王進(jìn)

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用是概率與統(tǒng)計(jì)中的重要內(nèi)容之一，是初步統(tǒng)計(jì)、高中必修課內(nèi)容的深入和擴(kuò)展，也是近幾年高考數(shù)學(xué)試題中的必考題. 本文將對“二項(xiàng)分布及其應(yīng)用”的核心考點(diǎn)進(jìn)行深入解讀.

條件概率

例1 在某次外交談判中，中外雙方都為了自身的利益而互不相讓，這時對方有個外交官提議以拋擲一顆骰子決定. 若已知出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過3的條件下再出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則按對方的決議處理；否則按中方的決議處理，假如你在現(xiàn)場，你會如何抉擇？

解析 設(shè)[A]={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3}={1，2，3}，[B=]{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}={1，3}，由條件概率的定義得，[P（B|A）=P（AB）P（A）][=1312=23]，所以對方外交官的提議不利于中方.

例2 某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率為[415]，刮風(fēng)的概率為[215]，既刮風(fēng)又下雨的概率為[110]. 設(shè)[A]為下雨，[B]為刮風(fēng)，求（1）[P（A|B）；]（2）[P（B|A）.]

解析 根據(jù)題意得，

[P（A）=415]，[P（B）=215]，[P（AB）=110].

（1）[P（A|B）=P（AB）P（B）=110215=110×152=34].

（2）[P（B|A）=P（AB）P（A）=110415=110×154=38].

點(diǎn)撥 計(jì)算條件概率[P（B|A）]有兩種方法：（1）利用縮小基本事件范圍的方法計(jì)算，可以在縮小的基本事件的范圍內(nèi)，利用古典概型概率公式計(jì)算條件概率，即[P（B|A）=n（AB）n（A）]，這里[n（A）]和[n（AB）]的計(jì)數(shù)是縮小了的基本事件的范圍；（2）先根據(jù)條件概率定義，分別計(jì)算概率[P（AB）]和[P（A）]，然后根據(jù)定義可得，[P（B|A）=P（AB）P（A）].

事件的相互獨(dú)立性

例3 甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8，計(jì)算：

（1）兩人都擊中目標(biāo)的概率；

（2）其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；

（3）至少有一人擊中目標(biāo)的概率.

解析 記“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件[A]，“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件[B]. “兩人都擊中目標(biāo)”是事件[A?B]；“恰有1人擊中目標(biāo)”是[A?B]或[A?B]；“至少有1人擊中目標(biāo)”是[A?B]或[A?B]或[A?B].

（1）顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標(biāo)”就是事件[A?B]，又由于事件[A]與[B]相互獨(dú)立，

所以[P（A?B）=P（A）?P（B）=0.8×0.8=0.64.]

（2）“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中（即[A?B]），另一種是甲未擊中乙擊中（即[A?B]）. 根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時不可能同時發(fā)生，即事件[A?B]與[A?B]是互斥的，所以所求概率為：

[P=P（A?B）+P（A?B）=P（A）?P（B）+P（A）?P（B）]

[=0.8×（1-0.8）+（1-0.8）×0.8]=0.32.

（3）法一：“兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標(biāo)”的概率為

[P=P（A?B）+P（A?B）+P（A?B）=0.96.]

法二：“兩人都未擊中目標(biāo)”的概率是

[P（A?B）=P（A）?P（B）=（1-0.8）×（1-0.8）=0.04.]

∴至少有一人擊中目標(biāo)的概率為

[P=1-P（A?B）=1-0.04=0.96].

點(diǎn)撥 兩個事件獨(dú)立與互斥的區(qū)別：兩個事件互斥指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩個事件獨(dú)立指一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響.

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

例4 某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨(dú)立）.

（1）求至少3人同時上網(wǎng)的概率；

（2）至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0.3？

解析 因?yàn)?個員工上網(wǎng)都是相互獨(dú)立的，所以該題可歸結(jié)為[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題.

（1）法一：記“有[r]人同時上網(wǎng)”為事件[Ar，]則“至少3人同時上網(wǎng)”即為事件[A3+A4+A5+A6.] 因?yàn)閇A3，][A4，A5，A6]為彼此互斥事件，所以可應(yīng)用概率加法公式得，“至少3人同時上網(wǎng)”的概率為

[P=P（A3+A4+A5+A6）=][P（A3）+P（A4）+P（A5）+P（A6）]

=[164（C36+C46+][C56+C66）]=[2132.]

法二：“至少3人同時上網(wǎng)”的對立事件是“至多2人同時上網(wǎng)”，即事件[A0+A1+A2].因?yàn)閇A0，A1，A2]是彼此互斥的事件，所以“至少3人同時上網(wǎng)”的概率為

[P=1-P（A0+A1+A2）=1-[P（A0）+P（A1）+P（A2）]=2132.]

（2）法一：記“至少[r]人同時上網(wǎng)”為事件[Br]，則[Br]的概率[P（Br）]隨[r]的增加而減少. 依題意是求滿足[P（Br）<0.3]的整數(shù)[r]的最小值.

因?yàn)閇P（B6）=P（A6）=164<0.3，]

[P（B5）=P（A5+A6）=P（A5）+P（A6）=164（C56+C66）=764<0.3，]

[P（B4）=P（A4+A5+A6）=P（A4）+P（A5）+P（A6）=132>0.3，]

所以至少5人同時上網(wǎng)的概率小于0.3.

法二：由（1）知至少3人同時上網(wǎng)的概率大于0.3，至少4人同時上網(wǎng)的概率為

[P（X≥4）=C46（12）2+C56（12）6+C66（12）6=2132>0.3.]

至少5人同時上網(wǎng)的概率為

[P（X≥5）=C56（12）6+C66（12）6=764<0.3.]

所以至少5人同時上網(wǎng)的概率小于0.3.

點(diǎn)撥 （1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn). 在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.（2）在[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件[A]發(fā)生的次數(shù)為[X]，在每次試驗(yàn)中事件[A]發(fā)生的概率為[P]，那么在[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件[A]恰好發(fā)生[k]次的概率為[P（X=k）=CknPk][（1-P）n-k]，[k=0]，[1]，[2]…，[n]，此時稱隨機(jī)變量[X]服從二項(xiàng)分布. 在利用該公式時，一定要搞清是多少次試驗(yàn)中發(fā)生[k]次的事件，如本題中“有3人上網(wǎng)”可理解為6次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有3次發(fā)生，即[n=6，k=3.]

練 習(xí)

1. 將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件[A=]“兩個點(diǎn)數(shù)不相同”，[B=]“至少出現(xiàn)一個6點(diǎn)”，則概率[P（A|B）]等于（ ）

A. [1011] B. [511] C. [518] D. [536]

2. 從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件[A=]“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件[B=]“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則[P（B|A）=]（ ）

A. [18] B. [14] C. [25] D. [12]

3. 已知隨機(jī)變量[X]服從二項(xiàng)分布[X～B（6，13），]則[P（X=2）=]（ ）

A. [316] B. [4243] C. [13243] D. [80243]

4. 甲乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為[23，]則甲以[3][∶][1]的比分獲勝的概率為（ ）

A. [827] B. [6481] C. [49] D. [89]

5. 如圖，[EFGH]是以[O]為圓心，1為半徑的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地?cái)S到圓內(nèi)，用[A]表示事件“豆子落在正方形[EFGH]內(nèi)”，[B]表示事件“豆子落在扇形[HOE]（陰影部分）內(nèi)”，則[P（B|A）]= .

1. A 2. B 3. D

4. A 5. [14]