劉創(chuàng)林

一、問(wèn)題的背景歷年高考試題無(wú)論是全國(guó)卷還是各省市試卷之中的圓錐曲線題目形式多樣，既有小題又有大題；題目分值高，占試卷總分比例大；難度很大，易于區(qū)分學(xué)生能力檔次.因此，總是引起廣大師生關(guān)注.很多優(yōu)秀學(xué)生對(duì)圓錐曲線題目有著濃厚的興趣，一方面他們喜歡挑戰(zhàn)難題，提升自己的思維能力和水平，另一方面是希望提高解答圓錐曲線題目能力，期待在高考有所突破，達(dá)到提升總分目標(biāo)；成績(jī)普通的學(xué)生對(duì)圓錐曲線的題目普遍存在畏難情緒.本文對(duì)2013年全國(guó)高考浙江理科卷的第15題進(jìn)行深入細(xì)致的剖析，給出研究圓錐曲線的一般方法和技巧，對(duì)學(xué)生解決相關(guān)問(wèn)題具有示范作用.題目中指明直線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)A.B，并且兩個(gè)交點(diǎn)存在中點(diǎn)Q.先通過(guò)運(yùn)算推理，說(shuō)明不存在兩個(gè)交點(diǎn)，再分析探討題目，接著從兩個(gè)方面改造題目，進(jìn)一步研究直線與拋物線的位置關(guān)系，最后推導(dǎo)出一個(gè)較好的結(jié)論.

二、問(wèn)題的探究

（一）浙江高考試題的提出

設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（-1，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn).若|FQ|=2，則直線l的斜率等于多少？

（二）浙江高考試題的分析

首先設(shè)過(guò)點(diǎn)P（-1，0）的直線的方程：y=k（x+1）y=k（x+1）.

聯(lián)立直線方程和拋物線方程：y=k（x+1），y2=4x.

化簡(jiǎn)整理得：k2x2+2（k2-2）x+k2=0.（1）

易知：k≠0.

由（1）式可得：Δ=4（k2-2）2-4k4=16（1-k2）.（2）

設(shè)直線l與拋物線C的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)為Q（x0，y0）.

由題意易知：y1=k（x1+1），y2=k（x2+1）.

結(jié)合（2）式和韋達(dá)定理可知：x1+x2=2（2-k2）k2.

所以y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）=k2（2-k2）k2+2=4k.

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x0=x1+x22=2-k2k2，

y0=y1+y22=2k.

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q2-k2k2，2k.

由拋物線C：y2=4x易知焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）.

由兩點(diǎn)間距離公式可知：|QP|=2-k2k22+2k-02=2.

化簡(jiǎn)整理，得：k2=1，即k=±1.

將k=1帶入Δ=16（1-k2）=0，即直線與拋物線方程相切.

可知：直線與拋物線相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）.這顯然與題設(shè)中有兩個(gè)交點(diǎn)相矛盾.

當(dāng)k=-1時(shí)結(jié)果相同，推出矛盾.

（三）浙江高考試題的改造

由Δ=16（1-k2）可知：

當(dāng)-1

當(dāng)k=±1時(shí)，直線與拋物線相切，有且只有一個(gè)交點(diǎn).因此，可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行改造：

1.直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)

首先取k=22∈-1，1，再代入Q2-k2k2，2k，得Q（3，22）由兩點(diǎn)間距離公式可求：

QF=（3-1）2+22-02=23.

至此，浙江高考題可以做如下改造：

設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（-1，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn).若|FQ|=23，則直線l的斜率等于多少？

由前面分析易知k=±22.當(dāng)然在改造過(guò)程中還可以選?。?，1）之中的其他數(shù)值.

2.直線與拋物線相切

當(dāng)直線l與拋物線C相切時(shí)，浙江高考題可以做如下改造：設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P（-1，0）的直線l與拋物線C于點(diǎn)Q時(shí)，則直線l的斜率等于多少？

由前面分析知直線l與拋物線C于A，B相切與點(diǎn)Q時(shí)k=±1，|FQ|=2.

在平面直角坐標(biāo)系中存在這樣數(shù)量關(guān)系：OP=OF=|FQ|2=p2（p為拋物線的焦距）.

順著這個(gè)發(fā)現(xiàn)，接著修改題目數(shù)據(jù).修改如下：

設(shè)F為拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P-2，0的直線l與拋物線C于點(diǎn)Q時(shí)，則直線l的斜率等于多少？經(jīng)過(guò)推理演算可以得到：k=±1，OP=OF=|FQ|2=p2（p為拋物線的焦距）.

至此，論文結(jié)束.