繆燁紅

(蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 太倉 215400)

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不等式問題研究
—高等數(shù)學(xué)競賽?？圃囶}分析

繆燁紅

(蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 太倉 215400)

摘要：不等式證明是高等數(shù)學(xué)競賽中的常見題型，本文對江蘇省歷屆高等數(shù)學(xué)競賽?？平M試題中涉及不等式問題的解決方法進(jìn)行了歸納，以期一方面能為高職教師競賽培訓(xùn)提供參考，另一方面也能拓寬學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)他們的邏輯推理能力和創(chuàng)新思維能力。

關(guān)鍵詞：不等式；高等數(shù)學(xué)競賽

0引言

涉及不等式問題(不等式證明或最值)是高等數(shù)學(xué)競賽中的常見題型，也是難度較大的題型之一。高職學(xué)生由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱，高等數(shù)學(xué)授課課時相對較短，平時較側(cè)重于計算能力的培養(yǎng)，學(xué)生遇到這類問題往往不知道從何下手，甚至不知道可以用哪些知識點解決這類問題。筆者對江蘇省歷屆高等數(shù)學(xué)競賽?？平M試題中涉及不等式問題的解決方法進(jìn)行了歸納，以期一方面能為高職教師競賽培訓(xùn)提供參考，另一方面也能拓寬學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)他們的邏輯推理能力和創(chuàng)新思維能力。

1案例分析及研究

1.1利用極限的保號性

例1：(2000年競賽題)設(shè)f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx，其中a1,a2,…,an是實數(shù)，

且|f(x)|≤|sinx|，試證：|a1+2a2+…+nan|≤1．

故|a1+2a2+…+nan|≤1．

1.2利用函數(shù)的單調(diào)性

對所要證明的不等式通過適當(dāng)?shù)淖冃?，如取自然對?shù)、移項等方法，通過構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性，從而證明出不等式或得出結(jié)論．若涉及積分不等式，可以構(gòu)造積分上限函數(shù)，結(jié)合積分中值定理的使用，得出證明．

例2：(1994年競賽題)試比較πe與eπ的大小．

解：將問題轉(zhuǎn)換為比較elnπ與πl(wèi)ne=π的大小，所以可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=elnx-x (x>e)，

即有f(π)=elnπ-π<0，所以πe

注：此題也可以直接構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-xe，x≥e，利用三階導(dǎo)數(shù)的符號得出證明．

例3：(2002年競賽題)設(shè)f(x)在[0,+∞)上連續(xù)且單調(diào)減少，0

求證： a∫0bf(x)dx≤b∫0af(x)dx．

證明：構(gòu)造函數(shù)F(x)=a∫0xf(t)dt-x∫0af(t)dt，x∈[a,b]．

F′(x)=af(x)-∫0af(t)dt，由積分中值定理，?ξ∈(0,a)，使得F′(x)=af(x)-af(ξ)．

由于f(x)在[0,+∞)上單調(diào)減少，ξ

有F(b)≤F(a)，即有a∫0bf(x)dx≤b∫0af(x)dx．

1.3利用函數(shù)的最值

對于形如f(x)≤a(或f(x)≥a)的不等式，通過構(gòu)造輔助函數(shù)，找出函數(shù)的最大值或最小值，得出證明。有些涉及不等式的最值問題，也可以通過對不等式轉(zhuǎn)化變形后，利用最值得出結(jié)論。

例4：證明：x>0時，x2011+2010≥2011x．

證明：考察函數(shù)f(x)=x2011-2011x，x>0． f′(x)=2011x2010-2011，令f′(x)=0，得

駐點x=1，易見f(x)在x=1處取得最小值，即f(x)≥f(1)=-2010，不等式得證．

例5：(2010年競賽題)設(shè)a為正常數(shù)，使得x2≤eax對一切正數(shù)x成立，求常數(shù)a的最小值．

1.4利用函數(shù)的凹凸性

如果不等式中出現(xiàn)函數(shù)在若干個點處的平均值時，可以考慮用函數(shù)的凹凸性證明．

1.5利用微分中值定理

如果不等式中含有函數(shù)的增量形式，可以通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用微分中值定理給出證明．

例8：設(shè)f(x)在區(qū)間(0,c)上具有嚴(yán)格單調(diào)遞減的導(dǎo)數(shù)f′(x)，f(x)在x=0處連續(xù)且f(0)=0，試證：對于滿足不等式0f(a+b)成立．

證明：在區(qū)間[0,a]和[b,a+b]上對函數(shù)f(x)分別利用拉格朗日中值定理，有：

f(a)-f(0)=f′(ξ)(a-0)，ξ∈(0,a)，f(a+b)-f(b)=f′(η)(a+b-b)，η∈(b,a+b)，

即f(a)+f(b)>f(a+b)．

1.6利用定積分的性質(zhì)

對于某些積分不等式，可以利用定積分的不等式性質(zhì)證明．

性質(zhì)1：如果在區(qū)間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx．

性質(zhì)2：|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx．(a

例9：(2006年競賽題)設(shè)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)，f(0)=0，|f(x)-f′(x)|≤1，求證：|f(x)|≤ex-1，x∈[0,+∞)．

即-e-x≤F′(x)≤e-x． 由定積分的性質(zhì)知：-∫0xe-tdt≤∫0xF′(t)dt≤∫0xe-tdt，x∈[0,+∞)，

即|f(x)|≤ex-1，x∈[0,+∞)．

2結(jié)語

高等數(shù)學(xué)中涉及不等式證明的方法除了上述方法，還可以利用定積分定義、二重積分等多種方法。本文僅就江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽?？茪v年試題分析了常用的不等式處理方法，競賽試題雖是以常規(guī)教學(xué)內(nèi)容為主要考點，但是在難度和靈活性上有更高的要求。不等式問題要求學(xué)生不僅基礎(chǔ)知識和基本技能掌握全面，也要求其對所學(xué)的知識體系和脈絡(luò)十分清晰，是對學(xué)生分析問題能力和邏輯推理能力的綜合考察。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃啟平等. 對高職非理科專業(yè)高等數(shù)學(xué)競賽的認(rèn)識與實踐[J].南通職業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008，22(1)：27-29.

[2]劉丹等.高等數(shù)學(xué)中證明不等式的方法與技巧[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，2013，29(6)，4-8.

[3]吳鳳珍.不等式證明的高等數(shù)學(xué)方法研究[J].四川文理學(xué)院學(xué)報，2012，23(2)，10-13.

[4]陳仲.高等數(shù)學(xué)競賽題解析教程[M].東南大學(xué)出版社.

(編輯趙欣宇)

Inequality Problem Research—the Analysis of Test Paper of Higher Mathematics Competition

MIAO Yehong

(Suzhou Chien-Shiung Institute of Technology, Taicang 215400, China)

Abstract：Inequality proof is the common topic in higher mathematics competition. The paper concludes the solutions of involving the inequality problems in all previous higher mathematics competitions in Jiangsu province, in order to provide reference for higher vocational teachers’ competition training, on the other hand, to broaden the students’ thinking of solving problems, and to cultivate logical reasoning ability and innovative thinking ability.

Keywords：inequality; higher mathematics competition

中圖分類號：G712

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編碼：1672-0601(2016)04-0058-03

作者簡介：繆燁紅(1982-)，女。碩士研究生，講師。主要研究方向： 高職數(shù)學(xué)教學(xué)。

基金項目：學(xué)院青年基金項目-HPM視角下高職數(shù)學(xué)教育的探索與研究(2013qnjj06)；院級教改項目-中高職銜接的高職數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革研究(JG201508)

收稿日期：2015-12-21