石樹偉

（揚(yáng)州市廣陵區(qū)教育局教研室，江蘇 揚(yáng)州 225006）

一、問題的提出

當(dāng)前，數(shù)學(xué)教學(xué)生硬不自然的現(xiàn)象廣泛存在，如：課堂教學(xué)目標(biāo)大而無當(dāng)，三維目標(biāo)空泛不具體，目標(biāo)制訂的貼標(biāo)簽導(dǎo)致教學(xué)實(shí)施的貼標(biāo)簽；每章起始課教學(xué)沒有從宏觀到微觀的自然過渡，“直入主題”零碎教、零碎學(xué)，無系統(tǒng)思維和整體意識；概念教學(xué)不經(jīng)歷概念形成過程，“一個定義，三項(xiàng)注意”式的教學(xué)盛行；定理法則教學(xué)過度牽引假發(fā)現(xiàn)，學(xué)生做得到但想不到；解題教學(xué)缺少獨(dú)立思考和解法自然生成過程分析，搞“題型+技巧”式的機(jī)械模仿訓(xùn)練等。

數(shù)學(xué)教學(xué)生硬不自然，會導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)缺少一以貫之的邏輯思考和核心數(shù)學(xué)思想的感悟，使學(xué)生缺乏問題意識，不僅不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和內(nèi)部學(xué)習(xí)動機(jī)的激發(fā)，也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)須提升“教學(xué)自然”。

二、“三個理解”是“教學(xué)自然”的必然要求

為促進(jìn)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展，章建躍教授提出了“三個理解”，即理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。

理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的三大基石。[1]理解數(shù)學(xué)，即對數(shù)學(xué)知識知本質(zhì)、會例釋、善聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)知識的邏輯體系和結(jié)構(gòu)，深刻認(rèn)識蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法和價值觀資源；理解學(xué)生，即認(rèn)識學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維特征和認(rèn)知規(guī)律，了解學(xué)生的認(rèn)知和能力基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)難點(diǎn)知識的思維障礙等；理解教學(xué)，即掌握數(shù)學(xué)知識的教學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則和規(guī)律等。其中，理解數(shù)學(xué)是“三個理解”的基礎(chǔ)，因?yàn)椤俺允裁从肋h(yuǎn)比怎么吃更重要，教什么永遠(yuǎn)比怎么教更重要”，“明白之人使人明白，想得清楚才能講得明白”，而且“有關(guān)學(xué)科知識的教學(xué)法存在于學(xué)科知識和學(xué)科之中”。

數(shù)學(xué)教學(xué)生硬不自然的原因歸根結(jié)底有三方面：一是教學(xué)不符合知識發(fā)生發(fā)展的邏輯線索，理解數(shù)學(xué)不夠；二是不了解和遵循學(xué)生的需求及認(rèn)知規(guī)律，理解學(xué)生不夠；三是違背數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則和規(guī)律，理解教學(xué)不夠。針對上述存在問題及原因，數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視并落實(shí)“三個理解”，即理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。

案例1乘法公式的探究設(shè)計

方案一：引導(dǎo)學(xué)生用兩種方法計算圖形面積引入乘法公式，再用多項(xiàng)式乘法予以證明；

方案二：引導(dǎo)學(xué)生從多項(xiàng)式乘法(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd探究特例引入乘法公式，再嘗試自主構(gòu)造圖形形成多元理解。

【案例評析】方案一沿襲常見的用兩種方法計算圖形面積引入乘法公式，學(xué)生會感到圖形來得突兀，會生發(fā)“怎么知道計算這個圖形的面積就能得到乘法公式”的疑問，學(xué)生做得到但想不到，公式教學(xué)就顯得不自然。其實(shí)，乘法公式的知識生長點(diǎn)是多項(xiàng)式乘法，多項(xiàng)式乘法(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，當(dāng)a=c，b=－d時即平方差公式，當(dāng)a=c，b=d時即完全平方公式。方案二引導(dǎo)學(xué)生在多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上探究特例，體現(xiàn)了從一般到特殊的思想，切合知識發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在邏輯線索，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時也教給了學(xué)生“考察特例”這一數(shù)學(xué)研究的“基本套路”。探索公式時學(xué)生獨(dú)立自主尋找特例，探究空間大，是真探究，真實(shí)的才是自然的。[2]案例充分說明，“三個理解”是“教學(xué)自然”的必然要求。

