朱曉明，楊　瑩，薛春善

(1.周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001；2. 鄭州航空港經(jīng)濟(jì)綜合實(shí)驗(yàn)區(qū) 第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)，河南 鄭州 451162)

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一個(gè)廣義耦合KdV孤子方程的孤子新解

朱曉明1，楊瑩2，薛春善1

(1.周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 周口 466001；2. 鄭州航空港經(jīng)濟(jì)綜合實(shí)驗(yàn)區(qū) 第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)，河南 鄭州 451162)

摘要：主要考慮一個(gè)廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程，通過變量代換和Hirota方法，得到廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程的N-孤子解，并做出了單孤子和二孤子的圖像.

關(guān)鍵詞：孤子解; Hirota方法; 廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程

在文獻(xiàn)[1]中，Hirota和Satsuma導(dǎo)出了一個(gè)耦合的KdV方程

(1)

方程(1)就是通常指的Hirota-Satsuma耦合KdV方程，該方程通常描述不同散射關(guān)系的兩列長(zhǎng)波的相互作用, 許多相關(guān)的研究已經(jīng)廣泛而深入[1-6]. 本文將考察廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程[7]

(2)

該方程的推導(dǎo)是通過引入一個(gè)帶有三個(gè)位勢(shì)的4×4的譜問題，由零曲率方程得到了一個(gè)新的孤子族. 通過變量替換w=v, 方程(2)變成(1). 文獻(xiàn)[8-12]表明方程(2)具有孤子解、Lax對(duì)、貝克隆變換、哈密爾頓結(jié)構(gòu)等性質(zhì). 本文通過Hirota方法[13]得到方程(2)的N-孤子解并做出單孤子和二孤子的圖像.

1雙線性算子及主要性質(zhì)

1.1雙線性算子的定義

(3)

特別地，當(dāng)m=n=1時(shí)算得

(4)

而當(dāng)m=0，n=2時(shí)有

(5)

1.2雙線性算子的性質(zhì)

1. 函數(shù)g(t,x)與自身的奇數(shù)次雙線性導(dǎo)數(shù)為零，即當(dāng)m+n為奇數(shù)時(shí),

(6)

2. 交換函數(shù)與雙線性導(dǎo)數(shù)的順序，當(dāng)導(dǎo)數(shù)是偶次時(shí)其值不變，而導(dǎo)數(shù)是奇次時(shí)要改變符號(hào)

(7)

3. 函數(shù)g(t,x)與數(shù)1的雙線性導(dǎo)數(shù)就是通常的導(dǎo)數(shù)，即

(8)

4. 兩個(gè)線性指數(shù)函數(shù)的雙線性導(dǎo)數(shù)等于指數(shù)相加的線性指數(shù)函數(shù)的適當(dāng)倍數(shù)，即

(9)

其中

(10)

由此推得相同的線性指數(shù)函數(shù)的雙線性導(dǎo)數(shù)為零.即

(11)

2 廣義Hirota-Satsuma耦合KdV方程的雙線性形式

對(duì)于方程(2),通過變換

(12)

方程(2)可以寫成如下的雙線性方程

(13)

其中f·f表示f與f的共軛，D表示Hirota雙線性算子,滿足方程(3).

3 N-孤子解

下面利用Hirota方法給出方程(2)的多孤子解. 將f(t,x),g(t,x),h(t,x)以ε小參數(shù)展開，得

(14)

將式(14)中合并ε的同次冪，得到一系列的偏微分方程:

(15)

(16)

(17)

···

(18)

(19)

(20)

(21)

···

(22)

(23)

(24)

···

(25)

(26)

(27)

(28)

故方程(2)的單孤子解為

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

g2=eξ1+eξ2+C1eξ1+ξ2+ξ3+θ12+θ13+θ23+C2eξ1+ξ2+ξ4+θ12+θ14+θ24,

(34)

h2=C1eξ1+C2eξ2+C1C2eξ1+ξ2+ξ3+θ12+θ13+θ23+C2C1eξ1+ξ2+ξ4+θ12+θ14+θ24.

