忽略加勁梁的剛度對(duì)結(jié)構(gòu)變形的影響；

(4) 邊跨主纜對(duì)邊塔的縱向約束較強(qiáng)，活載作用下，邊塔位移遠(yuǎn)小于中塔位移，假定活載作用下邊塔位移為0。

圖1　三塔兩跨懸索橋最大變形加載工況Fig.1　Load condition for maximum deflection of 3-pylon and 2-span suspension bridge

忽略吊桿的伸縮，單個(gè)橋跨滿布均布活載時(shí)，加勁梁豎向撓度與主纜豎向變形相等，通過求解主纜垂度改變即可得到加勁梁豎向撓度?；钶dq作用下(圖1)，加載跨主纜垂度改變主要由兩部分構(gòu)成：一部分是由均布活載作用導(dǎo)致主纜彈性伸長引起的垂度改變?chǔ)膄1；另一部分是由中塔縱向位移引起的垂度改變?chǔ)膄2，故加勁梁總的撓度δf可表示為：

(1)

1.2均布活載引起的主纜變形

1.2.1考慮恒載影響的求解方法

恒載狀態(tài)下，主纜跨度為L，垂度為f，所受恒載集度為Q，沿跨長施加均布活載q，均布活載q引起的垂度改變?yōu)棣膄1(圖2所示)。

圖2　滿跨均布荷載下主纜變形Fig.2　Deformation of main cable under uniform live load acting on full span

主纜總體線形為拋物線，坐標(biāo)系如圖3選取，主纜線形可表示為：

(2)

施加均布荷載后，沿橋跨方向取長度為dx的主纜微段進(jìn)行研究(見圖3)，dx對(duì)應(yīng)的主纜長度dS可表示為：

(3)

恒載作用下，主纜水平力H為H=QL2/8f?；钶dq引起的主纜水平力增量δH為：

(4)

圖3　主纜線形及微段Fig.3　Cable shape and its micro-sagment

圖3中主纜微段的內(nèi)力增量δT與其水平分力增量δH的關(guān)系可表示為：

(5)

由主纜內(nèi)力增加引起的微段伸長量δdS為：

(6)

式中，E，A分別為主纜彈性模量及主纜面積。

將式(3)、(5)代入式(6)中，得

(7)

δdS為微段主纜伸長量，沿跨長積分可得主纜總伸長量dS，即：

(8)

式中，δH，EA均為常量，因此有：

(9)

由式(2)得

(10)

(11)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，主纜變形較小時(shí)，主纜伸長量與垂度改變的關(guān)系近似為：

(12)

(13)

由式(9)(13)，得：

(14)

式(4)代入式(14)，得：

(15)

式中，

(16)

將式(16)代入式(15)，得：

(17)

化簡，得：

(18)

(19)

L，f，E，A，Q等設(shè)計(jì)參數(shù)確定后，根據(jù)式(18)和式(19)即可求得均布活載q引起的主纜垂度改變。

式(18)中含恒載Q，計(jì)入了恒載對(duì)均布活載作用下主纜變形的影響。

1.2.2未考慮恒載影響的求解方法

由于恒載作用下主纜總體線形近似為拋物線，施加均布活載后，主纜線形依然為拋物線，因此，沿跨長施加均布活載時(shí)，恒載對(duì)主纜線形的穩(wěn)定作用影響較小。下面推導(dǎo)不考慮恒載作用時(shí)，均布活載引起的主纜變形。

在沿跨長的均布荷載作用下，主纜發(fā)生彈性伸長，但其線形仍保持為拋物線，文獻(xiàn)[14]推導(dǎo)了主纜彈性伸長與垂度改變量的近似關(guān)系：

(20)

式中，δS為主纜彈性伸長。

由式(9)、(11)可得，主纜的彈性伸長δS為

(21)

將式(21)代入式(20)，得

(22)

式(22)是在已知水平力增量δH的情況下求解由主纜彈性伸長引起的垂度增量公式?；钶d作用引起的主纜水平力增量可近似表示為

(23)

