洪利芳

【摘要】 三角形的外心能從它的特征——到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等出發(fā)幫助我們認(rèn)識(shí)三角形，本文從三角形的外心的存在性、性質(zhì)、作圖、應(yīng)用四個(gè)方面介紹了三角形的外心.

【關(guān)鍵詞】 外心；外接圓；垂直平分線

三角形的五心“外心”“內(nèi)心”“重心”“垂心”“旁心”給出了三角形的一些重要性質(zhì)，對(duì)于我們認(rèn)識(shí)三角形提供了幫助.下面筆者就對(duì)外心加以整理：

邊中垂線交一點(diǎn)，用它可作外接圓，此點(diǎn)定義為“外心”，其到頂點(diǎn)長(zhǎng)相等，要問最小覆蓋圓，先看形狀定圓心一般的，把三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫作外心.

如圖1，△ABC中，AB、AC、BC的中垂線的交點(diǎn)O即為△ABC的外心.

一、某大型主題樂園由動(dòng)物園A、植物園B、水上樂園C組成，現(xiàn)要建一個(gè)圓形軌道將其連接起來(lái)，請(qǐng)問圓形軌道如何設(shè)置？

已知△ABC，請(qǐng)畫出過(guò)點(diǎn)A、B、C的圓.

如圖2這樣，經(jīng)過(guò)三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫作三角形的外接圓. 為了要作出三角形的外接圓，需要確定圓心和半徑.

二、三角形外接圓的圓心與三角形三條邊的垂直平分線有怎樣的關(guān)系

如圖2，記△ABC外接圓的圓心為O.

∵ OA = OB = OC，

∴點(diǎn)O在AB、BC、AC的垂直平分線上.

即三角形外接圓的圓心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)——外心.

三、性質(zhì)

如圖3，比較這三個(gè)三角形外心的位置，我們發(fā)現(xiàn)：

銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；

直角三角形的外心在三角形的邊上；

鈍角三角形的外心在三角形的外部.

根據(jù)三角形的外心的位置可以判定三角形的形狀.

四、應(yīng)用

某市要建一個(gè)大型圓形主題樂園，要求圓形樂園剛好把動(dòng)物園A、植物園B和水上樂園C包括在內(nèi)，又要使這個(gè)樂園的面積最小，請(qǐng)你給出這個(gè)主題樂園的施工圖.

（1）若△ABC是銳角或直角三角形，則圓形公園的圓心設(shè)在外心處，半徑為外接圓半徑.

（2）若△ABC是鈍角三角形，則圓形公園的圓心設(shè)在最長(zhǎng)邊的中點(diǎn)處，半徑為最長(zhǎng)邊的一半.