三、“三個理解”在“教學(xué)自然”中的落實(shí)

針對數(shù)學(xué)教學(xué)中重要且教學(xué)生硬現(xiàn)象多發(fā)環(huán)節(jié)，下面擬從目標(biāo)制訂、起始教學(xué)、概念教學(xué)、性質(zhì)教學(xué)、解題教學(xué)五方面具體分析如何落實(shí)“三個理解”，提升“教學(xué)自然”。

1.理解內(nèi)容基礎(chǔ)上的教學(xué)目標(biāo)制訂

進(jìn)入新課程改革以來，課堂教學(xué)目標(biāo)較多地沿用本是課程目標(biāo)的三維目標(biāo)形式分別闡述，既關(guān)注顯性目標(biāo)，也關(guān)注隱性目標(biāo)。但缺點(diǎn)就是不自然：人為割裂三維目標(biāo)之間的聯(lián)系，沒有根據(jù)具體內(nèi)容特點(diǎn)制訂過程與方法、情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)，對教學(xué)的定向作用不充分；貼標(biāo)簽，有些關(guān)于過程與方法、情感態(tài)度與價值觀的目標(biāo)放到任何課題都適用。

課堂教學(xué)目標(biāo)的制訂應(yīng)以正確理解內(nèi)容為基礎(chǔ)[3]，聚焦數(shù)學(xué)知識和技能、數(shù)學(xué)思維能力、理性精神，準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容中過程與方法、情感態(tài)度與價值觀的適切滲透點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)，以知識、技能、方法為載體，在過程中滲透情感態(tài)度價值觀教育。有了目標(biāo)的可行才有教學(xué)的自然。

案例2“代數(shù)式的值”教學(xué)目標(biāo)制訂

內(nèi)容理解：“代數(shù)式的值”其實(shí)是一個“錯誤”概念或中間“過渡”概念，如不能籠統(tǒng)地說“代數(shù)式x+1的值是1”，正確的說法是“當(dāng)x=0時，代數(shù)式x+1的值是1”，代數(shù)式的值隨字母取值的確定而唯一確定。因此，代數(shù)式的本質(zhì)是函數(shù)，代數(shù)式的值即函數(shù)值。

依據(jù)以上內(nèi)容理解，可以制訂如下“代數(shù)式的值”的教學(xué)目標(biāo)：

（1）了解代數(shù)式的值的意義，會計算代數(shù)式的值；

（2）通過代入法求值培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)，提高運(yùn)算能力；

（3）探索字母取值與代數(shù)式的值的變化對應(yīng)關(guān)系，體會感悟函數(shù)思想。

【案例評析】上述教學(xué)目標(biāo)沒有將三維目標(biāo)人為割裂，而是結(jié)合具體的知識技能目標(biāo)闡述過程與方法、情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)，三維目標(biāo)有機(jī)地糅合在了一起，自然、具體、可操作。

2.滲透系統(tǒng)思維的起始教學(xué)

我國數(shù)學(xué)教材的編寫思路經(jīng)歷了由“部分—部分—整體”到“整體—部分—整體”的轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)教學(xué)的思路也應(yīng)做相應(yīng)的調(diào)整，重視新增的章節(jié)引言內(nèi)容，遵循學(xué)生認(rèn)識事物從宏觀到微觀、最后再回到宏觀的一般規(guī)律，上好每章起始課，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更加自然。

