摘 要：為了適當(dāng)降低理論推導(dǎo)，注重?cái)?shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和實(shí)踐教學(xué)，根據(jù)線性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求設(shè)計(jì)了以初等變換為主線的教學(xué)體系：從解線性方程組引入該課程，從解方程組的同解變換類推出矩陣的初等變換。在此基礎(chǔ)上得到矩陣的行列式的相關(guān)性質(zhì)及行列式理論，還利用初等變換討論矩陣的秩和逆、討論向量組的線性關(guān)系、解決二次型和線性空間中的問(wèn)題。并補(bǔ)充了實(shí)驗(yàn)實(shí)踐教學(xué)內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：初等變換 主線 教學(xué)體系

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）04（b）-0122-02

Abstract：In order to decrease the theoretical derivation and pay attention to mathematical thought，mathematical methods and practice teaching，this paper designs the teaching system with the concept of elementary transformation according to the linear algebra course teaching contents and teaching requirements：it starts the course from solving linear equations，and launches elementary transformation of matrix from it.On this basis， it gets the related properties of determinant of matrix and determinant theory；with primary transformation it also discusses inverse and rank of matrix，linear relationship of vector group and some problems of quadratic form and linear space. The experiment practice teaching content is added at last.

Key Words：Elementary transformation；Main line；Teaching system

《線性代數(shù)》是計(jì)算機(jī)，自動(dòng)化，通信電信，信息安全，化學(xué)，土木，財(cái)經(jīng)等所有理工和部分文科專業(yè)必修的公共基礎(chǔ)課程。其重要性一方面體現(xiàn)在該課程的實(shí)踐應(yīng)用，如：著名的投入—產(chǎn)出模型；另一方面，它也是學(xué)習(xí)專業(yè)課程如軟件編程、數(shù)字通信原理、電路分析等的前提和基礎(chǔ)。但從教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看存在以下問(wèn)題：只注重專業(yè)課程而忽略了基礎(chǔ)課程的教學(xué)；由于急功近利思想只注重考試過(guò)關(guān)；只講授如何考試和做題而忽視了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的傳授；由于教師或?qū)W生各方面的原因?qū)е略撜n程的教學(xué)變成一種過(guò)程和形式，沒有產(chǎn)生良好的教學(xué)效果等。所以學(xué)生對(duì)該課程普遍感覺理論性太強(qiáng)，偏難，學(xué)無(wú)所用等，從而影響到了學(xué)生專業(yè)課程的學(xué)習(xí)甚至個(gè)人發(fā)展。

結(jié)合學(xué)生和教師的教學(xué)現(xiàn)狀，為了降低學(xué)習(xí)難度但不減少教學(xué)內(nèi)容，為了讓學(xué)生知其然并且知其所以然，為了降低理論推導(dǎo)增加實(shí)踐應(yīng)用，為了鍛煉學(xué)生的思維和能力，筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探索出不拘泥于教材[1]的以初等變換為主線的線性代數(shù)教學(xué)體系。

1 從解線性方程組引入

解線性方程組的消元法在中學(xué)是教學(xué)重點(diǎn)，學(xué)生對(duì)該方法不陌生，從解方程組引入課程學(xué)生更容易過(guò)度和接納，好的開始是成功的一半。另外，從線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容、意義分析可知解方程組是根基，尤其是同解變換和消元法的過(guò)程，因?yàn)樗鼈兪蔷仃嚨某醯茸儞Q，矩陣化階梯型矩陣、行列式化三角行列式，判別方程組解的情況等重要知識(shí)和方法的跟源?，F(xiàn)在有一種教學(xué)觀念是知識(shí)模塊化，這種觀點(diǎn)也是與慕課理念相符的，但對(duì)于線性代數(shù)課程來(lái)說(shuō)，初等變換是貫穿整個(gè)課程的主線，所以模塊化割裂了行列式、矩陣、向量、二次型等知識(shí)、方法之間的本質(zhì)聯(lián)系，使教學(xué)浮于表面。另外，分割性的模塊化也約束了該課程數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的立體呈現(xiàn)。

