朱劍斌，譚守林，譚 飛，李 方

?

基于最小二乘原理的天文定姿和定位方案

朱劍斌1，譚守林1，譚 飛2，李 方3

（1. 第二炮兵工程大學(xué)906教研室，西安，710025；2. 第二炮兵裝備部西安軍事代表處，西安，710025；3. 第二炮兵工程大學(xué)圖書館，西安，710025）

針對(duì)彈載平臺(tái)天文導(dǎo)航系統(tǒng)的應(yīng)用，研究了基于最小二乘原理的天文導(dǎo)航方法。在天文定姿中，以大視場(chǎng)星敏感器為天文觀測(cè)器件，研究了TRIAD方法和最小二乘定位法，仿真驗(yàn)證了最小二乘方法在充分利用多顆觀測(cè)星的情況下定姿效果優(yōu)于TRIAD法。在天文定位中，摒棄了傳統(tǒng)的非線性濾波方法定位，以最小二乘微分矯正法實(shí)現(xiàn)了對(duì)導(dǎo)彈的純數(shù)學(xué)解析定位，仿真實(shí)驗(yàn)證明最小二乘微分矯正定位方法以較小的運(yùn)算量獲得了優(yōu)于純慣導(dǎo)的定位精度。

彈道導(dǎo)彈最小二乘法；TRIAD；天文定位天文定姿

0 引 言

現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中，彈道導(dǎo)彈成為了具有超強(qiáng)進(jìn)攻性和強(qiáng)大威懾力的武器。射擊精度作為導(dǎo)彈武器的主要性能指標(biāo)之一，很大程度上受制于所配備的導(dǎo)航系統(tǒng)。20世紀(jì)中葉，載人航天事業(yè)的發(fā)展極大促進(jìn)了天文導(dǎo)航技術(shù)的現(xiàn)代化應(yīng)用[1]。彈道導(dǎo)彈由于其運(yùn)行軌跡的絕大部分位于大氣層之外，為天文觀測(cè)設(shè)備提供了良好的觀測(cè)環(huán)境，彈載天文導(dǎo)航技術(shù)也得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。

本文針對(duì)彈載平臺(tái)天文導(dǎo)航，研究了基于最小二乘原理的導(dǎo)彈天文定姿、定位技術(shù)。在航天器天文定姿技術(shù)中，有雙星觀測(cè)TRIAD算法[2]、多星觀測(cè)Euler-q算法[3]和Quest算法[4]等。本文在大視場(chǎng)星敏感器的基礎(chǔ)上研究了最小二乘法定姿，在仿真實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上與TRIAD算法作了比較。在航天器天文定位技術(shù)中，傳統(tǒng)方案有高度差法[3]、直接/間接敏感地平定位法[5]等。本文研究了文獻(xiàn)[6]中提出的最小二乘微分矯正算法在導(dǎo)彈天文定位中的應(yīng)用，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。

1 導(dǎo)彈天文定姿

1.1 TRIAD法定姿

TRIAD定姿法是一種簡(jiǎn)單高效的雙星定位方法，只需要2顆觀測(cè)星的信息。假設(shè)星敏感器坐標(biāo)系與彈體坐標(biāo)系b系重合，忽略星敏感器安裝誤差，則星敏感器觀測(cè)到的恒星位置矢量便是彈體坐標(biāo)系中恒星矢量。設(shè)彈體系中觀測(cè)到2個(gè)不共線的恒星位置，單位矢量分別為1和2，在星歷表中查詢到其對(duì)應(yīng)的慣性系i系中單位矢量分別為1*和2*。分別在2個(gè)坐標(biāo)系中基于2個(gè)矢量構(gòu)建正交坐標(biāo)系如下：

（2）

是慣性系i與彈體坐標(biāo)系b的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，由可以確定出導(dǎo)彈姿態(tài)角。

1.2 最小二乘法定姿

TRIAD法定姿，本質(zhì)上是雙星觀測(cè)定姿。新一代大視場(chǎng)星敏感器可以同時(shí)觀測(cè)到多顆恒星，如果能充分利用多顆觀測(cè)星信息，在條件冗余情況下有望提高定姿精度。

