韓 東

（西安航空職業(yè)技術學院招生就業(yè)處，西安 710089）

光纖陀螺（FOG）是一種全固態(tài)慣性器件，已經(jīng)在捷聯(lián)式慣性導航系統(tǒng)中得到廣泛的應用，它具有壽命長、耐沖擊、動態(tài)范圍寬等優(yōu)點[1]。但同時也具有一些缺點，例如：在受到外界環(huán)境影響，溫度變化、以及沖擊和振動等引起的噪聲混疊，就會嚴重影響陀螺輸出的精度。對這些噪聲的干擾要進行補償設計，要在得到他們準確的統(tǒng)計特性基礎上，建立一個環(huán)境變量的多維模型，而通過辨識噪聲參數(shù)、在線實時擬合等方法來得到這個模型在實現(xiàn)上存在一定的困難。而對光纖陀螺輸出進行補償時不用其漂移模型，直接濾波，通過對信號的消噪到達抑制干擾噪聲是可行的[2]。

利用小波分析的時頻局部化特性、多分辨分析的優(yōu)點，可以根據(jù)信號和噪聲在小波域具有不同的特征將有效的信號和噪聲分離開來。因此，在光纖陀螺信號的消噪方面采用小波分析方法被認為是一種非常有效的方法[3]。在小波分析的基礎上提出來了小波包理論，它能夠為信號提供一種更緊密細致的分析方法，從而獲得更細致的時頻局部化信息。

在光纖陀螺輸出信號中主要存在廣義高斯白噪聲和1/f γ分形噪聲[4]。本文結(jié)合陀螺噪聲的特點，分類估計噪聲強度，使用小波包消噪方法對陀螺輸出進行處理時，根據(jù)分解尺度自適應地確定閾值，并提出一種連續(xù)的閾值函數(shù)，規(guī)避了傳統(tǒng)的硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)存在的缺陷。與傳統(tǒng)閾值消噪相比，新算法能有效去除噪聲，更好地保留真實信號，在靜態(tài)和動態(tài)情況下均具有較好效果。

1 小波包分解與重構(gòu)原理

小波變換實質(zhì)上是把信號分解為不同尺度和頻率的小波子空間。小波變換只對信號的低頻部分做進一步分解，而對高頻部分不予考慮，小波包針對信號頻帶進行多層次的劃分，對高頻段進一步進行分解，能夠根據(jù)被分析信號的特征，自適應地選擇相應頻帶[5-6]。

定義子空間是函數(shù)φn(t)的閉包空間，令φn(t)滿足下面的雙尺度方程。

式中，即兩系數(shù)具有正交關系。設可表示為：

式中是在中投影的系數(shù)。

小波包分解算法：

小波包分解的實質(zhì)是通過h、g這一對低、高通組合正交鏡像濾波器進行組合采樣，把信號逐層分解到不同頻段上。小波包分解的頻段寬度Δf與分解層數(shù)j及采樣頻率fS滿足關系式：

由上式可得，選擇適當?shù)姆纸鈱訑?shù)可得到頻段寬度及各頻段起止頻率，就可以分離陀螺信號中的特征信號和干擾噪聲。

小波包的重構(gòu)算法：

2 光纖陀螺噪聲的估計

光纖陀螺誤差按照噪聲項的來源可分為5種：偏置不穩(wěn)定性噪聲、角度隨機游走噪聲、速率斜坡噪聲速率、隨機游走噪聲和量化噪聲。它們是功率譜密度和頻率的γ成反比的1/f γ分形噪聲。光纖陀螺的輸出可表示為：

