☉廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué) 魏 智

近年來，高考全國(guó)卷的難度有所降低，充分體現(xiàn)了2017版新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的相關(guān)要求，更加突出通規(guī)通法，貼近生活，體現(xiàn)試題的人性化、科學(xué)化.正方體不僅是大家最熟悉的空間幾何體，而且具有諸多特殊的性質(zhì)，所以頻繁出現(xiàn)在立體幾何的考題中.正方體與抽象平面相結(jié)合，可以充分考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).本文以近年來的高考題為起點(diǎn)，對(duì)此類問題的解決方法加以闡述.

例1 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）.

圖1

分析：由正方體的特點(diǎn)可知，平面α∥平面ABC，為了保證截面面積盡可能大，平面α需與正方體的每個(gè)面都相交，即截面是一個(gè)對(duì)邊相互平行的平面六邊形，如圖1所示，可將抽象平面具象化，在圖中畫出.

解：設(shè)AE=x（0＜x＜1），六邊形EPQRTN為截面在底面的射影.由于半平面ABC與底面APT所成二面角θ的余弦

例2 平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（ ）.

分析：根據(jù)正方體的特點(diǎn)，依據(jù)面面平行的判定定理，可畫出與平面CB1D1平行，且與平面ABCD、平面ABB1A1都相交的平面，如圖2所示，將抽象平面具象化.

解：由正方體特點(diǎn)可知，平面BDA1∥平面CB1D1，

所以m∥BD，n∥A1B，

所以m，n所成角即為BD、A1B所成的角，

圖2

圖3

例3 平面α的垂線與正方體ABCD-A1B1C1D1的各個(gè)面所成角都相等，則平面α與底面ABCD所成二面角的正弦值為______.

分析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，體對(duì)角線AC1與各個(gè)面所成的角都相等，所以平面α的垂線與AC1平行，所以平面α與平面BDA1平行，如圖3所示，從而將抽象平面具象化.另外此題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法解決.

解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面α與平面BDA1平行，而平面BDA1與底面ABCD所成二面角的正弦值為，所以平面α與底面ABCD所成二面角的正弦值為

例4 如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M為棱BC的中點(diǎn).平面α過棱AB且垂直于平面DMC1，則DC1與平面α所成角的正弦是（ ）.

圖4

分析：根據(jù)正方體的特征，可畫出與平面DMC1垂直的平面（記為平面β），此平面與平面α平行，如圖5所示，從而將抽象平面具象化，只需求DC1與平面β所成角的正弦即可.另外此題也可用空間向量法解決.

解：在平面BCC1B1內(nèi)，過點(diǎn)C作CH⊥C1M交棱BB1于點(diǎn)H，交C1M于點(diǎn)K，在平面ABB1A1內(nèi)，過點(diǎn)H作HG∥AB交棱AA1與點(diǎn)G，連接DG，則平面CHGD∥α.

由上可知MC1⊥平面CHGD，所以C1M⊥DK，

所以DC1與平面CHGD所成的角為∠C1DK.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，

圖5

圖6

此類抽象平面問題主要有兩種處理方法，一種是幾何法，即充分利用正方體自身的性質(zhì)，結(jié)合立體幾何基本知識(shí)，將抽象平面具象化，從而將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以解決.另一種是空間向量法，因?yàn)槭钦襟w，可以很方便的建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用空間向量知識(shí)進(jìn)行求解.不過兩種方法各有優(yōu)劣，幾何法計(jì)算量小，但將抽象問題具象化較難；向量法思維簡(jiǎn)單，計(jì)算量大，而且如果不是傳統(tǒng)的空間角與距離問題，用向量法往往難以處理.

除了掌握方法，對(duì)于正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及常見性質(zhì)也要了熟于心，比如上面各題所指涉的性質(zhì)，如圖6，在正方體ABCD-A1B1C1D1中有：

（1）每一條棱與平面AB1D1所成線面角都相等；

（2）AC1與正方體各個(gè)面所成角都相等.

另外還有：

（3）四面體A-B1D1C為正四面體；

（4）平面BDA1∥平面CB1D1，它們垂直且三等分AC1；

（5）正方體的外接球、內(nèi)切球球心重合，且都為正方體的中心.

熟悉并掌握這些正方體固有的性質(zhì)，對(duì)于抽象平面具象化的順利完成是很有必要的，利于學(xué)生熟悉陌生問題，從而能高效率的解決此類問題.