陳靜　鄢文俊

正態(tài)分布可以理解成一種“常態(tài)”分布. 在日常生活、生產(chǎn)與科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，一些隨機(jī)變量的取值情況“不約而同”地呈現(xiàn)著某種相似規(guī)律——其取值的概率分布都近似地可以用正態(tài)分布來(lái)描述. 比如，某個(gè)地區(qū)的年降水量、某地當(dāng)年西瓜產(chǎn)量、理想氣體分子的速度分量等等，它們服從或近似服從這種分布規(guī)律. 對(duì)正態(tài)分布的考查多以中低檔題目為主，一方面是考查正態(tài)分布的基本概念、性質(zhì)和計(jì)算，另一方面，如何將它們與實(shí)際生活進(jìn)行結(jié)合是近幾年高考命題的熱點(diǎn).

正態(tài)分布的基本概念與性質(zhì)

例1 已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)[φix=][12πσie-x-μi22σi2][（x∈R，i=1，2，3）]的圖象如圖所示，則（ ）

A. [μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3]

B. [μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3]

C. [μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3]

D. [μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3]

解析 由正態(tài)曲線關(guān)于直線[x=μ]對(duì)稱知，[μ1<μ2=μ3.] [σ]的大小決定曲線的形狀，[σ]越大，總體分布越分散，曲線越矮胖；[σ]越小，總體分布越集中，曲線越瘦高，則[σ1=σ2<σ3.] 也可由[φ1（μ1）=φ2μ2>φ3μ3]得，[12πσ1=12πσ2>12πσ3]，即[σ1=σ2<σ3].

答案 D

變式1 設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布[X?Nμ1，σ12，][Y?Nμ2，σ22，]其密度函數(shù)分別為[φ1x]和[φ2x]，圖象如圖所示，則有（ ）

A. [PY≥μ2≥PY≥μ1]

B. [PX≤σ2≤PX≤σ1]

C. 對(duì)任意正數(shù)[t，][PX≤t≥PY≤t]

D. 對(duì)任意正數(shù)[t，][PX≥t≥PY≥t]

答案 C

點(diǎn)撥 此類題主要考查正態(tài)分布的概念和性質(zhì)，故要理解概念，掌握性質(zhì)，特別是參數(shù)[μ，σ]的實(shí)際意義和幾何意義是考查的熱點(diǎn).

服從正態(tài)分布的基本計(jì)算問(wèn)題

例2 設(shè)隨機(jī)變量[ξ]服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布[N0，1]，已知[Pξ<-1.96=0.025]，則[Pξ<1.96=]（ ）

A. 0.025 B. 0.050

C. 0.950 D. 0.975

解析 法一：∵[ξ]～[N0，1]，

[∴Pξ<1.96=P-1.96<ξ<1.96]

[=Pξ<1.96-Pξ<-1.96]

[=1-2Pξ<-1.96=0.950.]

法二：因?yàn)榍€的對(duì)稱軸是直線[x=0]，所以由對(duì)稱性知，

[Pξ>1.96=][Pξ≤-1.96=][Pξ<-1.96=0.025.]

∴[Pξ<1.96=]1-0.25-0.25=0.950.

答案 C

變式2 某地區(qū)某年參加高考的人數(shù)約為6萬(wàn)人，數(shù)學(xué)滿分為150分，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布[N90，σ2]，超過(guò)120分的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的[120]，據(jù)此估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分到90分之間的人數(shù)約為（ ）

A. 0.3萬(wàn)人 B. 2.7萬(wàn)人

C. 3.3萬(wàn)人 D. 5.7萬(wàn)人

答案 B

點(diǎn)撥 能熟練應(yīng)用以下正態(tài)曲線的性質(zhì)解題，并注意數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用. （1）正態(tài)曲線與[x]軸之間的面積為1；（2）正態(tài)曲線關(guān)于直線[x=μ]對(duì)稱，從而在關(guān)于[x=μ]對(duì)稱的區(qū)間上概率相等；（3）[PX正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

例3 在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)[ξ]服從一個(gè)正態(tài)分布，即[ξ?N（90，100）.]

（1）試求考試成績(jī)[ξ]位于區(qū)間（70，110）上的概率是多少？

（2）若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試成績(jī)?cè)冢?0，100）間的考生大約有多少人？（參考數(shù)據(jù)：若[ξ～N（μ，σ2）]，有[Pμ-σ