式中，μ(t)表示分形噪聲，ω(t)表示高斯白噪聲。假設μ(t)與ω(t)相互獨立不相關，s(t)表示陀螺輸出的有效信號。對光纖陀螺靜態(tài)輸出數(shù)據(jù)進行去常值漂移和線性趨勢項的預處理，有效信號非常弱，已經(jīng)淹沒在噪聲中，近似有s(t)≈0。則式（6）可改寫為：

f(t)即為零漂信號。

2.1 高斯白噪聲方差估計

對于式（7）所示的陀螺信號計算其自相關函數(shù)。

式中為高斯白噪聲方差。

由式（8）知，陀螺信號的自相關函數(shù)在τ=0處為白噪聲方差與分形噪聲自相關函數(shù)之和。因此，通過陀螺信號自相關函數(shù)在非零點的值擬合Rf(τ)-τ曲線，估計出零點值，則可由信號源自相關函數(shù)零點值與擬合估計的零點值相減得到的估計值。然而完全不相關的白噪聲是不存在的，實測的陀螺信號自相關函數(shù)與單純的1/f γ分形噪聲自相關函數(shù)在非零處上是不可能完全重合的，因此，引入總延遲時間T來提高擬合精度，更加準確的白噪聲強度進行估計。具體確定T的方法參見文獻[7]，文中不再復述。

2.2 分形噪聲方差估計

1/f γ分形噪聲在時域是非平穩(wěn)的，對其進行小波變換后，用表示尺度為j時，k時刻的小波系數(shù)。若變換所用的小波基具有R階消失矩，對于0＜γ＜2R，分形噪聲在尺度j時的小波系數(shù)是零均值，方差為的弱相關平穩(wěn)隨機序列表示分形噪聲時域的方差。在相同尺度下，序列的相關性隨R的增加而呈指數(shù)下降，當R較大時，序列幾乎不相關。采用具有高階消失矩的小波函數(shù)對式（7）所示信號進行小波變換，可得各尺度下小波系數(shù)的方差關系式：

由于白噪聲的噪聲水平不隨小波分解尺度的變化而改變，因此式（9）中的即為2.1節(jié)中估計出的白噪聲方差值。對式（9）移項后兩邊取對數(shù)得：

式中可由直接計算各尺度小波系數(shù)方差得到。將分解尺度j作為自變量作為因變量，通過最小二乘擬合的方法得到分形噪聲方差和參數(shù)γ[8]。

3 小波包閾值消噪

在小波包標架中，其信號消噪的算法思想與一般小波消噪基本一致，都是通過對小波域系數(shù)進行閾值處理以達到去除噪聲的目的，最大限度保留有效信號小波系數(shù)，實現(xiàn)降噪。小波包分析是對上一層的低頻部分和高頻部分進行細分，因此具有更為精確的局部分析能力。因此對信號進行第J層小波包分解時有2J組分解系數(shù)，而引入小波包變換是為了讓能量集中，也就是在小波系數(shù)中尋找有序性[9]，因此，把所有部分都進行分解對解決問題是沒有幫助的。這就需要有一定的衡量標準，一般采用最小熵原則。熵是用來度量信息規(guī)律性的概念，熵越小信息的規(guī)律性就越強，據(jù)此準則可以得到一個信號分解的樹狀結(jié)構(gòu)，稱為小波樹。那么尋求最優(yōu)小波樹就是力圖使分解有最大的規(guī)律性，把信號內(nèi)在規(guī)律挑出來。

3.1 閾值選取和改進

閾值的確定以及函數(shù)的選取是小波閾值消噪算法的兩個關鍵的問題，它們將直接影響到消噪的效果。要根據(jù)信號中所含噪聲特征選擇合適的閾值。若閾值太小，去噪后的信號仍然存有噪聲；閾值過大，則可能將信號的主要特征也一并濾除掉，引起偏差。目前，常用的閾值準則為：

式中，N為給定細節(jié)子帶的小波系數(shù)長度，σ為信號噪聲的標準差，它可由第一層分解下由小波系數(shù)的絕對值中值M來估計。

上述閾值是系數(shù)間相互獨立的，且噪聲為白噪聲的假設推導出的，在不同的尺度上閾值變化規(guī)律相同。然而，光纖陀螺信號中除了含有白噪聲外還有分形噪聲，信號為非平穩(wěn)序列，由此通過M估計噪聲水平，不能很好地反映噪聲變化的規(guī)律，進而計算閾值就會存在偏差。而且依該準則計算的閾值受信號長度影響，系數(shù)長度N過大時，λ趨向于將所有小波系數(shù)置零，易產(chǎn)生“過扼殺”系數(shù)的情況，增大重構(gòu)誤差。