2 建立線性方程組的同解變換和矩陣的初等變換之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

線性方程組與未知量的形式無(wú)關(guān)，完全由方程組的系數(shù)和常數(shù)決定，如線性方程組一一對(duì)應(yīng)到數(shù)表，這是矩陣本質(zhì)的體現(xiàn)即數(shù)表。解線性方程組涉及三種同解變換：（1）交換兩個(gè)方程的位置；（2）某個(gè)方程的兩邊同乘某個(gè)非零的數(shù)；（3）某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程。對(duì)應(yīng)的給出矩陣的三種初等行變換：（1）交換矩陣的兩行；（2）矩陣的某一行乘非零的數(shù)；（3）矩陣某一行的倍數(shù)加到另一行。根據(jù)同解變換和初等行變換的對(duì)應(yīng)性不難建立它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而解方程組的過(guò)程可以簡(jiǎn)化的用矩陣的初等變換來(lái)表示。

因?yàn)樾辛惺?、向量、二次型中的主要方法都與化階梯型矩陣的過(guò)程有關(guān)，所以該章重點(diǎn)講授如何用初等變換化矩陣為階梯型。

為建立以初等變換為主線的線性代數(shù)理論體系，根據(jù)線性方程組的同解變換與矩陣的初等行變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系需要得到以下基礎(chǔ)結(jié)論：如果線性方程組有解，則矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)楫?dāng)且僅當(dāng)同型方程組與同解；如果無(wú)解，矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)椋瑒t也無(wú)解。

3 介紹行列式的理論

行列式理論的重點(diǎn)是行列式的定義、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用。行列式的意義是解線性方程組，反過(guò)來(lái)這也決定了行列式的定義。行列式主要有三個(gè)基本性質(zhì)：（1）交換行列式的兩行，行列式變號(hào)；（2）行列式某一行乘數(shù)等于整個(gè)行列式乘數(shù)；（3）行列式某一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。顯然，這三個(gè)性質(zhì)與矩陣的初等變換是有關(guān)的。同時(shí)根據(jù)第2章中化階梯型矩陣的方法可得對(duì)應(yīng)的行列式化為三角行列式的計(jì)算方法。展開法則是根據(jù)行列式的性質(zhì)推出的降階法。行列式的應(yīng)用主要是Cramer法則，它可以利用行列式的性質(zhì)和展開法則來(lái)證明；為了降低難度有些教材把該法則移到矩陣部分，但這樣處理破壞了行列式理論的整體性；該法則可以參考文獻(xiàn)[3]中獨(dú)特的比較簡(jiǎn)單的證明方法。

4 矩陣的初等變換應(yīng)用于討論矩陣的秩

矩陣的秩是判別線性方程組解的情況的依據(jù)，也是討論矩陣可逆及矩陣應(yīng)用的基本概念。這一章主要介紹秩的概念和求法，通過(guò)階子式的實(shí)例可以歸納出秩的概念；對(duì)于秩的求法，根據(jù)第2章中的基礎(chǔ)結(jié)論和Cramer法則應(yīng)用的結(jié)果，首先得出相對(duì)于教材定理體系更容易接受的結(jié)論：矩陣的初等變換不改變矩陣中階子式等于零或者不等于零的性質(zhì)。從而有“矩陣的初等變換不改變矩陣的秩”。等同于教材中的“等價(jià)的矩陣有相同的秩”。然后通過(guò)階梯型矩陣的實(shí)例得出最大階子式的取法：取階梯型中的非零行，階梯列所得子式為對(duì)角元不等于零的上三角行列式，從而有“階梯型矩陣的秩等于階梯型矩陣中非零的行數(shù)”。

5 初等變換法應(yīng)用于求逆矩陣

逆矩陣的思想來(lái)源于除法，但和除法完全不同，因?yàn)榫仃嚥灰欢赡?。這部分的重點(diǎn)是矩陣可逆的條件、逆的定義和逆矩陣的求法。用初等變換法求逆矩陣的要求領(lǐng)會(huì)“對(duì)矩陣作一次初等行（列）變換相當(dāng)于該矩陣左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣”，比較抽象，因此，很多教材把該方法較復(fù)雜的推理定為選學(xué)內(nèi)容，但該思想不僅能用于求逆矩陣，對(duì)推導(dǎo)過(guò)程稍作調(diào)整以后還可用于求解矩陣方程和，更進(jìn)一步還能應(yīng)用于二次型化標(biāo)準(zhǔn)型以及線性空間中的正交變換等重要內(nèi)容，這些具體應(yīng)用可以參考國(guó)內(nèi)外的相關(guān)研究成果。如果熟悉了初等變換和初等矩陣的關(guān)系實(shí)例，該思想及相關(guān)的應(yīng)用學(xué)生還是容易掌握的。