式(22) 未考慮恒載對(duì)均布荷載作用下主纜變形的影響。

1.2.3公式驗(yàn)證

為驗(yàn)證以上公式在求解均布荷載作用下主梁變形的準(zhǔn)確性，根據(jù)實(shí)際懸索橋(長壽長江二橋)建立有限元模型。主纜跨長L=739 m，主纜垂度f=82.1 m，垂跨比為1/9，主纜的彈性模量E=210 000 MPa，面積A=0.404 m2，恒載Q=250 kN/m，均布荷載q=10 kN/m。將以上參數(shù)代入式(19)中，計(jì)算得u=879.55 N/m3，將以上參數(shù)代入式(18)，得

(24)

解式(24)，得δf1=0.133 m。有限元計(jì)算值為δf1=0.132 m，將L，f，E，A，n，q=10 kN/m代入式(22)中得δf1=0.130 m，式(24)的誤差主要來自于主纜水平力增量的計(jì)算。

按照以上參數(shù)建立主纜有限元模型，初始恒載取為Q=250 kN/m，在沿跨長的均布活載作用下，式(18)、(22)與有限元模型計(jì)算值計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

圖4　均布荷載引起的主纜撓度Fig.4　Deflection of cable caused by uniform live load

恒載從0增加到250 kN/m，式(18)解得的主纜變形從0.139 m減小到0.133 m，僅減小了4.3%(如圖5所示)。

圖5　主纜垂度增量隨恒載的變化Fig.5　Increment of cable sag varying with dead load

圖4可知，式(18)、(22)計(jì)算結(jié)果均與有限元模型計(jì)算結(jié)果較接近，均可較為精確地計(jì)算均布活載作用下主纜的變形，由公式的表達(dá)形式可知，主纜的變形量主要取決于跨長、垂跨比及主纜的軸向剛度。由圖5可以看出，在滿跨均布荷活載作用下，恒載對(duì)于主纜變形的影響較小，主纜初始內(nèi)力對(duì)主纜變形的影響可忽略不計(jì)。

對(duì)此可作如下解釋，主纜在恒載作用下總體線形為拋物線，沿跨長施加均布活載之后，主纜線形仍為拋物線，主纜變形主要由主纜的彈性伸長所引起，取決于主纜的軸向剛度，而主纜的重力剛度對(duì)這種工況下主纜變形影響較小 。由式(22)可以看出，在跨長一定的情況下，均布荷載引起的主纜垂度增量主要與主纜的彈性剛度EA以及主纜的垂跨f/L有關(guān)。式(22)中，在q，L，EA均確定的情況下，可令qL2/8EA=t，則主纜無量綱撓度δf1/t與L/f的關(guān)系如圖6所示

圖6　均布荷載下主纜無量綱撓度與L/f關(guān)系Fig.6　Relation of dimensionless deflection of cable and L/f under uniform live load

由圖6可以看出，沿跨長滿布均布荷載作用下，主纜撓度隨著跨長垂度比值的增大而增大，即跨長L一定的情況下，主纜垂度f越小，均布荷載引起的主纜撓度越大。

1.3中塔位移引起的主纜變形

三塔兩跨懸索橋中其中一個(gè)主跨施加均布荷載后，加載跨主纜內(nèi)力增大，中塔塔頂發(fā)生縱向位移δL，塔頂位移導(dǎo)致主纜垂度改變?chǔ)膄2,(圖7)。

圖7　塔頂位移引起的主纜垂度改變Fig.7　Change of cable sag caused by pylon top displacement

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，塔頂位移與主纜垂度改變的關(guān)系為

(25)

由于懸索橋垂跨比n較小，式(25)可進(jìn)一步簡化為：

(26)

δL與δf2符號(hào)相反，塔頂位移使橋跨增大時(shí)，此時(shí)主纜垂度減小。

2三塔兩跨懸索橋跨中撓度、中塔位移求解

將式(22)、(26)代入式(1)得到活載作用下加勁梁的最大撓度δf，即

(27)

為方便計(jì)算，式(27)中，加勁梁撓度δf以及塔頂位移δL均取正值。式中塔頂位移δH、δL為未知量，下面分別求解。

根據(jù)加載跨主纜水平力增量與非加載跨平衡，得

(28)

式中，K為主纜縱向約束剛度Kc及橋塔縱向抗推剛度Kt之和，Kc可近似用式(29)估算[8]

(29)

考慮塔頂位移及垂度改變，加載跨主纜水平力增量為

(30)

