張海燕， 司紅穎

算子乘積的{1，2，3}－逆逆序律

張海燕， 司紅穎

(商丘師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南商丘476000)

借助特殊的空間分解，研究算子乘積的廣義逆序律問題，給出當(dāng)算子A、B、AB為閉值域算子時，B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}和B{1，2，4}A{1，2，4}=AB{1，2，4}分別成立的充要條件．

分塊算子矩陣;{1，2，3}－逆;逆序律

0 引言

為方便描述，首先介紹一些符號．用H和K表示無限維Hilbert空間，B(K，H)表示從K到H中的有界線性算子全體，當(dāng)K=H時，將B(K，H)簡記為B(H)．給定算子A∈B(H，K)，用N(A)和R(A)分別表示算子A零空間和值域空間．對算子G∈B(K，H)，若滿足下列方程中的一個或者幾個均稱G為A的廣義逆:

記A{i，j，…，l}為滿足方程(i)，(j)，…，(l)的算子的集合．算子G∈A{i，j，…，l}稱為算子A的{i，j，…，l} － 逆，有 時 也 記 為 A(ij…l)．算 子 A 的{1，2，3，4}－逆 A+是唯一的，被稱為算子 A的Moore－Penrose逆或偽逆．方程(i)又稱為Moore－Penrose方程或Moore－Penrose條件．

近幾十年來，廣義逆理論已成為很有用的工具，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化控制、數(shù)值分析、微分方程等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用［1］，對多個矩陣或者算子乘積的廣義逆的逆序律及其相關(guān)問題受到了很多學(xué)者的關(guān)注［2－18］．T．N．E．Greville［2］給出了一個較為經(jīng)典的結(jié)果，指出(AB)+=B+A+當(dāng)且僅當(dāng)R(A*AB) R(B)且R(BB*A*) R(A*)，其中A和B為復(fù)矩陣，該結(jié)果被文獻(xiàn)［3－4］推廣到A、B為無限維Hilbert空間上的有界線性算子仍然成立．

隨后，很多學(xué)者著手對各類廣義逆的逆序律進(jìn)行研究．文獻(xiàn)［5］利用一種特殊的空間分解研究算子乘積的{1，3，4}－逆序律問題．文獻(xiàn)［6］利用類似的方法刻畫{1，2，3}－和{1，2，4}－逆的逆序律問題，給出B{1，2，i}A{1，2，i} AB{1，2，i}(i=3，4)成立的充要條件，而在矩陣代數(shù)中，B{1，2，i}A {1，2，i}=AB{1，2，i}(i=3，4)成立的充要條件在文獻(xiàn)［7］中得到刻畫．

本文主要利用分塊算子矩陣技巧，將文獻(xiàn)［7］中相關(guān)結(jié)果推廣到無限維Hilbert空間中去，研究2個算子乘積的{1，2，3}－和{1，2，4}－逆的逆序律問題，給出當(dāng)A、B、AB都為閉值域算子時，B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}和B{1，2，4}A{1，2，4} =AB{1，2，4}分別成立的充要條件．