6 初等變換討論向量組的線性關(guān)系

該部分的概念有具體的幾何意義，如：線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、等價(jià)等。利用第2章中的基礎(chǔ)結(jié)論分析可得兩個(gè)重要的但比教材[1]中定理體系簡(jiǎn)單的基本性質(zhì)，“初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性相關(guān)性”和更進(jìn)一步的“初等行變換不改變矩陣列向量組之間的線性表示關(guān)系”。由這兩個(gè)性質(zhì)分別可以求向量組的最大線性無(wú)關(guān)組和把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示，當(dāng)然結(jié)合矩陣的秩還可以判別向量組的等價(jià)和線性表示關(guān)系等。

7 初等變換應(yīng)用于二次型及線性空間

二次型的主要內(nèi)容是化為標(biāo)準(zhǔn)型及其正定性的討論，化標(biāo)準(zhǔn)型有初等的配方法以及矩陣的合同變換法，合同變換是對(duì)矩陣作一次初等行變換，再作一次相應(yīng)的初等列變換，通過(guò)合同變換把二次型的對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣即得原二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，標(biāo)準(zhǔn)型以對(duì)角矩陣的對(duì)角元為平方項(xiàng)的系數(shù)。對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化和正交變換也可以結(jié)合初等變換類似地討論。在線性空間中，因?yàn)榛褪窍蛄靠臻g的最大線性無(wú)關(guān)組，所以利用矩陣的初等變換可以求得線性空間的一組基。根據(jù)第5章解的方法可以用初等變換求兩組基之間的過(guò)度矩陣和求一個(gè)向量在某組基下的坐標(biāo)。

8 初等變換的實(shí)驗(yàn)實(shí)踐教學(xué)

實(shí)驗(yàn)實(shí)踐是重要的教學(xué)內(nèi)容，一方面結(jié)合了計(jì)算機(jī)和其它專業(yè)知識(shí)的應(yīng)用，加深了理論知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解；另一方面也體現(xiàn)了該課程的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和能力素養(yǎng)。線性代數(shù)課程可以設(shè)置6學(xué)時(shí)以上的實(shí)驗(yàn)操作課，主要學(xué)習(xí)一種軟件如Matlab的操作，通過(guò)簡(jiǎn)單的命令實(shí)現(xiàn)該課程中所有的計(jì)算如計(jì)算行列式，求矩陣的逆，求向量組的最大線性無(wú)關(guān)組，解方程組等。條件允許的話還可以增加課時(shí)開設(shè)旨在培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的創(chuàng)新精神、善于解決問(wèn)題的實(shí)踐能力、培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才而進(jìn)行的實(shí)踐教學(xué)活動(dòng)，研究社會(huì)實(shí)際問(wèn)題，如：飼料配比問(wèn)題，要求利用現(xiàn)有的原料如何配備出符合要求的飼料，并使得效益最大。這樣既提升了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也促進(jìn)了理論知識(shí)的理解和掌握，還提高了學(xué)生的實(shí)踐能力、動(dòng)手能力和創(chuàng)新意識(shí)。

9 結(jié)語(yǔ)

以矩陣的初等變換為主線的教學(xué)體系包括了理工科線性代數(shù)課程教學(xué)基本要求的知識(shí)和方法，該體系利用初等變換把該課程串成一個(gè)整體：從初等變換與線性方程組的同解變換一一對(duì)應(yīng)的介紹，到第2章的基礎(chǔ)結(jié)論及其在后面章節(jié)循序漸進(jìn)的應(yīng)用，系統(tǒng)而且全面，環(huán)環(huán)相扣。按照該體系授課降低了課程的難度，明確了課程的重、難點(diǎn)，傳授了數(shù)學(xué)思想和方法，注重了教學(xué)實(shí)踐，讓學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性，兼顧了學(xué)生的知識(shí)、能力和素養(yǎng)，整個(gè)過(guò)程凸顯出數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)密的美感。

參考文獻(xiàn)

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[2] Kenneth Hoffmna，Ray Kunze.Linear Algebra（Second edition）[M].Englewood Cliffs，New Jersey，1971.

[3] 謝樂(lè)平，李明燕，韓汝月，等.Cramer法則的證明方法[J].懷化學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，33（5）：84-86.