主纜垂度與橋跨長度相差約一個(gè)數(shù)量級(jí)，但主纜垂度改變量δf大于δL，由于塔頂位移與橋跨長度相比極小，為計(jì)算方便，式(30)中可忽略跨長的改變量δL，而δf則不可忽略，由此，式(30)變?yōu)?/p>

(31)

將式(31)代入式(28)中，可得

(32)

將式(27)化簡，可得

(33)

式(32)、(33)可聯(lián)立成方程組(34)，求解方程組(34)可得加勁梁撓度δf以及塔頂位移δL。

(34)

方程組(34)即為三塔兩跨懸索橋其中一跨加載時(shí)，塔頂位移及跨中撓度的估算公式，在已知各主要設(shè)計(jì)參數(shù)后，式(34)中，僅δf及δL為未知數(shù)，K為主纜縱向剛度Kc(可由式(29)求得)與橋塔抗推剛度Kt之和。

3 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文公式的準(zhǔn)確性，建立三塔兩跨懸索橋模型，兩個(gè)主跨均為1 000 m，主纜垂跨比為1/10，橋塔高度為160 m，橋跨布置如圖8所示，主要構(gòu)件參數(shù)如表1所示，對(duì)其中一個(gè)主跨施加均布荷載如圖8所示。

圖8　三塔兩跨懸索橋布置圖及加載工況(單位：m)Fig.8　Layout of 3-pylon and 2-span bridge and loading case(unit:m)

主要參數(shù)符號(hào)數(shù)值主纜截面積/m2A2×0.3068中跨主纜垂度/mf100主纜、吊索鋼箱梁彈模/GPaEg200橋塔混凝土彈模/GPaEt34.5加勁梁抗彎慣性矩/m4Ig2.879橋塔抗彎慣性矩/m4It2×92.7橋塔高度/mh160橋面系重量(含主纜、吊索)/(kN·m-1)Q279.6

圖9　中塔及跨中撓度(未計(jì)橋塔剛度)Fig.9　Deflections of middle pylon and mid-span (pylon stiffness is omitted)

將各參數(shù)代入式(29)可得，K=6 884 kN/m, 均布荷載q取10 kN/m時(shí)，將f=100，L=1 000 m，EA=122 720 000 kN/m，Q=279.6 kN/m代入式(34)可得δf=1.780 m，δL=0.896 m，同理可求得均布荷載為20, 30, 40 kN/m時(shí)的塔頂位移與跨中撓度。圖8加載模式下，中塔位移與加載跨撓度的有限元模型求解值與本文理論值繪于圖9中。為忽略橋塔縱向抗推剛度的影響，模型中釋放主纜在塔頂處縱向約束。

在本模型中，若考慮中塔抗推剛度，單獨(dú)計(jì)算中塔抗推剛度可得中塔剛度為Kt=4 673 kN/m，考慮橋塔的抗推剛度后，K=6 884+6 273=13 157 kN/m。將各參數(shù)代入后可得，q=10 kN/m時(shí)，δf=1.265 m, δL=0.606 m。同理可得均布荷載為20, 30, 40 kN/m時(shí)的塔頂位移與跨中撓度，本文理論值與有限元模型值如圖10所示。

圖10　中塔及跨中變形(計(jì)入橋塔剛度)Fig.10　Deformation of middle pylon and mid-span (pylon stiffness is considered)

圖9表明，加載跨撓度與中塔位移的理論值均與有限元求解值較接近，本文理論值略大，并且誤差隨著均布荷載的增大而有所增大。當(dāng)均布荷載取40 kN/m時(shí)，跨中撓度的理論值為6.943 m，有限元計(jì)算值為6.397 m，誤差約為8%，誤差來自與本文計(jì)算所采用的假定以及推導(dǎo)過程中的簡化。同時(shí)，在計(jì)算主纜縱向約束時(shí)，式(29)也會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。

圖10可見，在考慮了橋塔抗推剛度后，跨中撓度與塔頂位移的理論值均與有限元模型值更為接近，均布荷載增大至40 kN/m時(shí)，跨中撓度的理論值為4.945 m，模型計(jì)算值為5.116 m，誤差僅為3%，這是因?yàn)榭紤]橋塔剛度后，邊橋塔的位移更加接近于0，與本文的假定更加接近。