(35)

故方程(2)的雙孤子解為:

(36)

一般的N孤子解可以由式(12)給出.

(37)

(38)

(39)

(40)

CN+j=Cj, (j=1，...，N).

A1(μ)，A2(μ)表示當(dāng)uj(j=1,2,...，N)取所有可能的0或1時(shí)還需要分別滿足條件:

(41)

適當(dāng)選擇參數(shù)，由式(29)、(36)分別作出了單孤子和二孤子的圖像，見圖1、圖2.

圖1　(u,v,w)是方程(2)在處的單孤子解

參考文獻(xiàn)：

[1]Hirota R, Satsuma J. Soliton solutions of a coupled Korteweg-de Vries equation [J]. Physics Letters A, 1981, 85(8): 407-408.

[2]Chowdhury A R, Basak S. On the complete solution of the Hirota-Satsuma system through the'dressing'operator technique [J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1984, 17(16): L863.

[3]Konopelchenko B, Sidorenko J, Strampp W. (1+ 1)-dimensional integrable systems as symmetry constraints of (2+ 1)-dimensional systems [J]. Physics Letters A, 1991, 157(1): 17-21.

[4]Dodd R, Fordy A. On the integrability of a system of coupled KdV equations [J]. Physics Letters A, 1982, 89(4): 168-170.

[5]Wilson G. The affine lie algebra C(1) 2 and an equation of Hirota and Satsuma [J]. Physics Letters A, 1982, 89(7): 332-334.

[6]Satsuma J, Hirota R. A coupled KdV equation is one case of the four-reduction of the KP hierarchy [J]. J Phys Soc Japan, 1982, 51(10): 3390-3397.

[7]Wu Y, Geng X, Hu X, et al. A generalized Hirota-Satsuma coupled Korteweg-de Vries equation and Miura transformations [J]. Physics Letters A, 1999, 255(4): 259-264.

[8]Fan E. Soliton solutions for a generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation and a coupled MKdV equation [J]. Physics Letters A, 2001, 282(1): 18-22.

[9]范筑軍, 伍小明. 廣義Hirota—Satsuma偶合KdV方程的四孤子解[J].中山大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2000, 39(4): 15-18.

[10]任宏峰. 廣義Hirota-Satsuma 型耦合KdV方程的精確解[D].鄭州大學(xué), 2007.

[11]劉靜. 關(guān)于廣義Satsuma-Hirota 耦合KdV族及其廣義Hamilton 結(jié)構(gòu)的研究[D].鄭州大學(xué), 2008.

[12]王曉民, 蘇道, 畢力格. 廣義的Hirota-Satsuma耦合KdV系統(tǒng)的精確行波解[J].內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2013(1): 6-10.

[13]Hirota R, Nagai A, Nimmo J. The direct method in soliton theory [M]. Cambridge Univ Pr, 2004.

The new N-soliton solutions of the generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation

ZHU Xiaoming1，YANG Ying2, XUE Chunshan1

(1.School of Mathematics and Statistics, Zhoukou Normal University, Zhoukou 466001,China;2.Second Experimental Middle School,Zhengzhou Airport Economy Zone,Zhengzhou 451162,China)

Abstract:As a application of the Hirota method and the perturbation technique, the soliton solution of a generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation is obtained. Further, figures of some obtained explicit solutions of the generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation are illustrated.

Key words:soliton solution; Hirota method; generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation

收稿日期：2015-08-06;修回日期：2015-09-24

基金項(xiàng)目：河南省教育廳資助項(xiàng)目(No.13A110101);周口師范學(xué)院創(chuàng)新基金項(xiàng)目(No.zksykycx201303)

作者簡(jiǎn)介：朱曉明(1977- )，男，河南周口人，講師，博士，主要從事可積系統(tǒng)研究.

中圖分類號(hào)：O175.24

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671-9476(2016)02-0011-05

DOI：10.13450/j.cnki.jzknu.2016.02.003