黃 偲

(中國能源建設(shè)集團(tuán)廣東省電力設(shè)計(jì)研究院網(wǎng)絡(luò)信息部，廣東 廣州 510663)

非線性振蕩電路的一種新算法*

黃 偲

(中國能源建設(shè)集團(tuán)廣東省電力設(shè)計(jì)研究院網(wǎng)絡(luò)信息部，廣東 廣州 510663)

提出非線性振蕩電路的一種新的計(jì)算方法，稱之為響應(yīng)頻率迭代法。引進(jìn)相位角作為自變函數(shù)，將非線性振蕩電路的波形泛函表示成自變函數(shù)的余弦泛函，電路的響應(yīng)頻率即為自變函數(shù)對自變量的一階導(dǎo)數(shù)，將電路非線性狀態(tài)方程的求解歸結(jié)為響應(yīng)頻率的確定，并用迭代法近似計(jì)算之；利用響應(yīng)頻率與相位角的微分關(guān)系，計(jì)算出反變換即時(shí)間與相位角的近似關(guān)系式，從而將非線性振蕩電路的波形泛函隨時(shí)間變化而變化的關(guān)系表示為以自變函數(shù)為參量的參數(shù)形式，突破攝動法的激勵(lì)參數(shù)遠(yuǎn)小于1(即弱非線性)的限制，適用于強(qiáng)、弱非線性電路。具體分析了一類三極管振蕩電路，取激勵(lì)參數(shù)為0.8和1,經(jīng)二次頻率迭代，計(jì)算結(jié)果與數(shù)值積分法吻合良好，但攝動法已失效。

新算法；非線性振蕩電路；非線性狀態(tài)方程；波形泛函；響應(yīng)頻率迭代法

振蕩電路，也叫信號發(fā)生器，是電子工程和技術(shù)中廣泛應(yīng)用的模擬電子電路，如大功率的振蕩器、高頻電源、低頻電子技術(shù)實(shí)驗(yàn)、無線電廣播電視信號的發(fā)送和接收、超聲波探傷等測量、自動控制、通信和熱處理等各種技術(shù)領(lǐng)域。

振蕩電路的波形分析一般可歸結(jié)為形如

(1)

這里，t是時(shí)間自變量。目前，線性電路分析法已較完善，而一般非線性電路尚無通用精確解法。常見的近似解法有數(shù)值積分法和解析法。數(shù)值積分法的特點(diǎn)是精度高，但是離散數(shù)值結(jié)果難以描述電路狀態(tài)變量隨時(shí)間的振蕩變化，而且初值也難以確定。對弱非線性電路，傳統(tǒng)近似解析法主要有攝動法、多尺度法、平均法和諧波平衡法等[1]。近年陸續(xù)出現(xiàn)其它相關(guān)研究工作[2-11]。

本文提出一種新的非線性振蕩電路的近似分析方法，稱之為響應(yīng)頻率迭代法。該法同時(shí)適用于強(qiáng)、弱非線性電路。本法引進(jìn)相位角作為自變函數(shù)，將強(qiáng)非線性振蕩電路的波形泛函直接表示為自變函數(shù)的余弦泛函，利用響應(yīng)頻率是相位角對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，計(jì)算出反變換即自變量t與自變函數(shù)φ的近似關(guān)系式，從而將強(qiáng)非線性電路的波形泛函隨自變量變化而變化的關(guān)系表示為以自變函數(shù)為參變量的參數(shù)形式，將強(qiáng)非線性振蕩電路的分析歸結(jié)為電路的響應(yīng)頻率的確定，并以傳統(tǒng)的迭代法近似求解之。作為應(yīng)用，具體分析一類三極管反饋振蕩電路，描畫了電路的相軌線、時(shí)-程曲線和相-程曲線。計(jì)算結(jié)果及幾何圖形顯示，本文的響應(yīng)頻率迭代法與數(shù)值積分的龍格-庫塔法(精度可以任意接近精確解)吻合良好，精度明顯優(yōu)于攝動法。

1 響應(yīng)頻率迭代法

為了便于確定電路(1)的波形曲線，將方程(1)變形為一階微分方程組

(2)

即將方程(1)在時(shí)程空間(x,t)上的問題，轉(zhuǎn)換成相空間(x,y)上的分析。引進(jìn)相位角φ=φ(t)作為自變函數(shù)，振蕩電路(2)的波形假設(shè)為相位角φ余弦泛函：

(3)

自變量t與自變函數(shù)φ的變換關(guān)系式由微分關(guān)系式

(4)

(5)

式(3)中，常量a和b是待定的電路振幅和偏心距。易知，當(dāng)式(2)中的

即電路(2)是對稱振子，則偏心距b=0。

式(4)改寫為

上式對相位角φ由零開始積分，得時(shí)間t與相位角φ的關(guān)系式

(6)

式(6)中，t0=t(0)。于是，振蕩電路的波形泛函x(φ(t))隨自變量t的變化關(guān)系由如下的參數(shù)式確定

(7)

