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        Pascu類亞純雙單葉函數(shù)的系數(shù)估計

        2016-06-05 14:18:14秦川馮建中李小飛
        關(guān)鍵詞:中令星象單葉

        秦川,馮建中,李小飛,3

        Pascu類亞純雙單葉函數(shù)的系數(shù)估計

        秦川1,馮建中2,李小飛2,3

        (1.長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院,湖北荊州434020;2.長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北荊州434000; 3.澳門大學(xué)科技學(xué)院,澳門519020)

        定義2類在Δ={z:z∈C,1<|z|<+∞}內(nèi)的Pascu類亞純雙單葉函數(shù)類Mσ(γ,λ,α)和Nσ(γ,λ,β),利用亞純函數(shù)理論,得到它的系數(shù)|b0|、|b1|的邊界估計,推廣了已有的部分結(jié)論.

        亞純;雙單葉;星象函數(shù);凸函數(shù)

        1 預(yù)備知識

        設(shè)A表示在單位圓盤U={z:z∈C,|z|<1}內(nèi)解析且滿足

        的函數(shù)族,S表示A中的單葉函數(shù)族.稱f(z)分別為β階星象函數(shù)和β階凸函數(shù),若滿足下面的條件:

        β階星象函數(shù)類和β階凸函數(shù)類分別記為S*(β)和K(β).易知,f(z)∈K(β)當(dāng)且僅當(dāng)zf'(z)∈S*(β).稱S*(0)=S*和K(0)=K分別為星象函數(shù)族和凸函數(shù)族.稱f(z)為β階α凸Pascu類函數(shù),記為M(α,β),當(dāng)f(z)滿足

        容易知道,若f(z)∈M(α,β)當(dāng)且僅當(dāng)αzf'(z)+(1-α)f(z)∈S*(β).注意到,M(0,β)=S*(β),M(1,β) =K(β).函數(shù)類M(α,β)由文獻(xiàn)[1-4]引入并被多次研究其系數(shù)問題.

        對任意具有(1)式的函數(shù)f(z)∈S均存在逆函數(shù)f-1(w)定義為:f-1(f(z))=z,f(f-1(w))=w(|w |<r0(f);r0(f)≥1/4),這里函數(shù)f(z)∈A稱為U內(nèi)的雙單葉函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(z)和f-1(w)均為U內(nèi)的單葉函數(shù),現(xiàn)記Σ表示U內(nèi)具有(1)式的雙單葉函數(shù)族.對于f(z)∈Σ,M.Lewin[5]證明了|a2|<1.51,D.A.Brannan等[6]證明了|a2|≤,E.Netanyahu[7]證明了max|a2| =4/3,同時還有很多研究者對雙單葉函數(shù)族的子族類的系數(shù)|a2|及|a3|的上界、邊值問題、逆函數(shù)等進(jìn)行了研究(參見文獻(xiàn)[8-12]).

        S.Bulut[13]介紹了亞純雙單葉函數(shù)的概念:記Δ={z:z∈C,1<|z|<+∞},用σ表示Δ內(nèi)全體形如(3)式的亞純單葉函數(shù)g(z)的集合

        由于g∈σ為單葉函數(shù),存在逆函數(shù)g-1定義為: g-1(g(z))=z,g(g-1(w))=w(M<|w|<+∞;M>0).現(xiàn)假設(shè)g-1具有如下表達(dá)式

        稱g∈σ為亞純雙單葉函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)g和g-1均為Δ內(nèi)的亞純單葉函數(shù),并用σM表示亞純雙單葉函數(shù)族.通過計算,得到g-1的表達(dá)式為

        M.Schiffer[14]證明了當(dāng)b0=0時亞純雙單葉函數(shù)的系數(shù)|b2|≤2/3,P.L.Duren[15]證明了當(dāng)bk=0(1≤k≤n/2)時亞純雙單葉函數(shù)的系數(shù)|bn|≤2/(n +1),眾多作者開始研究一些有趣的亞純雙單葉函數(shù)類(參見文獻(xiàn)[16-19]).本文定義2類新的Δ內(nèi)的Pascu類亞純雙單葉函數(shù)類,通過亞純函數(shù)的性質(zhì)研究得到了函數(shù)類系數(shù)|b0|、|b1|的邊界.

        定義1.1設(shè)g(z)∈σM由(3)式定義,稱g(z)∈Mσ(γ,λ,α),若g(z)滿足

        定義1.2設(shè)g(z)∈σM由(3)式定義,稱g(z)∈Nσ(γ,λ,β),若g(z)滿足

        注意到,本文定義的函數(shù)類Mσ(γ,λ,α)是以下一些函數(shù)子類的推廣:

        1)Mσ(0,0,α)=Σ~*(α)為亞純雙單葉α階強(qiáng)星象函數(shù),Nσ(0,0,α)=Σ*(β)為亞純雙單葉α階星象函數(shù),由S.G.Hamidi等[20]定義,并研究了函數(shù)類的系數(shù)的上界;

        2)Mσ(1,1,α)=珘K(α)為亞純雙單葉β階強(qiáng)凸函數(shù),Nσ(1,1,α)=K(β)為亞純雙單葉β階凸函數(shù),由T.Janani等[21]定義,并研究了函數(shù)類的前2項系數(shù)估計;

        3)Mσ(0,λ,α)=Mσ(λ,α),Nσ(0,λ,β)= Mσ(λ,β)由S.Bulut[13]定義并研究了首項系數(shù)的上界.

        2 主要結(jié)論

        下文中均假設(shè)參數(shù)滿足條件0≤γ≤1,0≤λ≤1,0≤β<1.為了得到我們的結(jié)論,需要用到下面引理2.1和引理2.2.

