熊 偉，宋劍爽，張艷玲，王 智，豐 海

?

彈道式再入飛行器零射程線技術(shù)研究

熊 偉，宋劍爽，張艷玲，王 智，豐 海

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

在介紹了零射程線基本概念的基礎(chǔ)上，提出了3種常用的零射程線工程算法，并基于其中的迭代方法，采用彈道仿真手段，分析了影響零射程線方向的主要因素，給出了零射程線技術(shù)的應(yīng)用途徑，并對(duì)零射程線技術(shù)后續(xù)研究方向進(jìn)行了展望。

彈道式再入飛行器；零射程線；彈道計(jì)算；仿真

0 引 言

對(duì)于彈道、制導(dǎo)設(shè)計(jì)而言，零射程線是一個(gè)非常重要的概念，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。所謂零射程線是指當(dāng)沿該方向?qū)υ偃腼w行器施加速度增量時(shí)，不影響再入飛行器的最終落點(diǎn)。

圖1為零射程線方向示意，經(jīng)過(guò)推進(jìn)點(diǎn)A點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)的慣性彈道可以有無(wú)數(shù)條，圖中給出其中的2條。其中的彈道1和彈道2在A點(diǎn)的差異僅僅是速度矢量不同，彈道1在A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度矢量為1，彈道2在A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的速度矢量2。

圖1 零射程線方向示意

假設(shè)彈道1表示的是地面設(shè)計(jì)好的標(biāo)準(zhǔn)命中彈道，實(shí)際飛行時(shí)只要在A點(diǎn)給再入飛行器一個(gè)速度增量Δ，使再入飛行器在A的速度矢量從1改變?yōu)?，此時(shí)再入飛行器將沿著彈道2飛行，依然能命中目標(biāo)點(diǎn)，但是其飛行軌跡（彈道）已經(jīng)和原來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)命中彈道（彈道1）截然不同，所需飛行時(shí)間、再入彈道傾角、再入速度也和原來(lái)彈道不相同。速度增量Δ僅僅改變了再入飛行器的被動(dòng)段慣性彈道，并沒(méi)有改變?cè)偃腼w行器最終落點(diǎn)，因此，Δ的方向就是零射程線方向。對(duì)于數(shù)值大小相等的速度增量Δ，通常零射程線方向有2個(gè)，即圖1所示的方向和其反方向。

1 零射程線方向的常用計(jì)算方法

目前，零射程線方向可通過(guò)解析法[1]、偏導(dǎo)數(shù)法[2,3]和迭代法等幾種方法進(jìn)行計(jì)算，每種方法都有各自的特點(diǎn)。

1.1 解析法

解析法求解零射程線方向是以橢圓軌道理論為基礎(chǔ)，忽略地球攝動(dòng)、再入段空氣阻力影響，利用被動(dòng)段射程解析解，在軌道平面內(nèi)求解確保射程不變的速度增量方向。具體求解方法在文獻(xiàn)[1]中有詳細(xì)說(shuō)明，本文僅給出最終的零射程線方向計(jì)算公式：

在不考慮姿態(tài)控制偏差的前提下，可得到零射程線方向與發(fā)射慣性坐標(biāo)系a軸方向夾角：

解析法求解零射程線方向，算法簡(jiǎn)單，計(jì)算效率高。但由于該方法沒(méi)有考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，且該解析公式主要是基于一階泰勒展開(kāi)推導(dǎo)得到，略去了高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，存在一定的截?cái)嗾`差，因此其求解精度不是很高。為了得到高精度的零射程線方向解析解，則需要考慮地球自轉(zhuǎn)以及地球形狀的影響，同時(shí)兼顧高階項(xiàng)，重新進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，此過(guò)程將非常繁瑣復(fù)雜，并且得到的解析公式也非常復(fù)雜，具有一定的局限性，難以應(yīng)用于工程實(shí)際。

