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        一類冪函數(shù)的半共軛

        2016-06-05 14:18:14石勇國鐘韜
        關(guān)鍵詞:定義

        石勇國,鐘韜

        一類冪函數(shù)的半共軛

        石勇國1,鐘韜2

        (1.信陽師范學院數(shù)學與信息科學學院,河南信陽464000;2.四川交通職業(yè)技術(shù)學院,四川成都611130)

        運用動力系統(tǒng)方法得到了一種新的實數(shù)表示.利用這種實數(shù)的表示,給出了冪函數(shù)ft:[-1,1]→[-1,1],ft(x)=2|x|t-1,t>0到f1(x)=2|x|-1的半共軛的精確表達式.

        區(qū)間映射;半共軛;冪函數(shù);實數(shù)表示;共軛方程

        設I和J是緊區(qū)間.若共軛方程φ°f=g°φ存在連續(xù)解φ:I→J,則稱自映射f:I→I和g:J→J是拓撲半共軛,簡稱f半共軛于g.連續(xù)映射φ稱作拓撲半共軛,簡稱半共軛.進一步,如果連續(xù)映射φ是雙射,那么稱f和g是拓撲共軛,簡稱f共軛于g.

        如果2個映射共軛,則它們具有相同的動力學性質(zhì);如果f半共軛于g,則映射f的動力學性質(zhì)至少像g那樣復雜.這樣,考慮某個映射的動力學性質(zhì),一般先將這個映射(半)共軛到最簡單的映射,即是所謂的正規(guī)型.

        W.Parry[1]首先給出了關(guān)于區(qū)間映射共軛的經(jīng)典結(jié)果:若多峰映射f是傳遞的,則f共軛于一個斜率為±s的逐段線性映射,其中l(wèi)og s為f的拓撲熵.后來,J.Milnor等[2]進一步給出了半共軛的結(jié)果:如果f是連續(xù)的逐段單調(diào)的區(qū)間映射,拓撲熵log s>0,則f半共軛于一個斜率為±s的逐段線性映射,而且這樣的半共軛是單調(diào)的.J.F.Alves等[3]指出這樣的單調(diào)半共軛不唯一.

        不妨設I:=[-1,1],考慮區(qū)間I上的冪函數(shù)ft(x)=2|x|t-1,t>0,如圖1所示.這類映射是一類單谷映射,最簡單的形式是逐段線性映射f1(x)=2|x|-1.J.Mycielski[4]利用所謂的零點匹配法[5]構(gòu)造共軛,證明了:對于1/2≤t≤2,ft共軛于f1;對于0<t<1/2,ft不共軛于f1.C.Kawan[6]利用不動點定理得到:對于t>1,ft共軛于f1.于是有:對于t≥1/2,ft共軛于f1.

        D.S.Ou等[7]考慮了單峰映射與帳篷映射的半共軛問題,及其推廣.由他們的結(jié)論可得到:對于0<t<1/2,ft半共軛于f1,而且遞增的半共軛存在且唯一.由于無法找到半共軛的精確表達式,他們利用逐段線性的函數(shù)序列逼近半共軛.一個有意思的問題是如何準確確定半共軛,這也是求解共軛方程的核心問題之一[8-9].

        本文利用實數(shù)的f1展開,對于t>0,給出了映射ft到f1的半共軛的精確表達式.該方法可以推廣到一般的單谷或單峰映射的半共軛問題.無需逼近,即可得到精確的半共軛.

        1 實數(shù)的f1展開

        下面介紹f1展開的概念.它是文獻[10]中一類特殊的展開.

        考慮區(qū)間I=[-1,1],按照f1的谷點,將它分成2部分:

        任意的實數(shù)x∈I有下面的展開表達式

        不論哪種情形,均有x2∈I.

        迭代上面過程,得到一個序列{xn},這里x1= x,且對于n≥2有

        于是

        這樣x可以展開成級數(shù)的形式

        類似于二進制,對于每個x∈I都可以通過0-1序列{εn}n∈N表示.簡記為

        容易得到x=-1的f1展開為[1,0,0,0,…];x=0的f1展開為[1,1,0,0,0,…];x=1的f1展開為[0,0,0,0,…].對于每個0-1序列{εn}n∈N,根據(jù)上面的展開式,在I上存在唯一一個實數(shù)與之對應.

        定義關(guān)于映射f1展開的柱集.

        可以看出這些集合是端點為[ε1,ε2,…,εk,1,0,0,0,…]和[ε1,ε2,…,εk,0,0,0,…]的閉區(qū)間.因此這些閉區(qū)間的長度為

        2 半共軛的精確表達式

        定義2.1給定t>0,一個0-1數(shù)列{εn}n∈N稱為點x∈I關(guān)于映射ft的跡,如果

        特別地,當上面定義的映射ft是映射f1時,點x∈I關(guān)于映射f1的跡就是f1展開式.

        下面給出半共軛的精確表達式

        定理2.2給定t>0,任取點x∈I,設0-1數(shù)列{εn}n∈N是點x關(guān)于映射ft的跡,則φt:I→I

        是映射ft到映射f1的一個半共軛.