數(shù)學(xué)研究的基本套路是“定義概念——推導(dǎo)性質(zhì)——建立聯(lián)系——實(shí)踐應(yīng)用”，即先從數(shù)與形的角度抽象事物的本質(zhì)屬性、定義概念，從而明確數(shù)學(xué)對象；探索對象的要素與要素、要素與環(huán)境之間的關(guān)系和相互作用而獲得性質(zhì)；建立相關(guān)知識的聯(lián)系而形成知識體系；應(yīng)用所得知識解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題，并深化認(rèn)識、拓展新知。加強(qiáng)基本套路教學(xué)的重要載體就是每章起始課教學(xué)，主要“技術(shù)”是加強(qiáng)“先行組織者”的使用。每章起始課教學(xué)要滲透系統(tǒng)思維，運(yùn)用推理思想，通過類比讓學(xué)生勾畫本章知識的研究路線圖，整體把握本章的知識結(jié)構(gòu)，從而體現(xiàn)結(jié)構(gòu)性原則的要求，避免學(xué)習(xí)的盲目性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的預(yù)見性與主動性，為學(xué)生解決如何學(xué)的問題。

案例3“分式”章起始課中先行組織者的兩次使用[4]

（1）課始問題與引入環(huán)節(jié)（分式概念學(xué)習(xí)前）：

問題：從小學(xué)到現(xiàn)在，數(shù)系經(jīng)歷了一個怎樣的擴(kuò)張過程？用字母表示數(shù)就有了代數(shù)式，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些種類的代數(shù)式？類似數(shù)系請展望一下代數(shù)式未來的擴(kuò)張方向。

師生共同回顧、展望數(shù)與式的擴(kuò)張歷程，逐步形成如圖1所示的板書。

（2）課尾小結(jié)與思考環(huán)節(jié)（分式概念學(xué)習(xí)后）：

問題：類比分?jǐn)?shù)，設(shè)想分式將要研究哪些內(nèi)容；再類比整式，設(shè)想分式將要研究哪些內(nèi)容。嘗試展望一下分式研究的路線圖。

圖1 數(shù)與式知識結(jié)構(gòu)展望

教師引導(dǎo)學(xué)生分別類比分?jǐn)?shù)和整式，展望分式研究的內(nèi)容，逐步投影呈現(xiàn)圖2、圖3內(nèi)容，共同“繪制”分式研究的路線圖：分式概念→分式基本性質(zhì)→分式運(yùn)算→分式方程。

【案例評析】上述“分式”先行組織者的使用有利于知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)和基本套路的滲透，既有向外——把分式置于“數(shù)與式”整體中的宏觀知識結(jié)構(gòu)，利于學(xué)生在一定的知識體系中更好地理解各部分知識；也有向內(nèi)——展望分式研究內(nèi)容的微觀知識結(jié)構(gòu)，利于學(xué)生對本章的研究脈絡(luò)和知識框架有一個整體的認(rèn)識，使他們在后續(xù)學(xué)習(xí)中能“見木見林”。

3.用歸納式進(jìn)行概念教學(xué)

李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”“一個定義，三項(xiàng)注意，幾道例題，大量練習(xí)”式的、以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法是舍本逐末，因?yàn)闆]有讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，所以概念的獲得不自然，學(xué)生對概念的本質(zhì)屬性及概念形成過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法認(rèn)識不到位，導(dǎo)致“數(shù)學(xué)育人”的目標(biāo)落空。

概念教學(xué)應(yīng)采取歸納式，一般包括以下五個基本環(huán)節(jié)：（1）概念探究，即以豐富、典型實(shí)例為背景，探究分析概念的本質(zhì)屬性；（2）概念歸納，即下定義；（3）概念深化，即對概念進(jìn)行多角度的辨析，揭示概念的內(nèi)涵和外延；（4）概念應(yīng)用，即應(yīng)用概念解決一些簡單的問題以鞏固概念；（5）概念聯(lián)結(jié)，即構(gòu)建概念的表征體系，并將獲得的概念與相關(guān)的概念廣泛聯(lián)系。其核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。［5］概括是學(xué)生掌握概念的前提，是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎(chǔ)。

案例4二次函數(shù)的概念教學(xué)［6］

引例：六道由生活實(shí)例構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式的填空題，此處略。（學(xué)生先獨(dú)立思考后匯報交流）