1.2 偏導(dǎo)數(shù)法

偏導(dǎo)數(shù)法是利用射程對(duì)速度的偏導(dǎo)數(shù)求解零射程線方向，具體計(jì)算過(guò)程及原理如下。

射程對(duì)速度偏導(dǎo)數(shù)可以采用矢量表示為

（4）

零射程線要保證落點(diǎn)相對(duì)原落點(diǎn)的縱橫向偏差均為零，應(yīng)滿足偏導(dǎo)數(shù)與速度增量的點(diǎn)乘結(jié)果為零，即：

（6）

采用偏導(dǎo)數(shù)法計(jì)算零射程線方向，計(jì)算精度相對(duì)解析法有所提高，但是因需計(jì)算射程對(duì)3個(gè)方向速度的偏導(dǎo)數(shù)，需計(jì)算3條彈道，計(jì)算量有所增加。

1.3 迭代法

迭代法是基于彈道迭代[4]的思想，通過(guò)選取合適的迭代算法進(jìn)行零射程線方向的求取。在再入飛行器飛行過(guò)程中，速度增量引起的射程變化與速度增量的方向有關(guān)。圖2描述了對(duì)再入飛行器在主動(dòng)段結(jié)束后繼續(xù)飛行100 s時(shí)施加某個(gè)固定的速度增量引起的射程變化隨速度增量作用方向（箭體軸向方向，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)彈道還指俯仰程序角方向）的變化關(guān)系。若不施加該速度增量，再入飛行器的名義射程為1 209 km。從圖2中可看出，再入飛行器射程（射程減去1 209 km即為落點(diǎn)偏差）隨速度增量作用方向變化曲線為單峰曲線，且規(guī)律性很好。因此可以以速度增量作用方向?yàn)樽兞?，以落點(diǎn)偏差為零作為目標(biāo)進(jìn)行牛頓迭代，通過(guò)迭代能夠得到精度很高的零射程線方向，但該方法需進(jìn)行多次數(shù)值積分彈道計(jì)算[5]，計(jì)算效率較低。

圖2 射程隨速度增量方向（俯仰程序角）變化曲線

解析法、偏導(dǎo)數(shù)法和迭代法3種方法都能夠得到零射程線方向，但其精度和計(jì)算效率不同。為確保計(jì)算精度和效率都滿足要求，工程上可以將解析法與迭代法結(jié)合起來(lái)，以解析法得到的方向作為初值進(jìn)行迭代，既能保證解算精度又能夠提高迭代的效率，以下進(jìn)行彈道仿真計(jì)算分析時(shí)均采用該迭代方法來(lái)求解零射程線方向。

2 零射程線方向的主要影響要素分析

零射程線方向的主要影響要素有以下3點(diǎn)：

a）與再入飛行器所處的位置以及速度有關(guān)。

根據(jù)第1.1節(jié)講述的近似解析公式，零射程線方向與再入飛行器所處的位置以及速度直接相關(guān)。即對(duì)于1條已經(jīng)確定的彈道，當(dāng)再入飛行器處于該彈道的不同位置時(shí)，其零射程線的方向也是不同的。圖3為再入飛行器按典型慣性彈道（即400 km射程對(duì)應(yīng)的慣性彈道和1 200 km射程對(duì)應(yīng)的慣性彈道）飛行時(shí)，在主動(dòng)段關(guān)機(jī)后，零射程線方向隨飛行時(shí)間（計(jì)時(shí)零點(diǎn)為主動(dòng)段關(guān)機(jī)點(diǎn)）的變化曲線。從圖3中可以看出，零射程線方向與飛行時(shí)間有近似的線性關(guān)系。

圖3 零射程線方向隨飛行時(shí)間變化曲線

b）與再入飛行器的射程以及射向有關(guān)。

圖4描述了再入飛行器進(jìn)行典型慣性彈道飛行時(shí)，在不同射程、不同射向條件下零射程線方向隨射向變化規(guī)律。從圖4可以看出，在再入飛行器產(chǎn)品參數(shù)和射程確定的情況下，零射程線方向隨射向變化規(guī)律近似為正/余弦關(guān)系，規(guī)律性較好，有利于快速迭代收斂。