針對上述問題，并考慮到閾值隨分解尺度增大而逐漸減小的特點，本文采用Normal Shrink準則計算閾值。

對不同的子帶，所選取的閾值大小跟分解的尺度、子帶系數(shù)長度密切相關。由于陀螺信號中主要包括白噪聲和分形噪聲，所以σ2按下式估計：

式中，白噪聲方差和分形噪聲方差分別由2.1節(jié)和2.2節(jié)的方法得到。

3.2 一種新的連續(xù)閾值函數(shù)

目前，軟閾值方法和硬閾值方法在實際中得到廣泛應用。

硬閾值函數(shù)為：

軟閾值函數(shù)為：

式中，sign表示取符號運算。硬閾值法去噪效果較好，但該函數(shù)在±λ處不連續(xù)，易引起重構(gòu)信號的振蕩，在不連續(xù)點處消噪后會出現(xiàn)偽吉布斯現(xiàn)象；軟閾值方法計算出來的雖然整體連續(xù)性好，降噪效果相對平滑，但在間總存在恒定的偏差，使得重構(gòu)信號對真實信號的逼近程度得到嚴重影響。并且它們的導數(shù)不連續(xù)，在實際應用中需要對一階導數(shù)甚至高階導數(shù)進行處理時，這兩種閾值函數(shù)存在一定局限性。為了這些缺點，國內(nèi)外的科學家研究了很多閾值函數(shù)改進方法，但其中大都表達式復雜，并且分段取值。本文提出一種連續(xù)的閾值函數(shù)，它具有連續(xù)的高階導數(shù)，在時可以較快逼近硬閾值函數(shù)。

新的閾值函數(shù)選擇以2為底的指數(shù)函數(shù)做收縮系數(shù)，便于在計算機上實現(xiàn)。該閾值函數(shù)主要針對含有少量真實信息的小波系數(shù)處理上，將這些系數(shù)做收縮處理，最大程度的保留真實信號，消減絕對值接近或低于閾值的小波系數(shù)，使它們遠遠小于其他系數(shù)。式（17）中α、β為正整數(shù)，隨著α的增大由趨于零收縮變?yōu)橼呌讦豭,k的轉(zhuǎn)折段越來越遠離原點，當α=4時該轉(zhuǎn)折段在閾值附近；β越大，新方法計算的越逼近于硬閾值，不過隨著β增大計算量也相應增大。在閾值附近，新閾值函數(shù)具有軟閾值函數(shù)的作用，它可使得閾值消噪以較為平滑的方式實現(xiàn)，使在閾值附近的小波系數(shù)收縮后更加接近原信號的小波系數(shù)，從而能有效抑制由于直接截斷可能引起的虛假振蕩。

4 仿真試驗

首先，選用光纖陀螺靜態(tài)漂移數(shù)據(jù)對消噪方法進行檢驗，將某干涉型光纖陀螺固定在水平轉(zhuǎn)臺上，其輸入敏感軸指向正東方向，對準誤差控制在角秒范圍，轉(zhuǎn)臺保持靜止，采樣頻率20Hz。分別采用通用閾值的小波包消噪法和改進閾值函數(shù)的小波包消噪法處理陀螺輸出。用db4小波基分解至5層，以Shannon熵作為熵標準確定最優(yōu)小波樹，通用閾值消噪時采用硬閾值函數(shù)，改進閾值消噪時參數(shù)α、β仍取4和5。

表1 光纖陀螺靜態(tài)輸出小波包消噪前后各噪聲系數(shù)