圖2 分式分?jǐn)?shù)研究內(nèi)容比較

圖3 分式整式研究內(nèi)容比較

問題1：由引例我們得到六個函數(shù)關(guān)系式：①s=；⑤請你將上述六個函數(shù)關(guān)系式分分類，你分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

問題2：一次函數(shù)（①③）一般形式是什么？上述一次函數(shù)都符合一般形式嗎？反比例函數(shù)（⑤）一般形式是什么？

問題3：上述新函數(shù)的關(guān)系式（②④⑥）有什么共同特征？你能給他們起一個名稱嗎？能不能用一個一般形式表示這種函數(shù)？（通過問題1—問題3的師生互動交流，形成二次函數(shù)的相關(guān)概念并板書）

問題4：判斷下列函數(shù)是否是二次函數(shù)，若是請分別說出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)（具體函數(shù)表達(dá)式略）。

問題5：若函數(shù)y=(m+1)xm2-m+3是二次函數(shù),求m的值。（問題4—問題5均先讓學(xué)生獨(dú)立嘗試練習(xí)后匯報交流，最后反思小結(jié)二次函數(shù)概念的注意點(diǎn)）

【案例評析】由實(shí)例構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式并分類的過程就是分析、尋找、歸納共同本質(zhì)屬性的過程，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)嘗試定義二次函數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的抽象概括過程。后續(xù)的概念辨析和應(yīng)用有利于強(qiáng)化學(xué)生對概念的理解。

4.“做到更要想到”的性質(zhì)探究教學(xué)

性質(zhì)教學(xué)不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，這已成為大家的共識。為此，教師常常強(qiáng)令學(xué)生按預(yù)設(shè)的程序操作探究，猶如“把學(xué)生塞進(jìn)公共汽車并美其名曰學(xué)生自己來到了目的地”。其實(shí)，這樣的性質(zhì)教學(xué)是不自然的，學(xué)生常會生發(fā)“怎么想到研究這一方面的性質(zhì)的”“怎么想到這樣做就能發(fā)現(xiàn)這個性質(zhì)的”等疑問。傅種孫先生“幾何之務(wù)不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然”的思想說明數(shù)學(xué)理解有三個遞進(jìn)的層次：知其然→知其所以然→知何由以知其所以然。性質(zhì)教學(xué)要“惑學(xué)生之所惑”，滿足學(xué)生需求，努力達(dá)到最高層次，力求讓學(xué)生“不僅做得到而且想得到”。

性質(zhì)教學(xué)要“知何由以知其所以然”，就要了解什么叫性質(zhì)。性質(zhì)指事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系，幾何性質(zhì)，具體說就是幾何對象組成要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系。［7］如三角形的內(nèi)角和為180°、兩邊之和大于第三邊等性質(zhì)是三角形的組成要素——邊、角之間確定的關(guān)系；三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和、三條高交于一點(diǎn)、等腰三角形三線合一等性質(zhì)是三角形的相關(guān)要素——外角、高、中線、角平分線之間確定的關(guān)系。

案例5平行四邊形性質(zhì)的探究

先行組織者：師生共同回憶三角形的研究歷程：三角形的概念→三角形的性質(zhì)和判定→三角形的特例（“角”為標(biāo)準(zhǔn)的直角三角形，“邊”為標(biāo)準(zhǔn)的等腰三角形）。一般三角形的性質(zhì)有哪些，是從哪些方面來研究的？（如三角形的內(nèi)角和為180°等，這些性質(zhì)都是從三角形的組成要素、相關(guān)要素的數(shù)量和位置關(guān)系上來研究的）

問題1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念，你認(rèn)為下面將研究平行四邊形的哪些問題？（平行四邊形的性質(zhì)與判定、特殊平行四邊形及其性質(zhì)與判定）特殊平行四邊形可能有哪些？

問題2：我們先來研究平行四邊形的性質(zhì)，你認(rèn)為該如何研究，為什么？（平行四邊形的組成要素和相關(guān)要素有邊、角、對角線，因此可以從邊、角、對角線角度研究它的性質(zhì)）