圖4 不同射程零射程線方向隨射向變化曲線

c）與地球形狀及引力場(chǎng)、再入氣動(dòng)力有關(guān)。

如第1節(jié)所述，零射程線方向的計(jì)算精度取決于再入飛行器質(zhì)心運(yùn)動(dòng)彈道計(jì)算模型的精確程度。由于再入飛行器飛行全過(guò)程始終受到地球引力的影響，且在再入飛行段受到氣動(dòng)力的作用，地球形狀及引力場(chǎng)、再入氣動(dòng)力這些影響質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的要素必然對(duì)零射程線方向計(jì)算精度存在一定的影響。經(jīng)過(guò)數(shù)值仿真分析，地球擾動(dòng)引力及再入氣動(dòng)力這兩大要素對(duì)彈道式再入飛行器理論落點(diǎn)航程的影響約為數(shù)百米至數(shù)公里，不是主要影響因素，因此其對(duì)零射程線的計(jì)算精度影響有限，這也驗(yàn)證了在采用解析法推導(dǎo)零射程線方向時(shí)忽略地球攝動(dòng)、再入段空氣阻力影響的合理性。

3 姿態(tài)控制系統(tǒng)對(duì)零射程線技術(shù)應(yīng)用的影響

射程隨速度增量作用方向變化曲線為單峰曲線（見(jiàn)圖2），若該曲線嚴(yán)格連續(xù)且單調(diào)，則基于該曲線的零射程線方向迭代（牛頓迭代）能快速、高精度獲得，并對(duì)迭代初值不敏感；反之，如果該曲線單調(diào)連續(xù)性不好或者局部較差，則會(huì)影響零射程線的迭代速度及精度。在質(zhì)點(diǎn)彈道設(shè)計(jì)時(shí)，不需要考慮姿態(tài)控制系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的影響，且認(rèn)為不存在姿態(tài)控制偏差，可嚴(yán)格控制速度增量作用方向與零射程線方向保持一致，此時(shí)圖2的單峰曲線具有較好的單調(diào)連續(xù)性。

再入飛行器實(shí)際飛行中，姿態(tài)控制系統(tǒng)通常存在一定的姿態(tài)控制偏差，通過(guò)設(shè)計(jì)飛行程序角將速度增量作用方向嚴(yán)格對(duì)準(zhǔn)零射程線方向的難度大幅增加，圖2的單峰曲線局部單調(diào)連續(xù)性將變差。

圖5為考慮姿態(tài)控制系統(tǒng)實(shí)際作用過(guò)程的剛體彈道計(jì)算模型下，單峰曲線（射程與俯仰程序角關(guān)系曲線）在零射程線方向（對(duì)應(yīng)的俯仰程序角約-78°）附近的局部規(guī)律。從圖5可知，該曲線在局部有較多毛刺或鋸齒，非嚴(yán)格的單調(diào)連續(xù)。該毛刺或鋸齒的幅值在幾十米到公里級(jí)。此時(shí)采用牛頓迭代法去迭代零射程線方向?qū)?yīng)的俯仰程序角時(shí)，所使用的迭代步長(zhǎng)不宜過(guò)小，否則將會(huì)使得迭代反復(fù)震蕩而無(wú)法收斂到期望的精度范圍。

圖5 剛體彈道射程（縱向落點(diǎn)偏差）隨俯仰程序角變化局部關(guān)系

為進(jìn)一步說(shuō)明姿態(tài)控制系統(tǒng)控制精度對(duì)零射程線技術(shù)應(yīng)用（即設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的飛行程序角）的影響，通過(guò)假設(shè)姿態(tài)控制系統(tǒng)姿態(tài)控制精度依次取無(wú)偏差、0.1°跟蹤系統(tǒng)差、0.4°跟蹤系統(tǒng)差3種情況進(jìn)行剛體彈道仿真計(jì)算驗(yàn)證，仿真計(jì)算結(jié)果如圖6~8所示。