假設(shè)星敏感器對(duì)某一天區(qū)瞬時(shí)成像，提取出顆恒星1，2，···，彈體坐標(biāo)系b內(nèi)位置坐標(biāo)分別為（b1，b1，b1）,（b2，b2，b2），···，（bn，bn，bn）。根據(jù)星歷表識(shí)別出這些恒星對(duì)應(yīng)的慣性系i中位置坐標(biāo)分別為（i1，i1，i1），（i2，i2，i2），···，（in，in，in）。彈體系b的3個(gè)坐標(biāo)軸b，b，b在慣性系i中指向分別為（X，Y，Z），（X，Y，Z）和（X，Y，Z），則有以下關(guān)系：

令

（5）

式（6）與式（3）本質(zhì)相同，從數(shù)學(xué)上看是正定方程組。當(dāng)>3時(shí)，為充分利用冗余的觀測(cè)星信息提高測(cè)量精度，采用最小二乘法求解：

（7）

1.3 定姿算法仿真驗(yàn)證

文獻(xiàn)[7]中設(shè)計(jì)了一種彈道導(dǎo)彈軌跡仿真器，利用其生成一條標(biāo)準(zhǔn)彈道，在標(biāo)準(zhǔn)彈道基礎(chǔ)上進(jìn)行定姿仿真。

軌跡仿真條件假設(shè)：

a）初始位置： 39.98°N， 116.34°E，高度為32.82 m，導(dǎo)彈向東垂直發(fā)射；

b）導(dǎo)彈垂直上升10 s，60 s時(shí)結(jié)束轉(zhuǎn)彎，160 s時(shí)關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，所生成彈道如圖1、圖2所示。

圖1 仿真彈道

圖2 地球上三維彈道

在生成仿真彈道過程中，同時(shí)得到了導(dǎo)彈的理想速度、位置和姿態(tài)等數(shù)據(jù)。設(shè)某時(shí)刻導(dǎo)彈真實(shí)姿態(tài)對(duì)應(yīng)的姿態(tài)矩陣為，星敏感器捕獲到某恒星對(duì)應(yīng)的慣性空間位置矢量為*，則在彈體坐標(biāo)系中該恒星矢量為=?*。實(shí)際中星敏感器存在測(cè)量誤差，仿真中為模擬星敏感器實(shí)際觀測(cè)值，將理想的星敏感器觀測(cè)值加上量測(cè)噪聲。

仿真所使用的星敏感器視場(chǎng)大小為8°×8°，CCD面陣大小為512×512，透鏡焦距長(zhǎng)度為98.8 mm，提取精度0.01個(gè)象元，像元寬、高均為27 mm。采用蒙特卡羅方法，隨機(jī)生成星敏感器光軸的指向?yàn)椋ǔ嘟?jīng)96.735 42°，赤緯57.264 37°），視場(chǎng)內(nèi)捕獲到的恒星經(jīng)星圖識(shí)別后得到9顆恒星，其在天球坐標(biāo)系下坐標(biāo)如表1所示。

用Matlab軟件進(jìn)行TRIAD法和最小二乘法定姿編程仿真，設(shè)定仿真時(shí)間為400 s，星敏感器量測(cè)周期為0.4 s，得到1 000個(gè)仿真點(diǎn)，誤差曲線如圖3、圖4所示。

表1 天球坐標(biāo)系下恒星位置

圖3 TRIAD法定姿誤差仿真

圖4 最小二乘法定姿誤差仿真

由圖3、圖4對(duì)比可看出，2種方法定姿精度都在角秒級(jí)別。TRIAD法對(duì)于偏航角定姿誤差達(dá)到了2″，對(duì)于俯仰角定姿誤差均值在1″左右，而對(duì)于滾轉(zhuǎn)角的定姿誤差在750 s以后略有增大，同樣達(dá)到了2″。最小二乘法對(duì)3個(gè)姿態(tài)角的定姿誤差都小于1″，精度略高于TRIAD法定姿，說明其充分利用所有觀測(cè)恒星信息后定姿精度相較于僅利用雙星信息的TRIAD法有所提高。