        引理2.1[22]記P為U內(nèi)的正實部函數(shù),若h(z)∈P,且具有形式

        則|ck|≤2,k=1,2,….

        假設(shè)d(z)為Δ內(nèi)的正實部函數(shù),即Re d(z)>0,則d(1/z)為U內(nèi)的正實部函數(shù),即Re d(1/z)>0,由引理2.1有:

        引理2.2若d(z)為Δ內(nèi)的正實部函數(shù),且具有形式

        則|dk|≤2,k=1,2,….

        定理2.1設(shè)g(z)∈Mσ(γ,λ,α)由(3)式定義,則

        證明由g(z)∈Mσ(γ,λ,α)的定義,可知存在Δ內(nèi)的正實部函數(shù)p(z)、q(w)滿足

        這里p(z)和q(w)具有下述形式

        將(7)和(8)式代入(5)和(6)式,比較兩邊的常數(shù)項和負(fù)一次項得

        由(9)、(11)式得

        對(14)式利用引理2.2得

        由(10)式加(12)式得

        對(16)式利用引理2.2得

        比較(15)和(17)式得

        為了得到|b1|的上界,用(10)式減(12)式,再結(jié)合(13)式得

        利用引理2.2得

        另一方面,將(10)、(12)式平方相加得

        將(14)式代入(20)式得

        由引理2.2得

        將(16)式代入(20)式,利用同樣的方法得

        綜合(19)、(21)和(22)式得

        定理2.2設(shè)g(z)∈Nσ(γ,λ,β)由(3)式定義,則

        證明由g(z)∈Nσ(γ,λ,β)的定義,存在Δ內(nèi)的正實部函數(shù)p(z)、q(w)滿足

        這里p(z)、q(w)分別具有(7)、(8)式.將(7)、(8)式代入(23)、(24)式,比較兩邊的常數(shù)項和負(fù)一次項得

        由(25)和(27)式得

        對(30)式利用引理2.2得

        由(26)式加(28)式得

        對(32)式利用引理2.2得

        比較(31)和(33)式得

        為了得到|b1|的不等式,用(26)式減(28)式得

        利用引理2.2得

        另一方面,用(26)式乘以(28)式得

        將(30)式代入(35)式得

        由引理2.2得

        將(32)代入(35)式,利用同樣的方法得

        綜合(34)、(36)和(37)式得

        3 推廣應(yīng)用

        下面給出本文的幾個主要推論.

        推論3.1設(shè)g(z)∈Σ~*(α)由(3)式定義,則

        證明在定理2.1中令γ=0,λ=0.

        推論3.1比文獻(xiàn)[20]表示更為精確,同時也延伸了文獻(xiàn)[20]的結(jié)論.

        推論3.2設(shè)g(z)∈Σ*(α)由(3)式定義,則

        證明在定理2.2中令γ=0,λ=0.

        推論3.3設(shè)g(z)∈珘K(α)由(3)式定義,則

        證明在定理2.1中令γ=1,λ=1.

        推論3.3是亞純雙單葉凸函數(shù)類珘K(α)的系數(shù)|b1|的邊界,對于|b0|的邊界沒有限制.

        推論3.4設(shè)g(z)∈K(β)由(3)式定義,則

        證明在定理2.2中令γ=1,λ=1.

        推論3.4是亞純雙單葉凸函數(shù)類K(α)的系數(shù)|b1|的邊界,對于|b0|的邊界沒有限制.

        推論3.5[13]設(shè)g(z)∈Mσ(λ,α)由(3)式定義,則

        證明在定理2.1中令γ=0.

        推論3.6[13]設(shè)g(z)∈Mσ(λ,β)由(3)式定義,則

        證明在定理2.2中令γ=0.

        推論3.6將文獻(xiàn)[13]的結(jié)論表述的更為具體.

        致謝長江大學(xué)科研發(fā)展基金(2013CJY01)和長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院科技創(chuàng)新基金(15J0802)對本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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        Coefficient Bounds for Pascu Class of Meromorphic Bi-univalent Functions

        QIN Chuan1,F(xiàn)ENG Jianzhong2,LI Xiaofei2,3
        (1.College of Engineering and Technology,Yangtze University,Jingzhou 434020,Hubei; 2.Faculy of Information and Mathematics,Yangtze University,Jingzhou 434000,Hubei; 3.Faculy of Science and Technology,Macau University,Macau 519020)

        In this article,two new subclasses Mσ(γ,λ,α)and Nσ(γ,λ,β)of Pascu class of meromorphic bi-univalent functions are defined in Δ={z:z∈C,1<|z|<+∞}.Coefficient bounds|b0|and|b1|of the subclasses are obtained by using properties of meromorphic functions.The results generalize the recent works.

        meromorphic;bi-univalent;starlike functions;convex functions

        O174.51

        A

        1001-8395(2016)03-0349-05

        10.3969/j.issn.1001-8395.2016.03.009

        (編輯余毅)

        2015-12-22

        湖北省自然科學(xué)基金(2013CFAO053)和湖北省教育廳科研基金(B2013281)

        秦川(1985—),女,講師,主要從事泛函分析、復(fù)分析的研究,E-mail:qinchuan0920@163.com

        [1]PASCU N N,PODARU V.On the radius of α-starlikeness for starlike functions of order β[C]//Lecture Notes in Math.Berlin: Springer-Verlag,1981:336-349.

        [2]DEVI S,SWAMINATHAN A.Integral transforms of functions to be in a class of analytic functions using duality techniques[J].J Complex Anal,2014,2014:1-10.

        2010 MSC:30C45

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