問題3：前面研究過一般四邊形，你有何研究經(jīng)驗(yàn)？（將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形）根據(jù)這些經(jīng)驗(yàn)，請嘗試研究平行四邊形的性質(zhì)。

【案例評析】平行四邊形性質(zhì)的探究，過去常常直接指令學(xué)生按步驟操作，依次歸納得出關(guān)于邊、角、對角線的性質(zhì)。而本案例充分發(fā)揮先行組織者的引導(dǎo)作用，讓學(xué)生自己想到從邊、角、對角線的角度探究平行四邊形的性質(zhì)，探究空間大，是真正的自主探究。同時，問題1有利于初步構(gòu)建平行四邊形的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維。

5.追求解法自然生成的解題教學(xué)

當(dāng)前解題教學(xué)過于注重題型歸類和解題技巧，通性通法重視不夠，思想方法提煉不到位，特別是解題思路的自然生成分析不夠，讓學(xué)生產(chǎn)生解法的獲得是“天才的靈機(jī)一動”“可遇而不可求的錯覺”，導(dǎo)致解題教學(xué)不自然，學(xué)生會做（模仿）不會想。

解題教學(xué)中教師應(yīng)了解學(xué)生的思維路徑和思維盲點(diǎn)，挖掘解題蘊(yùn)含的思想方法和思維策略，重視解題思路的自然生成分析。應(yīng)著重抓住以下三個關(guān)鍵：一是要給學(xué)生充分的獨(dú)立思考嘗試的機(jī)會，學(xué)生思考了才會有自己的想法，后續(xù)的匯報交流才是有源之水、有本之木。二是要給學(xué)生匯報交流的機(jī)會，既要有交流順利的“坦途”，適時追問“你是怎么想到的”，也要有交流經(jīng)歷的“曲折”，及時追問“碰壁后你是如何轉(zhuǎn)向的”。三是要給學(xué)生回顧反思的機(jī)會，回顧解決問題的思維過程，反思解決問題的思路是怎么產(chǎn)生的，關(guān)鍵是什么，遇到了哪些困難，是如何克服這些困難的，積累數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗(yàn)；反思解題過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)解題規(guī)律和策略，將解題由“個”的階段“類化”上升至“類”的階段，感悟數(shù)學(xué)基本思想。

案例6解方程的解題教學(xué)

步驟1：獨(dú)立嘗試。學(xué)生嘗試解方程。

步驟2：匯報交流。學(xué)生匯報展示解題過程，教師適時追問：每一步干什么？依據(jù)是什么？（歸納解方程的一般步驟，理解每一步的運(yùn)算依據(jù)）你是怎么想到這樣做的，或?yàn)槭裁匆@樣做？（解方程的最終目標(biāo)是得到“x=a”的形式，緊盯目標(biāo)實(shí)施變形）

步驟3：回顧反思。解方程的過程體現(xiàn)了什么思維策略和數(shù)學(xué)思想？（目標(biāo)意識和轉(zhuǎn)化思想：把原方程轉(zhuǎn)化為“x=a”的形式）

【案例評析】一般解方程教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生熟練掌握方程的解法步驟，而這里解方程教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解方程解法的自然由來，體會目標(biāo)意識和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。轉(zhuǎn)化思想是解方程的根本指導(dǎo)思想，應(yīng)用范圍廣，可遷移應(yīng)用至解其他類型的方程（組）及不等式?！?/p>

[1][5]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2010（1/2）：3-6.

[2]石樹偉.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)立意的“層次”“關(guān)系”及“提升”——由“完全平方公式”同課異構(gòu)引發(fā)的思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013（1）：74-76.

[3]章建躍.探究教學(xué)規(guī)律 造就教學(xué)名師[J].中國數(shù)學(xué)教育，2011（1/2）：5-10.

[4]石樹偉.揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)：變“單薄”為“厚重”[J].數(shù)學(xué)通報，2015（7）：30-32，35.

[6]石樹偉.從慢生活到數(shù)學(xué)慢教育的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2014（6）：62-65.

[7]章建躍.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與智慧發(fā)展[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（7）：4-12.