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        活用二項(xiàng)式定理妙解題

        2016-05-30 05:45:06華瑞芬
        高中生學(xué)習(xí)·高三版 2016年1期
        關(guān)鍵詞:項(xiàng)是展開式二項(xiàng)式

        華瑞芬

        二項(xiàng)式定理表達(dá)式為:[(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2n][an-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn(n∈N).] 要深入理解二項(xiàng)式定理,應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)二項(xiàng)式中,[a]是第一項(xiàng),[b]是第二項(xiàng),順序不能改變;(2)展開式中有[n+1]項(xiàng)(比指數(shù)多1);(3)[C0n],[C1n],[C2n],…,[Crn],…,[Cnn]是二項(xiàng)式系數(shù);(4)[a]的指數(shù)是降冪,[b]的指數(shù)是升冪,兩者指數(shù)和為[n];(5)二項(xiàng)式[(a-b)n]化為[[a+(-b)]n]展開時,一定要注意各項(xiàng)的符號規(guī)律;(6)二項(xiàng)式定理具有可逆性.

        求特定項(xiàng)

        例1 已知[(1+3x)n]的展開式中,末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121,求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

        解析 依題意有[Cn-2n+Cn-1n+Cnn=121,]整理得,[n2+n-240=0],則[n=15].

        [Tr+1=Cr15(3x)r=Cr153rxr].

        設(shè)[Tr+1]與[Tr]項(xiàng)的系數(shù)分別為[tr+1]與[tr],[tr+1=Cr153r,][tr=Cr-1153r-1.]

        令[tr+1tr>1],即[Cr153rCr-1153r-1=3r(15-r+1)>1],解之得,[r<12.] 即當(dāng)[r]取小于12的自然數(shù)時,都有[tr又當(dāng)[r=12]時,[tr=tr+1,]即[t12=t13,]則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是:[T12=C1115311x11,][T12=C1215312x12.]

        [∵n=15,]所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第8項(xiàng)和第9項(xiàng),即[T8=C71537x7,][T9=C81538x8.]

        點(diǎn)撥 (1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),[n]為奇數(shù)時,中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;[n]為偶數(shù)時,中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. (2)求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的,需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況判斷,一般采用列不等式、解不等式的方法求解.

        進(jìn)行近似計(jì)算

        例2 求1.056的近似值,使結(jié)果精確到0.01.

        解析 1.056=(1+0.05)6=1+6×0.05+15×0.052+20×0.052+…=1+0.3+0.0375+0.0025+…,

        其中[T4=0.0025<0.01,]可不必取了.

        ∴1.056≈1+0.3+0.0375≈1.34.

        點(diǎn)撥 將看上去很復(fù)雜的求值問題巧妙地轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理問題,簡單、快捷地求出結(jié)果.

        證明整除和求余數(shù)問題

        例3 求9192除以100的所得是余數(shù).

        解析 ∵9192=(100-9)92 =10092 -[C192]10091×9+[C292]10090×92 - … -[C9192]×100×991+992,

        ∴要求9192被100除所得的余數(shù),只要求992被100除所得余數(shù)即可.

        ∵992=(10-1)92=1092 -[C192]×1091+[C292]×1090 -…+ [C9092]×102 -[C9192]×10+(-1)92.

        由于1092 -[C192]×1091 +[C292]×1090 -…+[C9092]×102 能被100整除,

        ∴只要求-[C9192]×10+(-1)92 =-920+1=-919=-1000+ 81被100整除所得的余數(shù)即可,顯而易見所得余數(shù)為81.

        例4 證明[2n+2?3n+5n-4]能被25整除.

        證明 [2n+2?3n+5n-4=4(1+5)n+5n-4]

        [=4(1+C1n?5+C2n?52+…+5n)+5n-4]

        [=4(C2n?52+C3n?53+…+5n)+4C1n?5][+5n]

        [=4(C2n?52+C3n?53+…+5n)+25n].

        以上各項(xiàng)均為25的整數(shù)倍,故原命題成立.

        點(diǎn)撥 用二項(xiàng)式定理證明整除及求余數(shù)問題時,一般采用“配湊法”“消去法”將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式形式來展開,再結(jié)合整除的有關(guān)知識來解決. 求余數(shù)時,剩余部分是負(fù)數(shù)時要進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

        求系數(shù)和

        例5 [(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n]的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是( )

        A. [2n+1-2] B. [2n+1-1]

        C. [2n+1] D. [2n+1+1]

        解析 令[x=1,]得[2+22+…+2n=2n+1-2.]