陀螺原始輸出數(shù)據(jù)如圖1（a）所示，其中含有大量非平穩(wěn)隨機噪聲。通過小波包通用閾值法消噪后,信號波形變?yōu)閳D1（b），噪聲得到較好抑制，信號標準差由消噪前的0.39979°/h降至0.10744°/h，但由于閾值函數(shù)截斷消噪后信號存在振蕩，波形不夠平滑。圖1（c）是采用改進閾值消噪后的信號波形，標準差為0.10046°/h，消噪效果優(yōu)于通用閾值法，而且有效避免了振蕩[10]。

圖1 光纖陀螺原始輸出信號及小波包消噪后信號Fig.1 Original output signal of fiber optic gyro and wavelet packet de-noising signal

對消噪前后的陀螺靜態(tài)漂移信號進行Allan方差分析，以確定存在于信號中的各項噪聲水平。

從消噪前后擬合得到的各項隨機誤差系數(shù)可以看出，在經(jīng)過了小波包消噪后各項誤差都得到一定程度的減小，并且文中所提方法對噪聲的抑制效果要更好些。

為驗證對光纖陀螺動態(tài)輸出信號的濾波效果，利用Matlab中的bumps信號作為陀螺輸出的有效信號，通過數(shù)字信號處理的方法模擬各噪聲項：用廣義白噪聲模擬角度隨機游走噪聲；用高斯白噪聲的一次積分模擬速率隨機游走噪聲；用均值為零，方差為LSB2/2的高斯白噪聲模擬量化噪聲，LSB表示角度量化的最低有效位；用隨機速率斜坡函數(shù)模擬速率斜坡噪聲；用正交小波變換的方法模擬偏置不穩(wěn)定性噪聲[11]；用一階Markov過程來模擬指數(shù)相關噪聲。按不同的信噪比將信號與噪聲疊加在一起，模擬含噪的光纖陀螺動態(tài)輸出信號，進行小波包消噪處理。

濾波前模擬含噪信號的信噪比（SNR）為25dB，信號波形如圖2（a）所示。圖2（b）是經(jīng)通用閾值法消噪后的信號，信噪比提高到34.95dB，而改進閾值法消噪后結(jié)果為圖2（c），信噪比為35.63dB。

對于模擬的光纖陀螺動態(tài)輸出設定不同的信噪比，經(jīng)過兩種閾值方法消噪后，信噪比改善情況（消噪前后信噪比之差）如圖3所示。從圖中可看出，在各種信噪比輸入下，本文提出的改進閾值消噪法對信噪比的改善效果均要優(yōu)于通用閾值法。

圖2 模擬光纖陀螺動態(tài)輸出信號的小波包消噪Fig.2 Wavelet packet de-noising for simulating the dynamic output signal of fiber optic gyro

圖3 信噪比改善曲線Fig.3 Signal to noise ratio improvement curve

5 結(jié)論

采用小波包消噪法處理光纖陀螺輸出信號，可以在各尺度上更加細致地對噪聲進行抑制。文中對以往小波包閾值消噪法的閾值和閾值函數(shù)進行改進，提出一種連續(xù)的閾值函數(shù)用于小波系數(shù)處理。通過對陀螺靜態(tài)輸出的消噪驗證和動態(tài)信號的仿真處理，證明改進的閾值方法可以更好地保存原信號中的尖峰和突變特征，同時有效抑制噪聲。這是因為在新算法中，各層小波系數(shù)的閾值是根據(jù)所在層噪聲的幅度自適應調(diào)節(jié)的，并且估計噪聲方差時針對光纖陀螺噪聲項特點進行辨識計算，比單純選用第一層小波分解系數(shù)中值做估計要精確，且新的連續(xù)閾值函數(shù)使小波系數(shù)閾值處理以較為平滑的方式實現(xiàn)，在閾值附近具有相似于軟閾值函數(shù)的作用，在閾值之上時又具有硬閾值函數(shù)的作用，使濾波后小波系數(shù)取值更加接近原信號小波系數(shù)取值。改進的閾值方法在計算量上比通用閾值法有所增加，適用于對消噪處理實時性要求不高，但消噪精度要求較高的場合。

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