(8)

由式(8)可得振蕩電路的響應(yīng)頻率為

(9)

分別取式(8)中的φ=2π和π, 得

(10)

(11)

一般地，式(10)和(11)是a和b的非線性代數(shù)方程，聯(lián)立之是否有實(shí)數(shù)解、有幾組實(shí)數(shù)解，分別對應(yīng)于振蕩電路是否發(fā)生振蕩、出現(xiàn)幾種波形，a和b分別為波形的振幅與偏心距。取式(6)中的φ=2π，t0=0，則電路的穩(wěn)態(tài)波形的周期為

(12)

(13)

迭代法將第k+1次近似響應(yīng)頻率與第k次近似響應(yīng)頻率的關(guān)系即迭代格式表示為

(14)

振蕩電路的n階近似波形泛函相軌線為：

(15)

式(15)中，an和bn(n=1,2,…)由以下二式聯(lián)立解出：

(16)

(17)

以上二式通常是an和bn非線性代數(shù)方程組，可由數(shù)值法近似求解。類似地，n階近似的自變量tn(φ)和振蕩周期Tn分別為：

(18)

于是，電路的n階近似波形可寫為如下參數(shù)形式

(19)

原則上，只要迭代次數(shù)k足夠大，便可滿足預(yù)定的計(jì)算精度。

關(guān)于波形的穩(wěn)定性問題，可以式(19)確定數(shù)值積分為初值,進(jìn)行數(shù)值模擬,并借助環(huán)域定量(Poincare′-Bendixson)進(jìn)行判斷[1]。

2 一類三極管反饋振蕩電路分析

如圖1所示的三極管反饋振蕩電路(也稱范德波振子)[1]，由于串聯(lián)于集電極回路中的LC回路與基極回路之間互感M的存在，使回路產(chǎn)生自激振蕩。

圖1 三極管振蕩電路Fig.1 Transistor oscillator circuit

設(shè)LC回路的電感L、電容C與電阻R中通過的電流分別為iL,iC,iR。設(shè)Ea為集電極回路中的電勢，Va,Vg分別是集電極及基極電壓，ia是集電極電流,M是基極回路與LC回路之間的互感系數(shù)。

由于基極電流很小，忽略不計(jì)?；芈返臓顟B(tài)方程為

經(jīng)一系列的變量替換及數(shù)學(xué)處理，回路的狀態(tài)方程可寫為

(20)

式(20)即為著名的范德波方程，也稱范德波振子。電路只有一個(gè)平衡點(diǎn)(0,0)。電路中，阻尼(電阻)顯示非線性。將式(20)改寫為一階微分方程組

(21)

(22)

電路(21)周期振蕩一次迭代的相-程曲線表達(dá)式為

取二次近似，并代入式(16)，得

(23)

方程(23)只有一個(gè)實(shí)根

(24)

將式(23)代入式(14)，得二次近似的響應(yīng)頻率

(25)

于是，電路(21)穩(wěn)態(tài)振蕩相軌線的二次近似表達(dá)式為

(26)

攝動法二次近似的振蕩相軌線及響應(yīng)頻率如下[1]：

(27)

分別取ε=0.8和1時(shí)，數(shù)值法、本法及攝動法計(jì)算的相圖比較分別見圖2。

圖2顯示，ε=0.8時(shí)攝動法的誤差十分顯著，本法與數(shù)值法幾乎重合；ε=1時(shí)攝動法與數(shù)值法已無可比性，而本法與數(shù)值法仍吻合良好。將式(25)記為

圖2 電路(21)的三種解法比較Fig.2 Comparison of three methods for circuit (21)

這里，

(28)

(29)

將式(28)、(29)代入式(18)，并取a2≈2,ε=1,t0=0，得

1.057 6φ-0.181 1sinφcosφ-

就上述實(shí)施的條件和要求而言，無論在技術(shù)、硬件、經(jīng)驗(yàn)、方法理論及相關(guān)法律法規(guī)等方面都具備了成熟的實(shí)施與應(yīng)用的條件并有很多成功的案例可以借鑒和復(fù)用。

0.181 1sinφcosφ+0.505 2sin2φ+

0.358 8sin3φcosφ+0.053 9sin5φ·

0.094 7sin5φcos3φ+

0.007 0sin7φcos3φ+

0.007 8sin7φcos5φ-

0.244 4sin4φ+0.358 7sin6φ-

0.143 2sin8φ+0.050 0sin10φ

(30)

上式中，t2(φ)如式(30)。振子在時(shí)-程和相-程空間的波形曲線見圖3，它們出現(xiàn)明顯差異的原因是相空間與時(shí)程空間的周期各不同，分別是2π和Tn。

圖3 電路(21)的三種解法時(shí)-程、相-程曲線比較Fig.3 Comparison of three methods of solution for time-path and phase-path curve of circuit (21)