        答案 A

        例6 若[(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,]則[a0+a2+a4+…+a12=] .

        解析 令[x=1,]得[a0+a1+a2+…+a12=36].

        令[x=-1,]得[a0-a1+a2-…+a12=1.]

        兩式相加,得[a0+a2+a4++…+a12=][12(36+1)=365.]

        答案 365

        例7 如果1+2[C1n]+22[C2n]+…+[2nCnn]=2187,求[C1n]+[C2n]+[C3n]+…+[Cnn]的值.

        解析 要求式子的值,需先求[n]的值,運(yùn)用二項(xiàng)式定理,考慮已知等式左端可化簡,得關(guān)于[n]的式子,可求[n].

        ∵1+2[C1n]+22[C2n]+…+[2nCnn]=[C0n?20+][C1n?]2+[C2n?]22+…+[Cnn?2n=(1+2)n=3n],

        ∴[3n=2187.]

        ∴[n=7.]

        ∴[C1n]+[C2n]+[C3n]+…+[Cnn]

        =([C0n]+[C1n]+[C2n]+[C3n]+…+[Cnn)-C0n]

        [=2n-C0n=2n-1=27-1=128-1=127.]

        證明組合數(shù)恒等式

        例8 求證:[(C0n)2+(C1n)2+(C2n)2+…+(Cnn)2=(2n ) !n !n !].

        證明 設(shè)[f(x)=(1+x)2n],則[(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n].

        左邊含[xn]項(xiàng)的系數(shù)為[Cn2n=(2n)!n !n !],

        右邊=[(C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn)(C0n+C1nx+C2nx2+][…+Cnnxn),]展開式中含[xn]的項(xiàng)系數(shù)為:

        [C0nCnn+C1nCn-1n+C2nCn-2n+…+CnnC0n]

        [=(C0n)2+(C1n)2+(C2n)2+…+(Cnn)2].

        ∴[(C0n)2+(C1n)2+(C2n)2+…+(Cnn)2=(2n) !n !n !].

        例9 求證:[C0n-][C2n]+[C4n-][C6n]+…=[2ncosnπ4];[C1n-][C3n]+[C5n-][C7n]+…=[2n]sin[nπ4].

        證明 在二項(xiàng)式定理[(a+b)n=][C0nan+][C1nan-1b+…+] [Crnan-rbr]+…+[Cnnbn]中,令[a=1,b=i,]則有[(1+i)n=][(C0n-C2n+C4n-C6n+…)+i(C1n-C3n+C5n-C7n+…)]①.

        另外,把[1+i]化為三角式,應(yīng)用棣莫弗定理有,[(1+i)n=[2(cosπ4+isinπ4)]n=2n(cosnπ4+isinnπ4)]②.

        由①②得,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可得,[C0n-][C2n]+[C4n-][C6n]+…=[2ncosnπ4;][C1n-][C3n]+[C5n-][C7n]+…=[2n]sin[nπ4.]

        點(diǎn)撥 組合數(shù)恒等式這類命題,都與二項(xiàng)式展開式有關(guān). 因此二項(xiàng)式定理是證明組合數(shù)恒等式的重要方法.

        證明不等式

        例10 設(shè)[a,b]是兩個不相等的正數(shù),[m]是大于1的自然數(shù),求證:[am+bm2>(a+b2)m].

        證明 設(shè)[a+b=2S,a-b=2d,]

        則[a=S+d,b=S-d.]

        故[am=(S+d)m=Sm+][C1mSm-1d+C2mSm-2d2+…+Cmmdm,]

        [bm=(S-d)m=Sm-C1mSm-1d+C2mSm-2d2+…+(-1)mCmmdm.]

        故[am+bm=2(Sm+C2mSm-2d2+C4mdm-4d4+…)>2Sm,]

        即[am+bm2>(a+b2)m].

        點(diǎn)撥 證明不等式的方法是多種多樣的,靈活地運(yùn)用二項(xiàng)式定理,使得不等式的證明既簡捷又快速,不失為一種證明不等式的好方法.

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