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        值得回味的三角形的“四心”

        2022-02-28 05:36:56賀顯孟
        中學生數(shù)理化·高一版 2022年2期
        關鍵詞:外心內(nèi)切圓四心

        ■賀顯孟

        三角形的“四心”,即重心,垂心,內(nèi)心,外心,它是三角形的重要性質。下面舉例說明其應用。

        一、三角形的重心

        二、三角形的內(nèi)心

        例2已知△ABC,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,I為△ABC所在平面上的一點,且點I滿足:a·=0,則點I為三角形的( )。

        A.外心 B.垂心

        C.重心 D.內(nèi)心

        圖1

        評注:三角形的內(nèi)心,也是三角形的內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心到三邊的距離相等。

        三、三角形的外心

        評注:三角形的外心是三邊的中垂線的交點,也是三角形外接圓的圓心。外心到三個頂點的距離相等。

        四、三角形的垂心

        五、等邊三角形的“中心”

        A.三邊均不相等的三角形

        B.直角三角形

        C.等腰非等邊三角形

        D.等邊三角形

        評注:等邊三角形的“四心”共點,也稱為等邊三角形的“中心”。

        六、三角形的“四心”的綜合應用

        例6(多選題)已知△ABC的外心為O,重心為G,垂心為H,M為BC中點,且AB=4,AC=2,則下列各式正確的是( )。

        圖2

        評注:三角形的外心、垂心和重心在一條直線上,而且外心到重心的距離是垂心到重心的距離之半。此直線稱為三角形的歐拉線,該定理稱為歐拉線定理。

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