肖政偉

證明線段倍半關(guān)系是常見的幾何證明.而在初中階段關(guān)于線段倍半關(guān)系直接運(yùn)用的定理有：三角形的中位線定理以及“直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半”“直角三角形斜中線定理”等，筆者就初三學(xué)生一次單元測試中的兩道題目，試圖對“線段倍半關(guān)系”進(jìn)行簡單探析.

案例1：如圖，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分線，AE交BC、BD于點(diǎn)E、F，AC、BD相交于點(diǎn)O. 求證：OF= CE.

1. 直接利用三角形中位線定理證明

證明：過點(diǎn)O做OG∥CE，交AE于點(diǎn)G

∵AO=OC， OG∥CE

∴OG是△ACE的中位線

∴OG= CE

又∵∠OGF=∠DAF=∠OFG=67.5°

∴OG=OF

∴OF= CE

評價(jià)：學(xué)生在學(xué)習(xí)了三角形中位線定理后，結(jié)合此題中的“O點(diǎn)是AC的中點(diǎn)”這個(gè)條件，最容易想到構(gòu)造△AEC的中位線OG，轉(zhuǎn)化為證明線段OG=OF即可.

2. 利用相似三角形的相似比證明

證明：∵∠OAF=∠FAB，∠AOF=∠ABE=90°

∴△AOF∽△ABE

∴ = = ?①

又∵∠OAF=∠FAB，∠AFB=∠AEC=112.5°

∴△ABF∽△ACE

∴ = = ②

∵BF=BE

∴①×②得 = ，即OF= CE

評價(jià)：“a= b”型結(jié)論的等價(jià)結(jié)論是“ = ”，可以借助相似三角形的相似比來解決.尋找相似三角形或構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵.

3. 利用線段和差b=a+a證明

證明：

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD

∵∠DAF=∠DFA=67.5°

∴DA=DF

同理：BF=BE

∵OF=DF-DO，OF=OB-BF

∴OF+OF=DF-BF

∴OF+OF=BC-BE ∴2OF=CE

即：OF=CE

評價(jià)：“a= b”型結(jié)論的等價(jià)結(jié)論還可以是“b=a+a”，利用線段的和差關(guān)系以及線段的等量代換可以證出.

案例2：已知： 等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AF是∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)E，BF⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)F.求證：AE=2BF.

思路分析：由于此題條件中沒有明顯的中點(diǎn)條件，因此利用三角形的中位線定理證明比較困難，能否想到利用相似三角形的相似比來證明呢？圖中△BFE與△ACE顯然相似，但BF是△BFE的直角邊，而AE是△ACE的斜邊，明顯不對應(yīng)，于是可以想到構(gòu)造以BF為斜邊的直角三角形，這樣就可得方法1.

1. 利用相似三角形的相似比證明

證明：過F點(diǎn)做FM∥CA交BC于L點(diǎn)，交AB于M點(diǎn).

∵FM∥AC ∴∠MFA=∠1

∵∠1=∠2 ∴∠2=∠MFA

∴MF=MA

∵∠BFA=90° ∴MB=MF=MA

∵FM∥AC，MB=MA

∴BL=LC= BC= AC

∵∠1=∠3，∠FLB=∠C=90°

∴△BFL∽△AEC

∴ = = ，即AE=2BF.

2. 利用直角三角形斜中線定理證明

證明：做AE的中點(diǎn)M，連接CM.以AB為直徑做圓O，則F、C、A、B四點(diǎn)共圓.

∵∠ACB=90°，MA=ME

∴CM= = = AE

∵∠1=∠2

∴FB=FC

∴FB=FC

又∵∠CFM=∠FMC=45°

∴CM=CF

∴BF= AE

即AE=2BF

評價(jià)：利用AE是直角ΔACE的斜邊，聯(lián)想到斜中線定理，轉(zhuǎn)化為證明線段BF=CM即可.

3. 利用折半方法證明

證明：做AE的中垂線交AB于G，交AE于M，連接EG.

∵M(jìn)G垂直平分AE

∴GE=GA

∴∠GEA=∠2

∵∠1=∠2

∴∠GEA=∠1

∴EG∥CA

∴∠BEG=∠C=90°

∵∠EBG=45°

∴EB=EG

∵∠3=∠1

∴∠3=∠GEM

又∵∠F=∠EGM=90°

∴△BFE≌△EMG

∴BF=EM= AE

即AE=2BF

評價(jià)：把較長的線段AE折半，轉(zhuǎn)化為證明線段BF=EM即可.

4. 利用加倍方法證明

證明：延長BF、AC交于H點(diǎn).

∵∠1=∠2，∠BFA=∠HFA=90°，AF=AF

∴△ABF≌△AHF

∴FB=FH，即BH=2BF

∵∠3=∠1，CB=CA，∠BCH=∠ECA=90°

∴△BHC≌ΔACE

∴BH=AE

∴AE=2BF

評價(jià)：此種方法采用的是間接加倍方法，若直接加倍，則“延長BF到H點(diǎn)，使BH=2BF”，此時(shí)就要證明A、C、H三點(diǎn)共線，非常棘手，所以用間接加倍方法更有利.

教學(xué)啟示

1. 解題教學(xué)時(shí)應(yīng)重視常規(guī)解題方法的教學(xué)

教師在幾何課證明教學(xué)時(shí)，應(yīng)著重于對常規(guī)思維方法的分析，努力幫助學(xué)生找到最容易想到的、最容易掌握的解題方法，以使學(xué)生能突破原有的思維障礙，使教學(xué)建立在學(xué)生通過一定努力就可能達(dá)到的智力發(fā)展水平上，并據(jù)此確定知識與方法的廣度、深度.案例1中利用三角形中位線定理來證明，而案例2則采用加倍或折半的方法更適合學(xué)生.

2. 不斷滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞曾說：“如果不變化問題我們幾乎不能有什么進(jìn)展.”把求解的問題轉(zhuǎn)化為在已有知識范圍內(nèi)可解的問題，是數(shù)學(xué)解題中基本的思想方法之一，即轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.案例1、2中把“a= b”型結(jié)論轉(zhuǎn)化為“ = ”或者把“a= b”型結(jié)論轉(zhuǎn)化成“b=a+a”，都是如此.

重視常規(guī)性解題方法并不是完全否定創(chuàng)新型解法，教師應(yīng)在使學(xué)生扎實(shí)掌握好雙基的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于創(chuàng)新，不斷探索更多、更巧、更妙的方法.例如案例1中的利用相似比來證明和利用b=a+a方法來證明都是學(xué)生在單元測試中少數(shù)學(xué)生的創(chuàng)新解法，案例2中的方法1和方法2也是如此.教師在引導(dǎo)學(xué)生與同伴分享不同解題方法后，還需對不同解法進(jìn)行分析、比較、歸納，以幫助學(xué)生選擇適合于自己思維水平的方法，進(jìn)而納入自己已有的認(rèn)知系統(tǒng)，以便能形成自我分析問題、解決問題的能力.

責(zé)任編輯 羅 峰