圖3中，x2(φ),y2(φ),x2(t2),y2(t2)是本文計(jì)算結(jié)果，x(t),y(t)是數(shù)值積分的結(jié)果。圖形顯示，本法的時(shí)-程曲線x=x2(t2)與數(shù)值法的時(shí)-程曲線x=x(t)吻合良好。

本文的方法(式(30) 中取φ=2π)、數(shù)值法和攝動法計(jì)算的極限環(huán)周期分別約為和6.655, 6.711。本法和攝動法與數(shù)值法的誤差分別是0.01和0.056， 攝動法的誤差是本法的5.6倍。

關(guān)于上述解答的穩(wěn)定性，在相圖的內(nèi)外側(cè)分別取點(diǎn)A(0.05,0)和B(3,3)作為數(shù)值積分的初值，其相軌線迅速收斂于解答(見圖4(a))，由環(huán)域定理說明解答穩(wěn)定。

為了進(jìn)一步了解范德波振子(21)的特性，以調(diào)整參數(shù)ε=1 000進(jìn)行r-k法數(shù)值計(jì)算，極限環(huán)相圖如圖4(b)。數(shù)值結(jié)果顯示，該振子的穩(wěn)定性很好，激勵(lì)參數(shù)大至ε=1 000時(shí)，響應(yīng)振幅仍然保持為無擾電路的固有振幅a=2不改變(響應(yīng)頻率隨激勵(lì)參數(shù)的增大而增大)。這對采用該電路的電子儀器(如示波器等)的工作狀態(tài)為何如此 穩(wěn)定，是很好的解釋。

圖4 電路(21)的極限環(huán)相圖Fig.4 limit cycle phase diagram of Circuit (21)

順便指出，非線性振蕩電路的響應(yīng)頻率關(guān)于時(shí)間的變化是非線性的，如圖5所示。電路(21) 當(dāng)調(diào)整參數(shù)ε=1時(shí)等時(shí)間步長數(shù)值積分法的相點(diǎn)分布是很不均勻的(見圖5)。經(jīng)典攝動法將響應(yīng)頻率設(shè)定為與時(shí)間(或相位)無關(guān)的常量(如式(27))，與數(shù)值積分的結(jié)果明顯不符，這是攝動法只適用于小激勵(lì)參數(shù)即弱非線性電路(ε?1)主要原因之一。本法不受小參數(shù)的限制，既適用于弱非線性、也適用于強(qiáng)非線性電路，且計(jì)算精度明顯優(yōu)于現(xiàn)有的分析方法。

圖5 電路(21)等步長的相點(diǎn)分布Fig.5 Phase distribution of equal step length of circuit (21)

3 結(jié) 語

文中雖然沒有一般性地討論強(qiáng)非線性振蕩電路(1)周期振蕩的存在性、唯一性和穩(wěn)定性等定性理論的基本問題，但對具體給定的電路，前二者由式(16)、(17)聯(lián)立的非線性代數(shù)方程組實(shí)根的數(shù)目確定；后者可由本法與數(shù)值積分法相結(jié)合解決。具體做法是，以本法給出的近似解作為數(shù)值積分法的初值，由數(shù)值積分法描出的相軌線走向直接判別解答的穩(wěn)定性。本法集強(qiáng)非線性電路的定性分析和定量計(jì)算于一身，對電路分析具有良好的理論意義實(shí)用價(jià)值。

致謝：衷心感謝導(dǎo)師余順爭教授和李寧教授對本工作的悉心指導(dǎo)。

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A new computation method of the nonlinear oscillation circuits

HUANGCai

(Network & Telecommunication Division, China Energy Construction Group Guangdong Electric Power Design & Research Institute,Guangzhou 510663, China)

A new calculation method of nonlinear oscillation circuit is presented and called as the response frequency alternation method. The phase angle is introduced as the independent functions. The waveform functional of the nonlinear oscillation circuit is shown as the cosine functional of the independent functions. The first derivative of the independent functions about the independent variable is meant by the response frequency of the circuit. The solution of the nonlinear state equation for the circuit is summed the determining of the response frequency for the circuit, and computed it with the alternation method. Using the differential relation of the response frequency between the phase angles, the approximate expression of the inverse transform for the independent variable is computed, and the expression of the variation for the state variable of the nonlinear oscillation circuit following with the time is shown as the parameter form of the independent functions. It is broken through the limit of the excitation parameters much less than 1 (i.e. weakly nonlinear) of the perturbation method and suitable for the strongly and weakly nonlinear circuit. A three-electrode oscillation circuit is discussed specifically with the excitation parameters of the 0.8 and 1, the calculation results are in good agreement with the numerical integral method after two times of iterative frequency, but the perturbation method is invalid.

new computation method; nonlinear oscillation circuit; nonlinear state equation; waveform functional; response frequency alternation method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.06.015

2016-04-30

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11172334)

黃偲(1983年生)，男；研究方向：電子通信；E-mail:lendies@163.com

TN710

A

0529-6579(2016)06-0097-06