焦重慶

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 北京 102206)

電偶極子和磁偶極子場(chǎng)分布相似性的一種解釋

焦重慶

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院， 北京 102206)

電偶極子電場(chǎng)與磁偶極子磁場(chǎng)具有相似的空間分布。然而，這種相似性并非顯而易見(jiàn)：電偶極子由一對(duì)等量異號(hào)電荷組成，而磁偶極子則是一個(gè)電流回路。本文從矢量場(chǎng)邊值問(wèn)題的唯一性定理出發(fā)，得出了面散度源和面旋度源產(chǎn)生的矢量場(chǎng)分布的一種等價(jià)關(guān)系，進(jìn)而對(duì)電偶極子電場(chǎng)與磁偶極子磁場(chǎng)空間分布的相似性進(jìn)行了解釋。

電偶極子；磁偶極子；唯一性定理；邊值問(wèn)題

0 引言

電偶極子和磁偶極子屬于電磁場(chǎng)理論中的基本模型[1-3]。在“電磁場(chǎng)”課程的靜電場(chǎng)部分，電偶極子指的是由兩個(gè)相互臨近的等量異號(hào)電荷組成的電荷系統(tǒng)。提出電偶極子這一基本模型的作用是為講解介質(zhì)的極化電場(chǎng)作鋪墊。此外，在“電磁場(chǎng)”課程的電磁輻射部分，電偶極子(此時(shí)電荷量為時(shí)變的)還可以指電偶極子天線。在“電磁場(chǎng)”課程的恒定磁場(chǎng)部分，磁偶極子指的是一個(gè)閉合的電流回路。此時(shí)，提出磁偶極子這一基本模型是為講解媒質(zhì)磁化后的磁場(chǎng)作鋪墊。此外，在“電磁場(chǎng)”課程的電磁輻射部分，磁偶極子(此時(shí)電流為時(shí)變的)還可以指磁偶極子天線。

有趣的是，為何把一個(gè)電流回路叫做磁偶極子？可能的原因有二：①由于至今仍未發(fā)現(xiàn)帶有磁荷的粒子(磁單極子)，故無(wú)法采用與構(gòu)建電偶極子類似的方法來(lái)構(gòu)建磁偶極子，即無(wú)法用一對(duì)等量異號(hào)的磁荷來(lái)表示磁偶極子；②用電流回路表示的磁偶極子產(chǎn)生的磁場(chǎng)在空間的分布與電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)的空間分布是相同的。也就是說(shuō)，用電流回路表示的磁偶極子與用等量異號(hào)的磁荷構(gòu)成的“理想磁偶極子”在產(chǎn)生磁場(chǎng)的效果上是等價(jià)的。從這個(gè)意義上說(shuō)，電流回路可以替代等量異號(hào)磁荷，因而被等效成磁偶極子。

然而，帶來(lái)的問(wèn)題是，為什么電流回路構(gòu)成的磁偶極子產(chǎn)生的磁場(chǎng)與電偶極子電場(chǎng)的空間分布是一致的？雖然課本上給出的就是如此結(jié)果，但畢竟不便于理解。考慮到，“理想磁偶極子”(本文指一對(duì)臨近的等量異號(hào)磁荷)產(chǎn)生的磁場(chǎng)與電偶極子產(chǎn)生的電場(chǎng)有相同的空間分布是顯而易見(jiàn)的。因此，該問(wèn)題可以換一個(gè)角度理解，即為什么電流回路構(gòu)成的磁偶極子產(chǎn)生的磁場(chǎng)與由等量異號(hào)磁荷構(gòu)成的磁偶極子產(chǎn)生的磁場(chǎng)具有相同的分布。本文從唯一性定理出發(fā)，對(duì)該問(wèn)題給出了解釋。

1 電偶極子場(chǎng)與磁偶極子場(chǎng)的相似性

“電磁場(chǎng)”課本中介紹的電偶極子和磁偶極子的模型如圖1所示。

(a) 電偶極子 (b)磁偶極子

圖1(a)中，q為電荷量，d為電荷間距。以兩電荷的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，由負(fù)電荷指向正電荷的方向?yàn)閦軸方向，則自由空間中電偶極子電場(chǎng)的空間分布可以表示成：

(1)

式中，p=qd為電偶極子的電偶極矩。

圖1(b)中，I為電流，S為電流回路包圍的面積。以S的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與回路所在面垂直且與電流環(huán)形方向成右手螺旋關(guān)系的軸線為z軸，則自由空間中磁偶極子磁場(chǎng)的空間分布可表示成：