2 導(dǎo)彈天文定位

2.1 最小二乘微分矯正定位算法

傳統(tǒng)的航天器天文自主定位方法主要有直接敏感地平的天文定位法和星光折射間接敏感地平的天文定位法。直接敏感地平定位法需要依靠慣導(dǎo)或地平儀等外部設(shè)備提供水平測(cè)量基準(zhǔn)，技術(shù)成熟，但精度有限。星光間接敏感地平定位法通過建立基于航天器軌道動(dòng)力學(xué)的狀態(tài)方程和星光折射角量測(cè)方程，再利用非線性濾波的方法在線估計(jì)位置信息，精度較高，但是過程較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[7]中提出了一種基于最小二乘微分矯正法來獲得非線性量測(cè)方程組解析解的天文定位方案。該法無需建立導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程，僅利用星敏感器的多星觀測(cè)數(shù)據(jù)建立量測(cè)方程組，通過量測(cè)方程組的求解即可獲得導(dǎo)彈位置在最小二乘意義下的解析解。下面利用該法進(jìn)行導(dǎo)彈天文定位：

a）第1步：觀測(cè)顆折射星，其位置矢量為s1，s2，…，sn，從而得到個(gè)折射視高度的觀測(cè)值a1()，a2()，…，an()，并構(gòu)成觀測(cè)向量()：

b）第2步：選取導(dǎo)彈初始位置矢量0，代入量測(cè)方程得到個(gè)折射視高度計(jì)算值a1(0)，a2(0)，…，an(0)，并構(gòu)成計(jì)算向量(0)：

c）第3步：應(yīng)用最小二乘微分矯正法，將觀測(cè)方程組進(jìn)行線性化。將觀測(cè)向量在計(jì)算向量(0)處進(jìn)行一階泰勒展開：

（10）

式中

（12）

（13）

由式（13）可得以下正則方程：

（15）

e）第5步：根據(jù)所求微分矯正量對(duì)導(dǎo)彈位置進(jìn)行修正：

2.2 定位算法仿真驗(yàn)證

文獻(xiàn)[8]中提出了進(jìn)行星光折射定位仿真所需的折射星觀測(cè)數(shù)據(jù)的2種模擬構(gòu)建方法。本文采用第1種方案，并假設(shè)彈載星敏感器對(duì)恒星一直保持良好的觀測(cè)性，根據(jù)上文所建仿真彈道構(gòu)造人造星場(chǎng)，模擬觀測(cè)數(shù)據(jù)見表2，表2中所用坐標(biāo)系為第1赤道坐標(biāo)系。

表2 模擬折射星觀測(cè)數(shù)據(jù)

分別采用最小二乘微分矯正法和純捷聯(lián)慣性導(dǎo)航算法進(jìn)行定位解算，星敏感器輸出周期為0.4 s，慣性輸出周期為0.01 s，總仿真時(shí)間1 000 s。星敏感器和慣性器件誤差參數(shù)列于表3。

表3 導(dǎo)航器件誤差參數(shù)

仿真結(jié)果如圖5~10所示。

圖5 慣導(dǎo)定位X方向位置誤差

圖6 天文定位X方向位置誤差

圖7 慣導(dǎo)定位Y方向位置誤差

圖8 天文定位Y方向位置誤差

圖9 慣導(dǎo)定位Z方向位置誤差

圖10 天文定位Z方向位置誤差

由圖5~10對(duì)比可以得出以下結(jié)論：

a）斂散性。由于陀螺漂移和加速度計(jì)零位偏置的存在，純慣性定位誤差持續(xù)發(fā)散，而天文定位則顯示出了較好的收斂性。

b）定位精度。在和方向運(yùn)用了最小二乘微分矯正法的天文定位明顯優(yōu)于純慣性定位，當(dāng)仿真時(shí)間為1 000 s時(shí)，慣性定位方向誤差達(dá)到了近5 000 m，方向達(dá)到了140 m左右，而天文定位的誤差則分別縮小到方向誤差為600 m左右，方向誤差為40 m左右。天文定位相較于慣性定位在仿真時(shí)間內(nèi)雖然方向誤差沒有明顯提高，但從慣性定位向誤差發(fā)散趨勢(shì)來看，很快便會(huì)超過天文定位誤差。

c）數(shù)據(jù)更新率。慣性導(dǎo)航體現(xiàn)出了絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，而天文定位則受制于星敏感器的性能，數(shù)據(jù)更新率較低，不能連續(xù)輸出。

3 結(jié) 論

最小二乘法作為一種基本的測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法，在天文導(dǎo)航中有很好的用武之地，因?yàn)樘煳膶?dǎo)航技術(shù)本身依靠星敏感器獲得大量恒星觀測(cè)數(shù)據(jù)。新一代大視場(chǎng)星敏感器能夠同時(shí)觀測(cè)多顆恒星，本文利用最小二乘法來處理這些多星觀測(cè)數(shù)據(jù)，同時(shí)進(jìn)行了定姿定位的算法研究。