本文為考慮集中力引起的結(jié)構(gòu)變形，若在施加均布荷載的同時(shí)，在跨中施加一個(gè)集中力(均布荷載取10, 20, 30, 40 kN/m時(shí)，集中力分別取360, 720, 1 080, 1 440 kN)，則加載跨與中塔最大位移如圖11所示。

圖11　均布力與集中力引起的中塔及跨中變形(計(jì)入橋塔剛度)Fig.11　Deformations of middle pylon and mid-span under uniform force and concentrated force (pylon stiffness is considered )

由圖11可見，考慮集中力后，中塔位移與跨中撓度均有所增大，但二者差別不大。考慮集中力后，中塔位移約增大5%，跨中撓度增大約9%。因此，僅考慮均布荷載基本能夠反映三塔兩跨懸索橋的變形情況。

在確定了三塔兩跨懸索橋的跨長、主纜垂度、單位橋長恒載重量、橋塔抗推剛度等主要設(shè)計(jì)參數(shù)的情況下，式(34)可以估算塔頂位移以及加勁梁最大撓度。進(jìn)行初步設(shè)計(jì)時(shí)，在確定了最大容許撓度的情況下，式(34)還可以用于反推各主要參數(shù)的取值范圍。

4結(jié)論

本文研究了沿跨長的均布荷載作用下懸索橋主纜的變形，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了均布荷載作用下三塔兩跨懸索橋的中塔位移及加勁梁撓度的解析計(jì)算公式，通過建立有限元模型對(duì)公式精度進(jìn)行了驗(yàn)證，本文主要獲得以下結(jié)論：

(1)在沿跨長的均布荷載作用下，恒載對(duì)于減小主纜變形的影響極為有限，主纜垂度的改變主要取決于主纜的軸向剛度以及垂跨比，垂跨比越小，均布荷載引起的主纜撓度就越大。

(2)三塔兩跨懸索橋在單個(gè)主跨受到均布荷載作用時(shí)，加勁梁(主纜)的變形可分解為塔頂位移引起的變形及主纜彈性伸長引起的變形。在確定了跨長、主纜垂度、恒載集度等主要設(shè)計(jì)參數(shù)之后，通過本文公式可估算塔頂位移及加勁梁的最大撓度。

(3)本文提供的用于求解三塔兩跨懸索橋加勁梁及中塔塔頂位移的解析公式可計(jì)入橋塔抗推剛度的影響，本文公式有較高精度，可用于指導(dǎo)初步設(shè)計(jì)階段參數(shù)的合理取值。

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A Simplified Calculation Method for Middle Pylon Deformation and Mid-span Deflection in Three-pylon and Two-span Suspension Bridge

CHAI Sheng-bo1, WANG Xiu-lan2, REN Xiang1

(1.School of Architecture and Civil Engineering, Xi’an University of Science and Technology, Xi’an Shaanxi 710054, China;2. School of Highway, Chang’an University, Xi’an Shaanxi 710061, China)

Abstract：In order to obtain the analytic formula for deformation of suspension bridge with 3 pylons and 2 main spans caused by live load, an analytic formula used for calculating the deflection of a main cable of single span under uniform live load is derived. Through study the deformation of main cable caused by pylon top displacement and cable elongation comprehensively, the analytic formulas for calculating the deformation of middle pylon top and deflection of stiffening girder in suspension bridge with 3 pylons and 2 main spans are derived. The research shows that (1) the dead load has little effect on the deformation of the main cable when applying uniform live load along a single span, the deformation is mainly caused by the elastic elongation of the main cable and it depends on its sag-span ratio and the axial rigidity; (2) the deformation of 3-pylon and 2-span suspension bridges is mainly caused by the displacement of the middle pylon and the elongation of the cable. A finite element model of the suspension bridge is established to verify the proposed formula. It shows that the proposed formulas are effective for estimating the displacement of pylon top and the deflection of stiffening girder, which could be used for simplified analysis of a three-pylon suspension bridge in preliminary design stage.

Key words：bridge engineering; suspension bridge; simplified calculation; deformation；middle pylon deformation

收稿日期：2015-06-08

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51408484)

作者簡介：柴生波(1983-),男，山東青島人，工學(xué)博士.(csbtc@163.com)

doi:10.3969/j.issn.1002-0268.2016.05.014

中圖分類號(hào)：U448.25

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1002-0268(2016)05-0085-07