朱劍斌，譚守林，譚 飛，李 方

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基于最小二乘原理的天文定姿和定位方案

朱劍斌1，譚守林1，譚 飛2，李 方3

（1. 第二炮兵工程大學906教研室，西安，710025；2. 第二炮兵裝備部西安軍事代表處，西安，710025；3. 第二炮兵工程大學圖書館，西安，710025）

針對彈載平臺天文導航系統(tǒng)的應用，研究了基于最小二乘原理的天文導航方法。在天文定姿中，以大視場星敏感器為天文觀測器件，研究了TRIAD方法和最小二乘定位法，仿真驗證了最小二乘方法在充分利用多顆觀測星的情況下定姿效果優(yōu)于TRIAD法。在天文定位中，摒棄了傳統(tǒng)的非線性濾波方法定位，以最小二乘微分矯正法實現(xiàn)了對導彈的純數(shù)學解析定位，仿真實驗證明最小二乘微分矯正定位方法以較小的運算量獲得了優(yōu)于純慣導的定位精度。

彈道導彈最小二乘法；TRIAD；天文定位天文定姿

0 引 言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，彈道導彈成為了具有超強進攻性和強大威懾力的武器。射擊精度作為導彈武器的主要性能指標之一，很大程度上受制于所配備的導航系統(tǒng)。20世紀中葉，載人航天事業(yè)的發(fā)展極大促進了天文導航技術的現(xiàn)代化應用[1]。彈道導彈由于其運行軌跡的絕大部分位于大氣層之外，為天文觀測設備提供了良好的觀測環(huán)境，彈載天文導航技術也得到了長足的發(fā)展。

本文針對彈載平臺天文導航，研究了基于最小二乘原理的導彈天文定姿、定位技術。在航天器天文定姿技術中，有雙星觀測TRIAD算法[2]、多星觀測Euler-q算法[3]和Quest算法[4]等。本文在大視場星敏感器的基礎上研究了最小二乘法定姿，在仿真實驗的基礎上與TRIAD算法作了比較。在航天器天文定位技術中，傳統(tǒng)方案有高度差法[3]、直接/間接敏感地平定位法[5]等。本文研究了文獻[6]中提出的最小二乘微分矯正算法在導彈天文定位中的應用，并進行了仿真實驗。

1 導彈天文定姿

1.1 TRIAD法定姿

TRIAD定姿法是一種簡單高效的雙星定位方法，只需要2顆觀測星的信息。假設星敏感器坐標系與彈體坐標系b系重合，忽略星敏感器安裝誤差，則星敏感器觀測到的恒星位置矢量便是彈體坐標系中恒星矢量。設彈體系中觀測到2個不共線的恒星位置，單位矢量分別為1和2，在星歷表中查詢到其對應的慣性系i系中單位矢量分別為1*和2*。分別在2個坐標系中基于2個矢量構建正交坐標系如下：

（2）

是慣性系i與彈體坐標系b的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，由可以確定出導彈姿態(tài)角。

1.2 最小二乘法定姿

TRIAD法定姿，本質(zhì)上是雙星觀測定姿。新一代大視場星敏感器可以同時觀測到多顆恒星，如果能充分利用多顆觀測星信息，在條件冗余情況下有望提高定姿精度。

假設星敏感器對某一天區(qū)瞬時成像，提取出顆恒星1，2，···，彈體坐標系b內(nèi)位置坐標分別為（b1，b1，b1）,（b2，b2，b2），···，（bn，bn，bn）。根據(jù)星歷表識別出這些恒星對應的慣性系i中位置坐標分別為（i1，i1，i1），（i2，i2，i2），···，（in，in，in）。彈體系b的3個坐標軸b，b，b在慣性系i中指向分別為（X，Y，Z），（X，Y，Z）和（X，Y，Z），則有以下關系：

令

（5）

式（6）與式（3）本質(zhì)相同，從數(shù)學上看是正定方程組。當>3時，為充分利用冗余的觀測星信息提高測量精度，采用最小二乘法求解：

（7）

1.3 定姿算法仿真驗證

文獻[7]中設計了一種彈道導彈軌跡仿真器，利用其生成一條標準彈道，在標準彈道基礎上進行定姿仿真。

軌跡仿真條件假設：

a）初始位置： 39.98°N， 116.34°E，高度為32.82 m，導彈向東垂直發(fā)射；

b）導彈垂直上升10 s，60 s時結(jié)束轉(zhuǎn)彎，160 s時關閉發(fā)動機，所生成彈道如圖1、圖2所示。

圖1 仿真彈道

圖2 地球上三維彈道

在生成仿真彈道過程中，同時得到了導彈的理想速度、位置和姿態(tài)等數(shù)據(jù)。設某時刻導彈真實姿態(tài)對應的姿態(tài)矩陣為，星敏感器捕獲到某恒星對應的慣性空間位置矢量為*，則在彈體坐標系中該恒星矢量為=?*。實際中星敏感器存在測量誤差，仿真中為模擬星敏感器實際觀測值，將理想的星敏感器觀測值加上量測噪聲。