1 單個算子的{1，2，3}－逆

設(shè)算子A∈B(H，K)是閉值域算子，則算子A在空間分解H=R(A*) N(A)與K=R(A) N(A*)下有矩陣分解形式

其中A1∈B(R(A*)，R(A))可逆．眾所周知，A的Moore－Penrose逆存在當(dāng)且僅當(dāng)A的值域是閉的，且此時A+有矩陣分解形式

算子A的{1，2，3}－逆也有類似的表現(xiàn)形式．在這一部分當(dāng)中，探討在特定的空間分解下算子的{1，2，3}－逆的一般矩陣形式．

引理1 設(shè)A∈B(H，K)是閉值域算子．若A關(guān)于空間分解H=H1H2H3與K=K1K2K3有矩陣形式

其中A11是可逆的且A22是滿射算子，則A的{1，2，3}－逆A(123)有如下分解形式

其中G31∈B(K1，H3)及G32∈B(K2，H3)是任意的，Gji∈B(Ki，Hj)(i，j=1，2)滿足

特別地，若N(A22)≠{0}，則滿足條件2)的G21不唯一．

證明 令G∈A{1，2，3}，可設(shè)G在空間分解K =K1K2K3與H=H1H2H3下有如下矩陣形式

因此

結(jié)合(3)式和Moore－Penrose條件3)(AG)*=AG有

由此將(3)式代入Moore－Penrose條件1)AGA=A有

其中，x1代表A11，y1代表G11，x2代表A12，y2代表G21，x3代表A22，y3代表G22，y4代表G12，所以有

因?yàn)锳11是可逆算子，所以

又結(jié)合A22G21=0，(3)式和Moore－Penrose條件3)知，A11G12+A12G22=0，因此 G12= －A－111A12G22．此時，AG的矩陣形式應(yīng)為

將此式代入Moore－Penrose條件2)GAG=G得

因此，G13=0，G23=0，G33=0，G31∈B(K1，H3)是任意的，且有G22A22G22=G22．結(jié)合G22∈A22{1}與(4)式中(A22G22)*=A22G22知，G22∈A22{1，2，3}．又因?yàn)锳22為滿射算子，則A22G22=IK2．從而由(5)式可以看出G32可以為K2到H3中的任意有界線性算子．證畢．

特別地，若在引理1中K2={0}，容易得出下面結(jié)論．

引理2 設(shè)A∈B(H，K)是閉值域算子．若A關(guān)于空間分解H=H1H2H3與K=K1K2有矩陣形式

其中A11是可逆的，則A的{1，2，3}－逆A(123)有如下分解形式其中G21∈B(K1，H2)及G31∈B(K1，H3)是任意的，

其中G21∈B(R(A)，N(A))是任意的．

2 算子乘積的{1，2，3}－逆的逆序律

推論1 設(shè)A∈B(H，K)是閉值域算子并具有矩陣形式(1)，則A(123)具有如下矩陣分解形式

文獻(xiàn)［7］主要利用矩陣行列變換研究矩陣乘積的{1，2，3}－逆的逆序律．在這一部分中主要利用算子分塊技巧研究無限維Hilbert空間上閉值域算子乘積的廣義逆序律．給出當(dāng)A、B、AB都是閉值域算子時，AB{1，2，3}=B{1，2，3}A{1，2，3}成立的充要條件，并以此推斷AB{1，2，4}=B{1，2，4}A {1，2，4}成立的等價條件．

定理1 設(shè)A∈B(H，K)，B∈B(K，H)，若A、B、AB都是閉值域算子，則AB{1，2，3}=B{1，2，3} A{1，2，3}的充要條件為R(A*AB) R(B)，且R(A)=R(AB)或R(B)∩N(A)={0}．

證明 為方便其見，首先給出一些記號，設(shè)

其中B+是B的Moore－Penrose逆，則H=H1H2H3H4且K=K1K2K3．接下來的證明分3種情況．

(i)H2={0}，則此時有R(B) N(A)，從而AB=0且有AB{1，2，3}={0}．

斷言1 B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}當(dāng)且僅當(dāng)A=0或B=0．

如果A=0或B=0，那么B{1，2，3}A{1，2，3} =AB{1，2，3}自然成立．假設(shè)A和B均不為零算子，則空間H可以正交分解為H=R(A*) R(B) ((N(A) R(B))，那么算子A和B有矩陣分解形式

其中A11、B21是可逆算子．根據(jù)推論1可知，算子A和B的{1，2，3}－逆的矩陣分解形式分別為

其中G21∈B(R(A)，R(B))，G31∈B(R(A)，N(A) R(B))，F(xiàn)21∈B(R(B)，R(B*))為任意算子．

所以

而此種情況下AB{1，2，3}={0}，結(jié)合已知B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}，有B(123)A(123)=0．從而且FG=0．而假設(shè)B≠0，知B≠0．從122121而G21=0．另一方面由推論1知對任意的G21都能使(6)式為A的{1，2，3}－逆，所以只能A=0，這與假設(shè)矛盾．故若B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}，則A=0或B=0，因此斷言1成立．