(2)

式中，m=IS為磁偶極子的磁偶極矩。

比較式(1)和(2)，不難看出，兩種場(chǎng)的空間分布一致。需要強(qiáng)調(diào)的是，上述等價(jià)關(guān)系成立的前提是場(chǎng)點(diǎn)位于偶極子的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)。在近場(chǎng)區(qū)，兩者顯然不同，前者是有散無(wú)旋場(chǎng)，后者是無(wú)散有旋場(chǎng)。然而，如果電偶極子的電荷間距盡可能小，同時(shí)磁偶極子的回路半徑也盡可能小，則兩者的場(chǎng)分布能夠在靠近偶極子的區(qū)域內(nèi)也能保持一致。

2 面散度源和面旋度源的等效關(guān)系

如圖2所示，某矢量場(chǎng)F在體積V內(nèi)均勻分布，即各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相同、方向也一致。假設(shè)在區(qū)域V外F為零。從矢量場(chǎng)唯一性定理(如亥姆霍茲定理)考慮，矢量場(chǎng)由散度、旋度和邊界條件唯一確定[4]。對(duì)于圖2所示的問(wèn)題，S被看成是分界面而不是邊界，場(chǎng)域?yàn)檎麄€(gè)空間，則從矢量場(chǎng)的分界面條件出發(fā)，為了達(dá)到這種特殊的場(chǎng)分布，必然要求S上有以下兩種面源存在(這種思路類似于電磁場(chǎng)理論中的等效原理[5])：

1)面散度源

ρs=en·(F2-F1)=-en·F

(3)

2)面旋度源

Js=en×(F2-F1)=-en×F

(4)

式中，en為S的法向單位矢量，從S內(nèi)部指向外部。F1指F在S內(nèi)側(cè)的值，F(xiàn)2指F在S外側(cè)的值。

圖2 局限在任一體積內(nèi)的常矢量場(chǎng)

由于F在空間其它區(qū)域均無(wú)散且無(wú)旋。故F的場(chǎng)源只包括上述面散度源和面旋度源。即在上述面散度源和面旋度源的共同作用下，可以產(chǎn)生上述被局限在S內(nèi)部的常矢量場(chǎng)：此時(shí)，上述兩種面源產(chǎn)生的場(chǎng)在V內(nèi)部疊加的效果是形成常矢量場(chǎng)，在V以外區(qū)域則相互抵消。類比自由空間面電荷分布產(chǎn)生的電位移矢量D，可以得出面散度源對(duì)矢量場(chǎng)F的貢獻(xiàn)為

(5)

類比自由空間面電流分布產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度H，可以得出面旋度源對(duì)矢量場(chǎng)F的貢獻(xiàn)為

(6)

對(duì)于位于V外部的場(chǎng)點(diǎn)P，式(5)和(6)疊加等于零。實(shí)際上，我們也可以通過(guò)直接的數(shù)學(xué)推導(dǎo)來(lái)證明這一點(diǎn)。

如果把F看成電位移矢量D，則面散度源對(duì)應(yīng)面電荷，而面旋度源對(duì)應(yīng)面磁流(磁荷運(yùn)動(dòng)形成磁流)。如果把F看成磁場(chǎng)強(qiáng)度H，則面散度源對(duì)應(yīng)面磁荷，而面旋度源對(duì)應(yīng)面電流。

3 相似性的解釋

如圖3所示，假設(shè)自由空間中沿z軸方向的均勻磁場(chǎng)H僅僅分布在高度h、半徑a的圓柱體內(nèi)。則要求在圓柱體的上端面S1存在如下密度的面磁荷分布(定義磁感應(yīng)強(qiáng)度B的散度為磁荷體密度):

ρms1=μ0H

(7)

在圓柱體的下端面S2存在如下密度的面磁荷分布:

ρms2=-μ0H

(8)

在圓柱體的側(cè)面S3存在如下密度的面電流分布:

JS=H

(9)

該電流沿與z軸呈左手螺旋關(guān)系的方向流動(dòng)。

圖3 局限在一圓柱體內(nèi)的均勻磁場(chǎng)

假設(shè)圓柱體的半徑趨向于零，則面磁荷分布被壓縮成一個(gè)點(diǎn)磁荷，其磁荷大小為

qm=πa2ρms1=πa2μ0H

(10)