        利用MATLAB畫出φt曲線,如圖2所示.

        證明首先證明定義的φt滿足φt°ft=f1°φt.因為點ft(x)關(guān)于映射ft的跡為{ε2,ε3,…,εn,…},于是

        另一方面,若φt(x)≤0,則ε1=1,于是

        若φt(x)>0,則ε1=0,于是

        因此,對于所有x∈[-1,1],都有φt°ft=f1°φt.

        再證明φt是區(qū)間[-1,1]上的連續(xù)的滿射.根據(jù)跡,容易得到φt(-1)=-1,φt(0)=0和φt(1)=1.下面分3種子情形證明.

        情形(i)任取x∈[-1,1]使得對于所有的非負整數(shù)k,ft

        k(x)≠0.證φt在這樣的點x上連續(xù).事實上,由ft的連續(xù)性知ft的所有次迭代也連續(xù).任取?>0,選擇N使得2-(N+1)<?.令

        存在一個δ>0使得如果x'∈[-1,1]且|x-x'|<δ,那么對于k=0,1,2,..,N均有|(x)-(x')|<δ'.由x, x'的假設,則x,x'關(guān)于映射ft的跡在前N+1個位置相同,根據(jù)φt的定義有|φt(x)-φt(x')|≤2-(N+1)<?.

        情形(ii)證φt在點x=0處連續(xù).知道無窮數(shù)列{1,1,0,0,0,…}是點x=0關(guān)于映射f1的跡;前面N+1個數(shù)字具有形式{1,1,0,0,0,…}的跡的點x都落在區(qū)間[-1/2N,0]上;前面N+1個數(shù)字具有形式{0,1,0,0,0,…}的跡的點x都落在區(qū)間[0,1/ 2N]上.同時,點x=0關(guān)于映射ft的跡是{1,1,0,0,0,…}.任取?>0,選擇N使得1/2N-1<?.于是對于所有的正整數(shù)k,有fk(c)≠c,類似情形(i)的證明,可以找到一個δ>0使得如果x'∈[-1,1]且|0-x'|<δ,點x=0和x'關(guān)于映射ft的跡至少從第2個位置到前N+1個位置相同.這樣φt(x)∈[-1/2N,1/2N]上,由于φt(0)=0,所以|φt(x')-φt(0)|≤1/2N-1<?.

        情形(iii)討論x≠0但存在正整數(shù)k使得fk(x)=0的所有這樣的點,證φ在這樣點x處連續(xù).設存在最小的正整數(shù)N使得fN(x)=0,記y=0=fN(x).由情形(ii),φ在這樣點y=0處連續(xù),即對于任取?>0,存在δ'>0使得如果y'∈[-1,1]且|y-y' |<δ',則有|φt(y)-φt(y')|<?.令存在正數(shù)δ使得如果x'∈[-1,1]且|x-x'|<δ,則有|(x)-(x')|<δ'和(x)-(x')|<γ,k=0,1,2,..,N-1.這樣點x和x'關(guān)于映射ft的跡的前N個位置相同.因此,令g-i1表示f1某個單調(diào)區(qū)間上的逆映射

        證畢.

        注2.3根據(jù)φt公式,容易驗證φt(x)≥0當且僅當x≥0.φt(x)=0當且僅當x=0.進一步可得φt([-1,0])=[-1,0],φt([0,1])=[0,1].

        注2.4給定0<t<1/2,設0<x0<1是映射ft的不動點.于是對于任意的x∈[x0,1],x關(guān)于映射ft的跡{0,0,0,…},所以φt(x)=1.對于任意的x∈[-1,(x0+1)1/t],x關(guān)于映射ft的跡{1,0,0,0,…},所以φt(x)=-1.

        致謝四川師范大學博士科研啟動一般項目(2015KYQD314)對本文給予了資助,謹致謝意.

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        Semi-conjugacies for a Type of Power Functions

        SHI Yongguo1,ZHONG Tao2
        (1.College of Mathematics and Information Science,Xinyang Normal University,Xinyang 464000,Henan; 2.Sichuan Vocational and Technical College of Communications,Chengdu 611130,Sichuan)

        With the method of dynamical system,we obtain a new representation of real numbers.Using this new real number representation,we obtain the explicit expression of the semi-conjugacy of the power function ft:[-1,1]→[-1,1],ft(x)=2|x|t-1,t>0 to f1(x)=2|x|-1.

        maps of the interval;semi-conjugacy;power function;real number representation;conjugacy equation

        46B20;39B12

        A

        1001-8395(2016)03-0318-04

        10.3969/j.issn.1001-8395.2016.03.003

        (編輯周俊)

        2015-11-19

        國家自然科學基金(11301256),四川省教育廳科研創(chuàng)新團隊基金(14TD0026)和四川省教育廳自然科學一般項目(16ZB0063)

        石勇國(1978—),男,副教授,主要從事函數(shù)方程的研究,E-mail:scumat@163.com

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        2010 MSC:26A03

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