斷言2 R(A*AB) R(B)，且R(A)=R(AB)或R(B)∩N(A)={0}，當(dāng)且僅當(dāng)A=0或B=0．

充分性顯然成立．只需說明必要性．若R(A)= R(AB)，而此時AB=0，則R(A)=0，即有A=0．若R(B)∩N(A)={0}，而此時R(B) N(A)，則R(B)=0，即有B=0，故斷言2成立．結(jié)合斷言1，知此情況下結(jié)論成立．

(ii)H2≠{0}，且H1≠{0}即R(B)∩N(A)≠{0}．此時A與B有矩陣表示形式如下

其中，A12、B11、B22是可逆算子，A24是滿射算子，從而

由推論1及引理1知，B和A的{1，2，3}－逆分別具有以下矩陣形式

且

其中，F(xiàn)31、F32及Gij，i∈{1，3}，j∈{1，2}是任意的，且Gij，i∈{2，4}，j∈{1，2}滿足

記

于是有

另一方面，結(jié)合AB的分解式(8)，由推論1知

其中M11、M31是任意的．

假設(shè)B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}，那么在相同的空間分解下，對任意的B(123)A(123)應(yīng)具有(AB)(13)的矩陣分解形式，對比(12)和(13)式得

據(jù)引理1，(10)式中的G12是可以任意的，因此此時只能有K2={0}，即有R(A)=R(AB)，則此時A的矩陣分解式(7)中A24=0，又從而A14G41=0，所以R(G41) N(A14)．根據(jù)引理2知，G41是任意的，結(jié)合H4的定義知，A14=0，結(jié)合(9)式知，R(A*AB) R(B)．

反之，若R(A*AB) R(B)且R(A)=R(AB)，則有K2={0}且A的分解式(7)中A24=0，A14=0．因此結(jié)合引理2知，(11)式中G22=0，G42=0，G21=是任意的，并且 G =0，因此(12)式中的12P12=0，B－1

22G22=0，P32=0，且P11、P31可取任意的有界線性算子．對比(12)與(13)式可知，B{1，2，3}A {1，2，3}=AB{1，2，3}成立．

(iii)H2≠{0}但H1={0}，顯然有J1={0}，則此時有R(B)∩N(A)={0}且H=H2H3H4且K=J2J3，那么A、B的矩陣形式為

其中，A12、B22是可逆的，A24是滿射算子．

從而

由推論1及引理1知，AB、B、A的{1，2，3}－逆分別具有以下矩陣形式:

且

其中，M31、F31、F32及Gij，i∈{1，3}，j∈{1，2}是任意的，且Gij，i∈{2，4}，j∈{1，2}滿足

于是有

假設(shè)B{1，2，3}A{1，2，3}=AB{1，2，3}，對比(16)和(18)式得

反之，若R(A*AB) R(B)，則由(15)式知在(14)式中A14=0．據(jù)H4的定義可知，A24可逆，則在(17)式中，．代入(16)與(18)式做對比可知，B{1，2，3}A{1，2，3} =AB{1，2，3}．證畢．

由定理1的證明過程可知下述結(jié)果成立．

注1 設(shè)A∈B(H，K)，B∈B(K，H)為閉值域算子且AB也是閉值域的，則AB{1，2，3} B{1，2，3}A{1，2，3}恒成立．

由廣義逆的4個Moore－Penrose的條件可以看出，若算子G是算子A的{1，2，3}－逆，那么G*一定是算子A*的{1，2，4}－逆，根據(jù){1，2，3}－逆與{1，2，4}－逆的這種對偶關(guān)系容易得出下面的結(jié)論成立．