仿真所使用的星敏感器視場大小為8°×8°，CCD面陣大小為512×512，透鏡焦距長度為98.8 mm，提取精度0.01個象元，像元寬、高均為27 mm。采用蒙特卡羅方法，隨機生成星敏感器光軸的指向為（赤經(jīng)96.735 42°，赤緯57.264 37°），視場內(nèi)捕獲到的恒星經(jīng)星圖識別后得到9顆恒星，其在天球坐標系下坐標如表1所示。

用Matlab軟件進行TRIAD法和最小二乘法定姿編程仿真，設定仿真時間為400 s，星敏感器量測周期為0.4 s，得到1 000個仿真點，誤差曲線如圖3、圖4所示。

表1 天球坐標系下恒星位置

圖3 TRIAD法定姿誤差仿真

圖4 最小二乘法定姿誤差仿真

由圖3、圖4對比可看出，2種方法定姿精度都在角秒級別。TRIAD法對于偏航角定姿誤差達到了2″，對于俯仰角定姿誤差均值在1″左右，而對于滾轉(zhuǎn)角的定姿誤差在750 s以后略有增大，同樣達到了2″。最小二乘法對3個姿態(tài)角的定姿誤差都小于1″，精度略高于TRIAD法定姿，說明其充分利用所有觀測恒星信息后定姿精度相較于僅利用雙星信息的TRIAD法有所提高。

2 導彈天文定位

2.1 最小二乘微分矯正定位算法

傳統(tǒng)的航天器天文自主定位方法主要有直接敏感地平的天文定位法和星光折射間接敏感地平的天文定位法。直接敏感地平定位法需要依靠慣導或地平儀等外部設備提供水平測量基準，技術成熟，但精度有限。星光間接敏感地平定位法通過建立基于航天器軌道動力學的狀態(tài)方程和星光折射角量測方程，再利用非線性濾波的方法在線估計位置信息，精度較高，但是過程較為復雜。文獻[7]中提出了一種基于最小二乘微分矯正法來獲得非線性量測方程組解析解的天文定位方案。該法無需建立導彈動力學狀態(tài)方程，僅利用星敏感器的多星觀測數(shù)據(jù)建立量測方程組，通過量測方程組的求解即可獲得導彈位置在最小二乘意義下的解析解。下面利用該法進行導彈天文定位：

a）第1步：觀測顆折射星，其位置矢量為s1，s2，…，sn，從而得到個折射視高度的觀測值a1()，a2()，…，an()，并構成觀測向量()：

b）第2步：選取導彈初始位置矢量0，代入量測方程得到個折射視高度計算值a1(0)，a2(0)，…，an(0)，并構成計算向量(0)：

c）第3步：應用最小二乘微分矯正法，將觀測方程組進行線性化。將觀測向量在計算向量(0)處進行一階泰勒展開：

（10）

式中

（12）

（13）

由式（13）可得以下正則方程：

（15）

e）第5步：根據(jù)所求微分矯正量對導彈位置進行修正：

2.2 定位算法仿真驗證

文獻[8]中提出了進行星光折射定位仿真所需的折射星觀測數(shù)據(jù)的2種模擬構建方法。本文采用第1種方案，并假設彈載星敏感器對恒星一直保持良好的觀測性，根據(jù)上文所建仿真彈道構造人造星場，模擬觀測數(shù)據(jù)見表2，表2中所用坐標系為第1赤道坐標系。

表2 模擬折射星觀測數(shù)據(jù)

分別采用最小二乘微分矯正法和純捷聯(lián)慣性導航算法進行定位解算，星敏感器輸出周期為0.4 s，慣性輸出周期為0.01 s，總仿真時間1 000 s。星敏感器和慣性器件誤差參數(shù)列于表3。

表3 導航器件誤差參數(shù)