上端面的磁荷與下端面的磁荷構(gòu)成具有如下偶極矩的“理想磁偶極子”：

m′=qmh=πa2μ0Hh

(11)

依據(jù)電荷和磁荷的對(duì)稱關(guān)系，磁荷磁場(chǎng)與電荷電場(chǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

E?H，D?B，ε0?μ0，qe?qm,p?m′

(12)

式中qe代表電荷，qm代表磁荷。從式(1)、(11)和(12)可以得出式(11)表示的磁偶極子產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度H為

(13)

現(xiàn)在假設(shè)圓柱體的高度趨向于零，則面電流分布被壓縮成一根圓形的線電流，其電流大小為

I=Jsh=Hh

(14)

它相當(dāng)于如下偶極矩的磁偶極子：

m=πa2I=πa2Hh

(15)

可以看出，式(11)給出的基于電流定義的磁偶極矩與式(15)給出的基于磁荷定義的磁偶極矩之間相差一個(gè)常數(shù)μ0，但這并不影響最終的結(jié)論。

依據(jù)第2節(jié)的分析，如果將電流的方向反過(guò)來(lái)，即該電流沿與z軸呈右手螺旋關(guān)系的方向流動(dòng)。然后，該電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)將完全等同于上述“”理想磁偶極子“”產(chǎn)生的磁場(chǎng)。此時(shí)，式(15)表示的基于電流定義的磁偶極子產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度H的表達(dá)式就是式(13)。在式(13)中，將式(15)代入，有

(16)

相應(yīng)的，磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

(17)

可以看出，式(17)與式(2)完全相同。需要指出的是，上述等價(jià)關(guān)系只在圓柱體外部區(qū)域成立，這一點(diǎn)與第1節(jié)末尾所述的電偶極子場(chǎng)與磁偶極子場(chǎng)只在遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)相同的規(guī)律類似。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于矢量場(chǎng)的唯一性定理和分界面條件證明了對(duì)于一個(gè)閉合曲面，通過(guò)在曲面上放置適當(dāng)?shù)拿嫔⒍仍春兔嫘仍?，可在曲面?nèi)產(chǎn)生均勻矢量場(chǎng)，在曲面外產(chǎn)生零矢量場(chǎng)。反之，面散度源和面旋度源可以在曲面外產(chǎn)生相同的場(chǎng)。由此，面電荷分布可以與面磁流分布產(chǎn)生相同的電場(chǎng)，而面磁荷分布可以與面電流分布產(chǎn)生相同的磁場(chǎng)。

基于上述理由，可以證明基于電流回路定義的磁偶極子產(chǎn)生的磁場(chǎng)等同于理想磁偶極子(等量異號(hào)磁荷)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。而又因電偶極子的電場(chǎng)與“理想磁偶極子”產(chǎn)生的磁場(chǎng)具有相同的空間分布。最終對(duì)磁偶極子磁場(chǎng)分布與電偶極子電場(chǎng)分布的相似性給出了解釋。

[1] 倪光正. 工程電磁場(chǎng)原理[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.

[2] 馮慈璋，馬西奎. 工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000.

(焦重慶文)

[3] 王澤忠，全玉生，盧斌先. 工程電磁場(chǎng)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2011.

[4] 雷銀照. 電磁場(chǎng)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008.

[5] 夏明耀、王均宏. 電磁場(chǎng)理論與計(jì)算方法要論[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2013.

A Simple Explanation for the Similarity of Field Distributions of Electric Dipole and Magnetic Dipole

JIAO Chong-qing

(SchoolofElectricalandElectronicEngineering,NorthChinaElectricPowerUniversity,Beijing102206,China)

The electric field distribution of an electric dipole is similar with the magnetic field distribution of a magnetic dipole. However, this similarity is not obvious and is difficult to be understood due to the fact that: an electric dipole consists of a pair of separate electric charges with equal magnitude and opposite sign, but the magnetic dipole is a closed circulation of electric current. A kind of equivalent relationship between the vector field from a surface divergence source and that from a surface rotation source is obtained by using the uniqueness theorem of the boundary problem of a vector field. Based on this relationship, the similarity can be explained easily.

electric dipole; magnetic dipole; uniqueness theorem; boundary problem

2015-04-12;

2016-05-02

焦重慶(1981-)：男，博士，副教授，主要從事電磁場(chǎng)理論和電磁兼容技術(shù)方向的教學(xué)和科研工作，E-mail: cqjiao@ncepu.edu.cn

G642.0

A

1008-0686(2016)03-0031-04