定理2 設(shè)A∈B(H，K)，B∈B(K，H)為閉值域算子且AB也是閉值域算子，則下列命題等價:

由算子的{1，2，3}－逆，{1，2，4}－逆與其Moore－Penrose逆的關(guān)系，結(jié)合定理1和2，下面給出算子乘積Moore－Penrose逆序律成立的一個充分條件．

推論2 設(shè)A∈B(H，K)，B∈B(K，H)為閉值域算子且 AB也是閉值域算子，若 R(A*AB)= R(BB*A*)，且R(A)=R(AB)或R(B)∩N(A)= {0}成立，則(AB)+=B+A+．

證明 因?yàn)?R(A*AB)=R(BB*A*)，即有R(A*AB) R(B)，根據(jù)定理1可知，AB{1，2，3}= B{1，2，3}A{1，2，3}，所以有B+A+∈AB{1，2，3}．

接下來對應(yīng)定理1的證明過程中的3種情況分別說明:

(i)H2={0}，此時有A=0或者B=0，則結(jié)論自然成立;

(ii)H2≠{0}，且H1≠{0}，此時A與B有矩陣表示形式如下:

其中，A12、B11、B22是可逆算子，從而有

對比A*與B*的矩陣形式可知，R(A*)∩N(B*)= {0}，而又知R(BB*A*)=R(A*AB) R(A*)，所以根據(jù)定理2，可知AB{1，2，4}=B{1，2，4}A{1，2，4}成立，則B+A+∈AB{1，2，4}，前面已證B+A+∈AB{1，2，3}，從而(AB)+=B+A+．

(iii)H2≠{0}但H1={0}，此時有

根據(jù)A12、B22的可逆性，可以得出此時 R(B*)= R(B*A*)．而已知R(BB*A*)=R(A*AB)，所以根據(jù)定理2，可知AB{1，2，4}=B{1，2，4}A{1，2，4}成立，故B+A+∈AB{1，2，4}，所以(AB)+=B+A+成立．證畢．

這里推論2的條件只是充分條件而非必要條件．

例1 設(shè)H為實(shí)Hilbert空間，算子A、B為空間H H H的有界線性算子，其具體形式為

其中I為H上的單位算子，通過直接計(jì)算可得

而

所以AB{1，2，3}≠B{1，2，3}A{1，2，3}．

3 結(jié)語

本文主要是利用了特殊的空間分解對閉值域算子進(jìn)行分塊處理，由此研究集合AB{1，2，3}與B{1，2，3}A{1，2，3}相等的充要條件．利用類似的分解方法也可以刻畫算子乘積的Moore－Penrose逆的逆序律成立等價條件［8］以及Moore－Penrose逆的乘積B+A+與集合AB{1，2，3}的關(guān)系．那么類似的方法是否可以適用于探討更多個算子乘積的廣義逆序律呢?這個問題將有待于進(jìn)一步探討．

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Reverse Order Laws for{1，2，3}-inverse of Two-operator Product

ZHANG Haiyan， SI Hongying

(College of Mathematics and Information Science，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，Henan)

In this paper，we investigate the reverse order laws for{1，2，3}-inverse of two-operator product by making full use of block-operator matrix technique．When A，B，AB are closed range operators，the equivalent conditions for B{1，2，3}A{1，2，3}= AB{1，2，3}and B{1，2，4}A{1，2，4}=AB{1，2，4}are presented．

block-operator matrix;{1，2，3}-inverse;reverse order law

O177．1

A

1001－8395(2016)05－0671－07

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．010

(編輯 鄭月蓉)

2016－01－05

國家自然科學(xué)基金(11501345)、河南省自然科學(xué)基金(1523000410221)和河南省教育廳資助項(xiàng)目(14B110010)

張海燕(1980—)，女，副教授，主要從事算子理論與算子代數(shù)的研究，E－mail:csqam@163．com

2010 MSC:47A05;47A62