周光亞

Frechet空間上移位算子的強specification－性質(zhì)

周光亞

(四川工程職業(yè)技術(shù)學院，四川德陽618000)

證明定義在具有無條件基的Frechet空間上的移位算子是Devaney混沌的，當且僅當其具有強specification－性質(zhì)，從而推廣文獻(S．Bartoll S，F(xiàn)．Martinez－Gimenez，A．Peris．J Diff Eqns Appl，2012，18: 599－605．)的主要結(jié)果到Frechet空間．

specification－性質(zhì);Devaney混沌;移位算子;Frechet空間

1 基本定義

設(shè)(X，d)是一個完備的度量空間，映射f:X→X連續(xù)，則稱(X，f)為一動力系統(tǒng)．本文中，令N={1，2，…，n}，Z={…，－1，0，1，…，n}并且Z+={0，1，2，…，n}．文獻［1］首次給出了混沌的精確數(shù)學定義，即為大家熟知的Li－Yorke混沌．R．L．Devaney［2］從系統(tǒng)的遍歷性和敏感性出發(fā)，給出了另一種為大家普遍接受的混沌定義—Devaney混沌．

稱動力系統(tǒng)(X，f)是Devaney混沌的，如果其滿足以下條件:

1)f是拓撲傳遞的，即對任意非空開子集U，V X，存在n∈Z+，使得fn(U)∩V≠ ;

2)f的周期點在X中稠密;

3)f是初值敏感依賴的，即存在ε＞0，使得對任意x∈X及δ＞0，有n∈Z+及y∈X滿足d(x，y)＜δ，使得d(fn(x)，fn(y))＞ε．

值得注意的是，J．Banks等［3］證明周期點稠密的拓撲傳遞系統(tǒng)是初值敏感依賴的;W．Huang等［4］得到含周期點的拓撲傳遞系統(tǒng)是Li－Yorke混沌的;特別地，Devaney混沌蘊含Li－Yorke混沌．

Specification－性質(zhì)源于文獻［5］關(guān)于公理A－微分同胚的研究，并且后來得到了眾多學者的廣泛研究［5－17］．

定義1［5］在緊度量空間(X，d)上的連續(xù)映射f:X→X具有強specification－性質(zhì)，如果對任意δ＞ 0，存在Nδ∈N，使得對任意s≥2，{y1，y2，…，ys} X及整數(shù)0=j1≤k1＜j2≤k2＜…＜js≤ks滿足 jr+1－kr≥Nδ(0≤r≤s－1)，存在x∈X，使得對任意r≤s及jr≤i≤kr，以下條件成立:

1)d(fi(x)，fi(yr))＜δ;

2)fNδ+ks(x)=x，特別地，如果以上條件對s=2成立，則稱(X，f)具有弱specification－性質(zhì)．

為研究Banach空間上有界線性算子的specification－性質(zhì)，S．Bartoll等［6］最近將該定義推廣到Banach空間;同時得到可分Banach空間上的移位線性算子具有specification－性質(zhì)當且僅當它是Devaney混沌的．作為自然推廣，首先將specification－性質(zhì)的定義推廣到 Frechet空間;同時得到可分Frechet空間上移位算子specification－性質(zhì)的一些等價刻畫．

定義2 設(shè)X為Frechet空間．稱有界線性算子T:X→X具有(強)specification－性質(zhì)，如果存在遞增的T－不變緊子集序列{Km}m∈N滿足0∈K1并且使得對任意 m∈N，T|Km具有(強) specification－性質(zhì)．

2 移位算子的強specification－性質(zhì)

對于正數(shù)序列(vn)n∈N(亦稱權(quán)序列)，考慮如下的Banach空間:

定義其上的移位算子B為B((xi)i)=(xi+1)i．

同理，對于正數(shù)序列(vn)n∈Z，考慮定義在 Banach空間

上的移位算子B為B((xi)i)=(xi+1)i．

對以上定義的移位算子，S．Bartoll等［6］得到了如下結(jié)果．

定理1［6］設(shè)B為定義在lp(v)(或者c0(v))上的有界移位算子，則以下命題等價:

2)B是Devaney混沌的;

3)B具有強specification－性質(zhì)．

定理2［6］設(shè)B為定義在lp(v，Z)(或者c0(v，Z))上的有界移位算子，則以下命題等價:

2)B是Devaney混沌的;

3)B具有強specification－性質(zhì)．

作為 Banach空間的自然推廣，本文考察Frechet空間上移位算子的specification－性質(zhì)．雖然得到的結(jié)果與Banach空間很平行，但是本文的證明方法和文獻［6］是截然不同的，因為Frechet空間上移位算子的動力性質(zhì)更為復(fù)雜，同時不難發(fā)現(xiàn)，文獻［6］的結(jié)果只是本文定理的直接推論．