圖6 姿控系統(tǒng)無(wú)姿態(tài)跟蹤偏差時(shí)射程與俯仰程序角方向關(guān)系

圖7 姿控系統(tǒng)始終存在+0.1°姿態(tài)跟蹤偏差時(shí)射程與俯仰程序角方向關(guān)系

圖8 姿控系統(tǒng)始終存在+0.4°姿態(tài)跟蹤偏差時(shí)射程與俯仰程序角方向關(guān)系

由圖6～8可知，姿態(tài)控制系統(tǒng)控制精度越差，造成的鋸齒毛刺幅值越大，單峰曲線不連續(xù)單調(diào)區(qū)間段越多。通常姿控系統(tǒng)在工程實(shí)現(xiàn)時(shí)不可能完全沒(méi)有姿態(tài)跟蹤偏差，因此，對(duì)于剛體彈道的單峰曲線會(huì)出現(xiàn)一定幅度的毛刺，迭代求解零射程線方向?qū)?yīng)的飛行程序角時(shí)，會(huì)出現(xiàn)反復(fù)震蕩難以收斂的情況，此時(shí)迭代步長(zhǎng)要適當(dāng)增大，進(jìn)行變步長(zhǎng)迭代。

4 零射程線技術(shù)的應(yīng)用

零射程線的概念提出較早，其工程應(yīng)用也越來(lái)越廣泛，主要包括：

a）固體再入飛行器主動(dòng)段的制導(dǎo)。為了盡可能提高最大射程，固體再入飛行器主動(dòng)飛行段普遍采用耗盡關(guān)機(jī)方式以取消推力終止系統(tǒng)[6]。此時(shí)，對(duì)于最大射程以外的其它射程情況，再入飛行器主動(dòng)段的能量有富余，如果主動(dòng)段狀態(tài)滿足關(guān)機(jī)條件但發(fā)動(dòng)機(jī)燃料尚未耗盡，可以將再入飛行器姿態(tài)調(diào)整到零射程線方向，直至發(fā)動(dòng)機(jī)完全關(guān)機(jī)[3]，以消耗完多余的發(fā)動(dòng)機(jī)能量。

b）末修級(jí)標(biāo)準(zhǔn)程序設(shè)計(jì)。通常再入飛行器為了提高落點(diǎn)精度，需要采用液體末修級(jí)來(lái)修正實(shí)際飛行時(shí)主動(dòng)段的彈道偏差。然而在設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)彈道時(shí)不考慮飛行過(guò)程中的干擾或偏差，且末修級(jí)標(biāo)準(zhǔn)程序設(shè)計(jì)時(shí)往往有最小推進(jìn)劑消耗的要求，在這種情況下，末修級(jí)標(biāo)準(zhǔn)程序應(yīng)沿零射程線方向[2]。

c）多再入飛行器協(xié)同落入同一區(qū)域的彈道設(shè)計(jì)。在多再入飛行器協(xié)同飛行并需要落入同一區(qū)域的情況下，再入飛行器母艙可在不同飛行時(shí)刻沿零射程線方向進(jìn)行多個(gè)再入飛行器的拋撒釋放，既可避免不同再入飛行器間潛在的相互碰撞摧毀的可能性，還可確保所有協(xié)同飛行的再入飛行器均落入到同一區(qū)域。

d）最優(yōu)再入機(jī)動(dòng)能量方向求解。對(duì)于具備在飛行中段進(jìn)行主動(dòng)機(jī)動(dòng)的再入飛行器，將推力按最優(yōu)再入機(jī)動(dòng)能量方向作用可使再入機(jī)動(dòng)能力最大化，最大程度地節(jié)省燃料，控制再入飛行器的整體規(guī)模。而最優(yōu)再入機(jī)動(dòng)能量方向與零射程線方向通常具有垂直關(guān)系，因此通過(guò)求解零射程線方向來(lái)間接獲得最優(yōu)再入機(jī)動(dòng)能量方向。

