楊琳

數(shù)學(xué)思想是人們?cè)陂L期的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和社會(huì)生活中得出的有關(guān)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu)等科學(xué)意識(shí)的反應(yīng)，是人類思維活動(dòng)的結(jié)晶。數(shù)學(xué)思想在漫長的歷史演變中逐漸發(fā)展，幫助人類掌握學(xué)習(xí)知識(shí)的技巧，提供最優(yōu)質(zhì)的解決方案，常見的數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、分類討論、換元思想、函數(shù)與方程、等效思想等等。本文就以分類討論思想為例，探討其在初中數(shù)學(xué)中的具體運(yùn)用。

一、分類討論思想的意義

分類討論思想其最主要本質(zhì)就是“化整為零，積零為整”的解題策略。當(dāng)我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)，當(dāng)所面對(duì)的問題不能進(jìn)行整體統(tǒng)一的研究時(shí)，根據(jù)數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性需進(jìn)行分類討論和研究，這種邏輯思維解決方法就是“分類討論思想”。而分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中，歷年是考試的側(cè)重點(diǎn)，主要是考查學(xué)生對(duì)于知識(shí)面的分析能力和解題思路技巧，分類討論思想不僅有利于提高學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的廣泛興趣，還有利于培養(yǎng)思維能力的條理性和縝密性。學(xué)生可以通過分類討論思想掌握數(shù)學(xué)當(dāng)中分類方法、一題多解和對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)認(rèn)知的能力。在教學(xué)中，教師可以利用小組合作充分發(fā)揮分類討論的作用，為學(xué)生營造一種合作交流積極應(yīng)變的氛圍。因此，分類討論思想可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性和解題思路的能力，在初中數(shù)學(xué)解題應(yīng)用中具有非常重要的作用和意義。

二、分類討論思想具體解題步驟探討

在學(xué)生能夠基本掌握分類討論思想的情況下，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用正確的解題思路，大體可以從以下幾個(gè)方面去引導(dǎo)，一是要認(rèn)真仔細(xì)閱讀題目，明白題目要考查的知識(shí)點(diǎn)；二是要明確分類討論的對(duì)象，列舉所有可能的結(jié)果，不可以遺漏，不可以重復(fù)；三是要討論出所有列舉問題的結(jié)論；四是要認(rèn)真總結(jié)歸納，對(duì)于做過的題目要能夠總結(jié)出規(guī)律和解題思路。對(duì)于數(shù)學(xué)問題的研究要有效針對(duì)各種屬性的對(duì)象，研究的結(jié)果也自然會(huì)因?yàn)檠芯繉?duì)象的不同而產(chǎn)生差異，因此對(duì)于不同的研究對(duì)象就需要采用不同的研究思想，又或者說在研究過程中出現(xiàn)了不同的狀況，就需要采用不同的分類研究的思想。

三、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用實(shí)例分析

例1.已知：一次函數(shù)y=-x+8和反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）；①當(dāng)k滿足什么條件時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)平面中的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)？②設(shè)①中的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，試比較∠AOB同90°的大小。

分析：第①小題求得k<16且k≠0；解第②小題時(shí)，鑒于k<0或090°；當(dāng)0

例2.讓|b+1|=|b|+1式子成立的條件是什么？

（A）b為任意實(shí)數(shù)值（B）b≥0（C）b≤0（D）b≠0

分析：在破解這道題目時(shí)，可以采用分類討論的思想，該題題干中等號(hào)兩邊的都含有絕對(duì)值符號(hào)，且已知條件中沒有給出實(shí)數(shù)b的具體取值范圍，因此絕對(duì)值符號(hào)去掉較為困難。此時(shí)我們可以通過“零點(diǎn)分段”的分類討論法，令|b+1|=0，|b|=0，可以分析得出b=0和b=-1；依次假設(shè)b<-1，b≥0，-1≤b≤0。

解：當(dāng)b<-1時(shí)，該式中左邊=-（b+1），右邊=-b+1，左邊≠右邊；當(dāng)-1≤b≤0時(shí)，左邊=b+1，右邊=-b+1，左邊≠右邊；當(dāng)b≥0時(shí)，左邊=b+1，右邊=b+1，左邊=右邊。因此該題（B）為正確答案。

例3.某超市推出如下優(yōu)惠方案：一次性購物不超過100元不享受優(yōu)惠；一次購物超過100元，但是不超過300元一律9折；一次購物超過300元一律8折。王波兩次購物分別付款80元和252元。如果他一次性購買與上兩次相同的商品，則應(yīng)付款為多少？

解：第一次購物顯然沒有超過100元，因?yàn)?0/0.9=88，所以第一次實(shí)際購物價(jià)值為80元。第二次購物分兩種情況：第一種情況是不超過300元時(shí)，實(shí)際購物價(jià)值為252/0.9=280，又因?yàn)椋?0+280）×0.8=288，則應(yīng)該付款總額為288元；另一種情況是實(shí)際購物價(jià)值超過300元，則實(shí)際購物價(jià)值是252/0.8=315，又因?yàn)椋?0+315）×0.8=316，所以應(yīng)付款總額為316元。由此可得如果王波一次性購買與上兩次相同的商品，付款金額為288元或316元。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要轉(zhuǎn)變教育思想，努力創(chuàng)新教育方式，在課堂中不斷滲透分類討論的思想，在課后習(xí)題中加強(qiáng)分類討論思想的深化和運(yùn)用，這樣才能幫助學(xué)生培養(yǎng)正確的分類討論思想，使其在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠更加輕松。并且，分類討論的思想也幫助學(xué)生們開拓了學(xué)習(xí)的思維，培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和全面的思考方式，使其在以后的學(xué)習(xí)和生活中能夠受益終生。

作者單位 甘肅省平?jīng)鍪腥A亭縣皇甫學(xué)校

編輯 張曉楠