針對(duì)定姿問題，將多星觀測(cè)數(shù)據(jù)代入式（4）便獲得了數(shù)學(xué)意義上的超定方程組，利用最小二乘法解之得到姿態(tài)矩陣，并在基于彈道導(dǎo)彈軌跡仿真器的仿真實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證了該姿態(tài)矩陣的精度優(yōu)于傳統(tǒng)雙星定位姿態(tài)矩陣。

在定位問題求解中摒棄了傳統(tǒng)的基于航天器軌道動(dòng)力學(xué)的非線性濾波定位法，采用了文獻(xiàn)[7]中提出的利用多星觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)造星光折射量測(cè)方程組，并利用最小二乘微分矯正法解之獲得航天器在最小二乘意義下的位置解。在彈道導(dǎo)彈軌跡仿真器基礎(chǔ)上，構(gòu)造一組模擬星光折射量測(cè)數(shù)據(jù)，進(jìn)行定位解算，獲得了明顯優(yōu)于純慣導(dǎo)的定位精度。

本文針對(duì)彈載平臺(tái)的天文導(dǎo)航方法研究都是在理想情況下進(jìn)行的，實(shí)際工程化背景下彈道導(dǎo)彈的工作環(huán)境復(fù)雜，對(duì)文中算法的應(yīng)用存在著較大的制約。本文在定位和定姿的仿真實(shí)驗(yàn)中，彈道全程均利用同一組恒星數(shù)據(jù)，并在假設(shè)彈載星敏感器對(duì)折射星觀測(cè)條件良好的情況下進(jìn)行的仿真驗(yàn)證。實(shí)際中會(huì)存在選星問題，彈道全程利用同一組恒星觀測(cè)數(shù)據(jù)不現(xiàn)實(shí)。下一步工作方向是加入一個(gè)更貼近實(shí)際的選星過程，來模擬實(shí)際彈道中不同位置和姿態(tài)，選取不同恒星觀測(cè)數(shù)據(jù)。

[1] 房建成, 寧曉琳. 天文導(dǎo)航原理及應(yīng)用[M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2006.

[2] Shunster M D, Oh S D. Three-axis determinatnion from vector observation[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1981, 4(1) : 70-77.

[3] Mortari D. Euler-q algorithm for attitude determination from vector ob-servation[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1998, 21(2) : 245-334.

[4] Jamshaid A, Zhang C Y, Fang J C. An algorithm for astro-inertial navigation using CCD star sensors[J]. Aerospace Science and Technology, 2006(10): 449-454.

[5] 張承, 熊智, 王融, 等. 直接敏感地平的空天飛行器慣性/天文組合方法[J]. 中國(guó)空間科學(xué)技術(shù). 2013(03): 64-71.

[6] 王新龍, 馬閃. 高空長(zhǎng)航時(shí)無人機(jī)高精度自主定位方法[J]. 航空學(xué)報(bào), 2008(S1): 39-45.

[7] 敖宏奎, 王宏力, 侯青劍, 等. 彈道導(dǎo)彈軌跡發(fā)生器的設(shè)計(jì)[J]. 兵工自動(dòng)化, 2007(08): 66-68.

[8] White R L, Gounley R B. Satellite autonomous navigation with SHAD[R]. The Charles Stark Draper Laboratory, Inc, Cambridge, Massachusetts, AD-A184-998, 1987.

Celestial Attitude and Position Determination Project Based onthe Least Square Theory

Zhu Jian-bin1, Tan Shou-lin1, Tan Fei2, Li Fang3

（1. 906 Lab, the Second Artillery Engineering University, Xi’an, 710025; 2. The Second Artillery Equipment Department, Military Representative Office of Xi’an, Xi’an 710025; 3. Library of the Second Artillery Engineering University, Xi’an, 710025）

Missile-born celestial navigation method based on the least square theory was researched in this paper. For celestial attitude determination, TRIAD algorithm and least square method was studied by using large field of view star sensor as the astronomical observation device. Simulation results showed that the precision of least square method using more information of observation stars was better than TRIAD algorithm. For celestial position determination, the least square differential correction method was used to replace the nonlinear Kalman filter. Simulation results showed that the localization precision of least square differential correction method with little amount of calculation was better than pure inertial navigation.

Ballistic missile least square method; TRIAD algorithm; Celestial localization and attitude determination

1004-7182(2016)03-0027-06

10.7654/j.issn.1004-7182.20160307

TJ765.3

A

2015-05-26；

2015-11-03

朱劍斌（1990-），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行動(dòng)力制導(dǎo)