設(shè)X為向量空間，(‖·‖n)n∈N為定義在X上的遞增的半范序列，則稱X為一個Frechet空間．定義空間X上的完備F－范數(shù)‖·‖為

如果對任意x∈X，存在唯一的系數(shù)xn∈C，使得則稱序列{en}n∈N為空間X的一組基底．

稱Frechet空間X的基底{en}n∈N為無條件基，如果對任意x∈X，級數(shù)x=無條件收斂．

定理 3 設(shè) X為 Frechet序列空間，并且{en}n∈N為X的無條件基．定義移位算子B:X→X為

其中e0:=0，以下命題等價:

1)在X中收斂;

2)B是Devaney混沌的;

3)B具有強specification－性質(zhì);

4)B具有弱specification－性質(zhì)．

證明 由文獻［18］及specification－性質(zhì)的定義可得3)→4)→1) 2)，因此，只需證明:1)→3)．

對任意m∈N，取Km={ n∈N}．顯然，Km為空間X的B－不變子集，并且

斷言1 Km為緊致子集．

斷言2 B|Km具有強specification－性質(zhì)．

并且

由(2)式可得，對任意序列{zn∈C:|zn|≤m}n∈N及任意K≥N，

令Nδ=N+1．對{y1，y2，…，ys} Km及任意整數(shù)0 =j1≤k1＜ j2≤k2＜… ＜ js≤ks滿足jr+1－kr≥Nδ(1≤ r≤ s－1)，不是一般性，假設(shè) yr=．取x=如下

顯然，x∈Km并且Bks+Nδ(x)=x．

對任意1≤r≤s－1及任意jr≤n≤jr+1－1，不難驗證:，由此結(jié)合(3)式，同時注意到≤m 并且 jr+1－kr≥ Nδ，自然可得對任意jr≤i≤kr有

同理，對任意js≤i≤ks有

定理 4 設(shè) X為 Frechet序列空間，并且{en}n∈Z為X的無條件基．定義移位算子B:X→X為

則以下命題等價:

2)B是Devaney混沌的;

3)B具有強specification－性質(zhì);

4)B具有弱specification－性質(zhì)．

證明 由文獻［18］，只需證明1) 3)．

對任意m∈N，取B－不變的緊子集Km=．任意給定δ＞0，注意到{en}n∈Z為無條件基，所以存在N∈N，使得對任意序列{zn∈C:|zn|≤m}n∈Z及任意K≥N，

并且

令Nδ=2N+1．對{y1，y2，…，ys} Km及整數(shù)0= j1≤k1＜j2≤k2＜… ＜js≤ks滿足jr+1－kr≥Nδ(1≤r≤s－1)，置yr=，同時取x =如下

顯然，x∈Km并且Bks+Nδ(x)=x．類比于定理3的證明，不難驗證:B|Km具有強specification－性質(zhì)．

同于文獻［18］和定理3、4，以下結(jié)果顯然成立:

定理 5 設(shè) X為 Frechet序列空間，并且{en}n∈N為X的一組無條件基．定義權(quán)移位算子Bw: X→X為

其中e0:=0，并且權(quán)值w={wn}n∈NC{0}，則以下命題等價:

1)在X中收斂;

2)Bw是Devaney混沌的;

3)Bw具有強specification－性質(zhì);

4)Bw具有弱specification－性質(zhì)．

定理6 設(shè)X為Frechet序列空間，并且{en}n∈Z為X的無條件基．定義權(quán)移位算子Bw:X→X為

其中權(quán)序列w={wn}n∈ZC{0}，則以下命題等價:

1)在X中收斂;

2)Bw是Devaney混沌的;

3)Bw具有強specification－性質(zhì);

4)Bw具有弱specification－性質(zhì)．

定理5自然可得以下推論:

推論 1 設(shè) Bw為定義在 Kothe序列空間λp(A)(1≤p＜+∞，或者p=0)上的連續(xù)權(quán)移位算子，則以下命題等價:

2)Bw是Devaney混沌的;

3)Bw具有強specification－性質(zhì);

4)Bw具有弱specification－性質(zhì)．

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［18］GROSSE－ERDMANN K G，PERIS A．Linear Chaos［M］．London:Springer－Verlag，2011．

The Strong Specification Property of Backward Shift Operator on Frechet Sp ace

ZHOU Guangya

(Sichuan Engineering Technical College，Deyang 618000，Sichuan)

This note characterizes the strong specification property of the backward shift operator defined in Frechet space with an unconditional basis in terms of Devaney chaos，and generalizes the main results obtained in(S．Bartoll S，F(xiàn)．Martinez－Gimenez，A．Peris．J Diff Eqns Appl，2012，18:599－605．)to Frechet space．

specification property;Devaney chaos;backward shift;Frechet space

O189．1

A

1001－8395(2016)05－0678－04

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．05．011

(編輯 鄭月蓉)

2016－04－16

國家自然科學基金(11501391)

周光亞(1957—)，男，副教授，主要從事動力系統(tǒng)的研究，E－mail:zhouguangya1957@163．com

2010 MSC:47A16;47D06;54H20;47B37