柯淑芳

橢圓中的離心率最值問(wèn)題是解析幾何中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，往往借助于圖形的性質(zhì)、橢圓的范圍、正余弦函數(shù)的有界性、均值不等式等來(lái)構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式，從而達(dá)到求解的目的. 本文主要研究如何利用橢圓焦點(diǎn)三角形中的角求解橢圓中的離心率最值問(wèn)題.

首先給出一些關(guān)于橢圓焦點(diǎn)三角形的相關(guān)概念和性質(zhì)如下：

橢圓上任意一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，稱為焦點(diǎn)三角形.

性質(zhì)1 若[F1，F(xiàn)2]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的兩個(gè)焦點(diǎn)，[P]是橢圓上一點(diǎn)，且[∠F1PF2=θ]，則[SΔF1PF2=b2tanθ2].

[P][F1][F2][x][y][θ] [O]

證明 設(shè)[PF1=m]，[PF2=n]，

由余弦定理得[m2+n2-2mncosθ=F1F22=4c2，]

由橢圓定義得[m+n=2a，]

由上得：[mn=2（a2-c2）1+cosθ=2b21+cosθ]，

[∴][SΔF1PF2=12mnsinθ=b2sinθ1+cosθ=b2tanθ2].

性質(zhì)2 已知橢圓方程為[x2a2+y2b2=1（a>b>0），]兩焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2，]設(shè)焦點(diǎn)三角形[PF1F2]中[∠F1PF2=θ，]則[cosθ≥1-2e2]（當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）.

證明 在[△F1PF2]中，由余弦定理可知

[cos∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1?PF2]

[=（PF1+PF2）2-2PF1?PF2-4c22PF1?PF2]

[=2a2-2c2PF1?PF2-1≥2a2-2c2PF1+PF222-1]

[=2a2-2c2a2-1=1-2e2].

性質(zhì)3 已知[B]為橢圓短軸的端點(diǎn)，[F1，F(xiàn)2]為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，[O]為坐標(biāo)原點(diǎn). ①[sin∠F1BO=ca=e]，②[P]為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)[P]位于短軸端點(diǎn)時(shí)[∠F1PF2]達(dá)到最大值即[∠F1BF2≥∠F1PF2].

[P][B][F1][F2][x][y][θ] [O]

例1 [F1，F(xiàn)2]為橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)[P]，使得[∠F1PF2=π2]，求橢圓離心率[e]的取值范圍.

解法一 設(shè)[B]為橢圓短軸上的一個(gè)端點(diǎn)，

則[∠F1BF2≥∠F1PF2=π2].

所以，[∠F1BO≥π4].

所以，[sin∠F1BO=ca=e≥22].

又因?yàn)閇0解法二 利用余弦定理，∵[∠F1BF2≥90°]，

∴[cos∠F1BF2=a2+a2-4c22a2≤0]，

即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1].

解法三 由焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)可知

[S△F1PF2=b2tan45°]，

∴[b2≤S△F1PF2=12?2c?b=bc]，即[b≤c]，

∴[b2≤c2]，∴[a2-c2≤c2]，

∴[e∈22，1].

解法四 由焦半徑公式得

[PF1=a+ex0]，[PF2=a-ex0]，

由勾股定理得[（a+ex0）2+（a-ex0）2=4c2]，

即[x02=2a2-a2c2≥0]，

∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1].

解法五 利用均值不等式，設(shè)[PF1=m，PF2=n]，

∴[m2+n2=4c2]，

又[2a=m+n]，

∴[4a2=m2+n2+2mn≤2（m2+n2）=8c2]，

即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1] .

點(diǎn)評(píng) 在這五種解題方法中，主要從兩個(gè)方向構(gòu)造不等式最終得到橢圓離心率的最值，一個(gè)是角度（如解法一、二、三），另一個(gè)是長(zhǎng)度（如解法四和五）. 顯然，用長(zhǎng)度構(gòu)造計(jì)算量稍大些；用角度構(gòu)造，特別是利用焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)直接計(jì)算簡(jiǎn)單方便得多.

下面看看利用橢圓焦點(diǎn)三角形的角度求離心率最值的應(yīng)用.

例2 已知橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的兩焦點(diǎn)分別為[F1，F(xiàn)2，]若橢圓上存在一點(diǎn)[P，]使得[∠F1PF2=120°，]求橢圓的離心率[e]的取值范圍.

解析 由橢圓焦點(diǎn)三角形性質(zhì)可知

[cos120°≥1-2e2，] 即[-12≥1-2e2]，

于是得到[e]的取值范圍是[32，1].

例3 [F1，F(xiàn)2]為橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦點(diǎn)，[P]是橢圓上一點(diǎn)，且[SΔPF1F2=33b2]，求橢圓離心率[e]的取值范圍.

解析 由焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)得

[SΔPF1F2=b2×tan12∠F1PF2]，可以得到[∠F1PF2=π3]，

∴[cosπ3≥1-2e2]，

即[12≥1-2e2]，

∴[e∈12，1].

總之，利用橢圓焦點(diǎn)三角形中的角求橢圓中的離心率最值可以更加簡(jiǎn)便，為我們節(jié)省了解題的時(shí)間，而歸根到底橢圓焦點(diǎn)三角形的角的特殊性質(zhì)還是抓住課本——橢圓的定義[PF1+PF2=2a][2a>F1F2]，再結(jié)合正余弦定理或勾股定理，由邊的關(guān)系找出a與c的關(guān)系，從而求出離心率的最值或取值范圍.