仿真結(jié)果如圖5~10所示。

圖5 慣導定位X方向位置誤差

圖6 天文定位X方向位置誤差

圖7 慣導定位Y方向位置誤差

圖8 天文定位Y方向位置誤差

圖9 慣導定位Z方向位置誤差

圖10 天文定位Z方向位置誤差

由圖5~10對比可以得出以下結(jié)論：

a）斂散性。由于陀螺漂移和加速度計零位偏置的存在，純慣性定位誤差持續(xù)發(fā)散，而天文定位則顯示出了較好的收斂性。

b）定位精度。在和方向運用了最小二乘微分矯正法的天文定位明顯優(yōu)于純慣性定位，當仿真時間為1 000 s時，慣性定位方向誤差達到了近5 000 m，方向達到了140 m左右，而天文定位的誤差則分別縮小到方向誤差為600 m左右，方向誤差為40 m左右。天文定位相較于慣性定位在仿真時間內(nèi)雖然方向誤差沒有明顯提高，但從慣性定位向誤差發(fā)散趨勢來看，很快便會超過天文定位誤差。

c）數(shù)據(jù)更新率。慣性導航體現(xiàn)出了絕對優(yōu)勢，而天文定位則受制于星敏感器的性能，數(shù)據(jù)更新率較低，不能連續(xù)輸出。

3 結(jié) 論

最小二乘法作為一種基本的測量數(shù)據(jù)處理方法，在天文導航中有很好的用武之地，因為天文導航技術本身依靠星敏感器獲得大量恒星觀測數(shù)據(jù)。新一代大視場星敏感器能夠同時觀測多顆恒星，本文利用最小二乘法來處理這些多星觀測數(shù)據(jù)，同時進行了定姿定位的算法研究。

針對定姿問題，將多星觀測數(shù)據(jù)代入式（4）便獲得了數(shù)學意義上的超定方程組，利用最小二乘法解之得到姿態(tài)矩陣，并在基于彈道導彈軌跡仿真器的仿真實驗中驗證了該姿態(tài)矩陣的精度優(yōu)于傳統(tǒng)雙星定位姿態(tài)矩陣。

在定位問題求解中摒棄了傳統(tǒng)的基于航天器軌道動力學的非線性濾波定位法，采用了文獻[7]中提出的利用多星觀測數(shù)據(jù)構造星光折射量測方程組，并利用最小二乘微分矯正法解之獲得航天器在最小二乘意義下的位置解。在彈道導彈軌跡仿真器基礎上，構造一組模擬星光折射量測數(shù)據(jù)，進行定位解算，獲得了明顯優(yōu)于純慣導的定位精度。

本文針對彈載平臺的天文導航方法研究都是在理想情況下進行的，實際工程化背景下彈道導彈的工作環(huán)境復雜，對文中算法的應用存在著較大的制約。本文在定位和定姿的仿真實驗中，彈道全程均利用同一組恒星數(shù)據(jù)，并在假設彈載星敏感器對折射星觀測條件良好的情況下進行的仿真驗證。實際中會存在選星問題，彈道全程利用同一組恒星觀測數(shù)據(jù)不現(xiàn)實。下一步工作方向是加入一個更貼近實際的選星過程，來模擬實際彈道中不同位置和姿態(tài)，選取不同恒星觀測數(shù)據(jù)。

[1] 房建成, 寧曉琳. 天文導航原理及應用[M]. 北京: 北京航空航天大學出版社, 2006.

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Celestial Attitude and Position Determination Project Based onthe Least Square Theory

Zhu Jian-bin1, Tan Shou-lin1, Tan Fei2, Li Fang3

（1. 906 Lab, the Second Artillery Engineering University, Xi’an, 710025; 2. The Second Artillery Equipment Department, Military Representative Office of Xi’an, Xi’an 710025; 3. Library of the Second Artillery Engineering University, Xi’an, 710025）

Missile-born celestial navigation method based on the least square theory was researched in this paper. For celestial attitude determination, TRIAD algorithm and least square method was studied by using large field of view star sensor as the astronomical observation device. Simulation results showed that the precision of least square method using more information of observation stars was better than TRIAD algorithm. For celestial position determination, the least square differential correction method was used to replace the nonlinear Kalman filter. Simulation results showed that the localization precision of least square differential correction method with little amount of calculation was better than pure inertial navigation.

Ballistic missile least square method; TRIAD algorithm; Celestial localization and attitude determination

1004-7182(2016)03-0027-06

10.7654/j.issn.1004-7182.20160307

TJ765.3

A

2015-05-26；

2015-11-03

朱劍斌（1990-），男，碩士研究生，主要研究方向為飛行動力制導