e）末級(jí)艙體處理。通常末級(jí)艙體在將再入飛行器釋放完成后，需要進(jìn)行艙體處理，使其與再入飛行器拉開(kāi)一定的距離，不干擾地面對(duì)再入飛行器的測(cè)量效果，同時(shí)艙體殘骸能落到指定的安全區(qū)域內(nèi)，不造成人員傷亡或財(cái)產(chǎn)損失。末級(jí)艙體處理時(shí)沿零射程線推進(jìn)，直至推進(jìn)劑耗盡是一個(gè)比較好的艙體處理方案，該方案既可避免重新選擇新的落區(qū)，也可通過(guò)改變彈道形狀將再入飛行器與末級(jí)艙體在空間拉開(kāi)一定的距離而不影響地面測(cè)量。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)零射程線的原理進(jìn)行了簡(jiǎn)單闡述，給出了3種常用的工程計(jì)算方法，并采用彈道數(shù)學(xué)仿真手段分析了影響零射程線方向的主要因素，提出了零射程線技術(shù)的應(yīng)用方向，為實(shí)際的工程應(yīng)用提供了一定的技術(shù)基礎(chǔ)。后續(xù)可針對(duì)考慮地球旋轉(zhuǎn)條件下，深入開(kāi)展零射程線方向的快速、高精度解析方法研究[7]，以解決零射程線計(jì)算效率與計(jì)算精度的矛盾，滿足實(shí)際的工程任務(wù)需求。此外，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等模型代理的方法來(lái)快速構(gòu)建零射程線方向與其主要影響因素之間的非線性映射關(guān)系，進(jìn)而提高零射程線方向求解精度也是重要的研究方向。

[1] 陳磊. 戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈中段多彈頭進(jìn)攻方法的研究[J]. 航天控制, 2000(2): 1-4, 11.

[2] 鄭偉. 彈道導(dǎo)彈零射程線及其應(yīng)用[J]. 飛行力學(xué)地球物理攝動(dòng)因素對(duì)遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈命中精度的影響分析及補(bǔ)償方法研究, 2008, 26(4): 73-76.

[3] 馬瑞萍. 一種基于零射程線的閉路制導(dǎo)方法[J]. 彈箭與制導(dǎo)學(xué)報(bào), 2010, 3(5): 43-46.

[4] 馬丹山. 彈道導(dǎo)彈的標(biāo)準(zhǔn)彈道迭代方法研究[J]. 飛行力學(xué), 2007, 25(4): 48-49.

[5] 賈沛然. 遠(yuǎn)程火箭彈道學(xué)[M]. 長(zhǎng)沙: 國(guó)防科技大學(xué)出版社, 1994.

[6] 廖洪昌, 陳奇昌, 王明海. 耗盡關(guān)機(jī)閉路制導(dǎo)導(dǎo)引方法研究[J]. 彈道與制導(dǎo)學(xué)報(bào), 2006, 27(2): 35-38.

[7] 鄭偉. 地球物理攝動(dòng)因素對(duì)遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈命中精度的影響分析及補(bǔ)償方法研究[D]. 長(zhǎng)沙: 國(guó)防科技大學(xué), 2006.

Research on Zero-Range Orientation and Applications of Ballistic Reentry Vehicles

Xiong Wei, Song Jian-shuang, Zhang Yan-ling, Wang Zhi, Feng Hai

(Beijing Institute of Aerospace Systems Engineering, Beijing, 100076)

On the basis of introducing the basic concept of zero-range orientation, three commonly used engineering algorithms were proposed. Aiming at the iteration algorithm, the main factors affecting the zero-range orientation by the trajectory simulation was analyzed, and applying field of zero-range orientation was put forward.

Ballistic reentry vehicles; Zero-range orientation; Trajectory calculation; Simulation

1004-7182(2016)03-0001-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20160301

V412

A

2015-03-02；

2015-07-22

熊 偉（1981-），男，工程師，主要研究方向?yàn)檐壍涝O(shè)計(jì)