張婷玉　胡揚(yáng)洋　鄭　旭

(1. 北京市陳經(jīng)綸中學(xué)本部初中,北京　100020;2. 首都師范大學(xué)教育學(xué)院,北京　100048;3. 北京市第三十五中學(xué),北京　100032)

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·實(shí)驗(yàn)研究·

“籃球落地”原始問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)與理論探究

張婷玉1胡揚(yáng)洋2鄭旭3

(1. 北京市陳經(jīng)綸中學(xué)本部初中,北京100020;2. 首都師范大學(xué)教育學(xué)院,北京100048;3. 北京市第三十五中學(xué),北京100032)

摘要：針對(duì)全國(guó)物理高考命題委員會(huì)曾進(jìn)行的高考物理科研試題測(cè)試中的“籃球落地”原始問(wèn)題,筆者采用DIS系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究,并基于彈簧振子模型給出了理論解釋,最后對(duì)研究結(jié)果與過(guò)程進(jìn)行了討論.

關(guān)鍵詞：籃球落地;原始問(wèn)題;物理模型;傳感器

1“籃球落地”問(wèn)題的提出

全國(guó)物理高考命題委員會(huì)曾在國(guó)內(nèi)部分高中進(jìn)行過(guò)高考物理科研試題測(cè)試,題目如下:

一籃球自某一高度自由下落,撞到地面后又彈起,升到一定高度后又自由下落,以后又彈起、下落,一次又一次,直至籃球靜止.試定性畫出在整個(gè)過(guò)程中籃球的加速度a隨時(shí)間t的變化圖線.

對(duì)該題,命題委員會(huì)給出的“正確答案”如圖1所示.并且測(cè)試結(jié)果顯示,本題的得分率相當(dāng)?shù)?只有6%.多數(shù)學(xué)生對(duì)碰撞過(guò)程中加速度的變化不清楚,也不會(huì)用圖線表示加速度的變化.

圖1

我們認(rèn)為,由于該題目沒(méi)有提供任何數(shù)據(jù),并且還需要對(duì)圖像的諸多要素進(jìn)行綜合考慮,所以對(duì)學(xué)生的識(shí)圖、繪圖能力提出了較高要求,這或許是得分率不高的主要原因.然而在等“面積”法、斜率、形狀等視角下很容易發(fā)現(xiàn),命題委員會(huì)所給的“正確答案”依然存在諸多模糊之處.其根本原因是沒(méi)有明確到底使用了什么模型,以及究竟經(jīng)歷了怎樣的物理過(guò)程.為明確這一問(wèn)題,我們進(jìn)行了研究.

2實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與檢驗(yàn)

首先,我們?cè)噲D通過(guò)實(shí)驗(yàn)描繪出籃球落地實(shí)際情況的圖線.由于籃球、網(wǎng)球等球類彈跳過(guò)程中的觸地時(shí)間非常短,所以實(shí)驗(yàn)選用氣球充入水模擬“籃球”.用力傳感器及朗威DIS系統(tǒng)采集數(shù)據(jù),得到“籃球”落地過(guò)程中,地表所受壓力-時(shí)間圖像如圖2所示,易知,其與籃球的加速度-時(shí)間圖像成幾何相似關(guān)系.

圖2

如圖2所示,圖線在諸多細(xì)節(jié)上與“標(biāo)準(zhǔn)答案”的圖線并不完全一致,整個(gè)過(guò)程的圖像雖然左半部分與命題委員會(huì)給出的“正確答案”吻合較好,但是右半部分有更加細(xì)致的特點(diǎn).此外,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明,“籃球”觸地過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)周期逐漸增大,這也同標(biāo)準(zhǔn)答案產(chǎn)生了明顯的矛盾.據(jù)此我們需要基于以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出籃球落地的數(shù)學(xué)表示.

3基于彈簧振子模型的理論解釋

3.1精確解釋

事實(shí)上,構(gòu)建模型充分體現(xiàn)了物理學(xué)的學(xué)科特色,而該題的特殊之處在于需要分別建立恰當(dāng)?shù)膶?shí)物模型和過(guò)程模型.綜合考慮,我們將籃球視為一個(gè)特殊的彈簧振子模型(如圖3所示),彈簧表征其彈性特征,振子表征其質(zhì)量特征.

圖3

在這一物理過(guò)程中,籃球之所以能逐漸靜止,是因?yàn)槠錂C(jī)械能在每次觸地過(guò)程中存在損失.然而要想描出加速度-時(shí)間圖像,僅有這樣的功能解釋是不夠的,必須具體到動(dòng)力學(xué)層面.為表征這一損失,我們首先做出一種假設(shè):每次彈跳中勁度系數(shù)不變,壓縮量發(fā)生“突減”.但是基于此做出的圖像結(jié)果會(huì)造成圖線在靠左的部分縱向無(wú)法收斂,因此舍棄了這一思路,選取了另一種假設(shè):我們認(rèn)為,彈簧振子在每次從最低點(diǎn)反彈的過(guò)程中,彈簧的勁度系數(shù)都會(huì)變小,這造成了彈簧“貯存”機(jī)械能的部分“失效”.依據(jù)這一模型的圖像如圖4所示.

圖4

如圖4所示,籃球由靜止開(kāi)始下落,加速度為g,從觸地開(kāi)始做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),直到壓縮至最低點(diǎn).在開(kāi)始反彈時(shí)刻,由于勁度系數(shù)突然變小,導(dǎo)致反彈過(guò)程中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的變化主要有:(1) 加速度的最大值變小(即加速度幅度變小);(2) 周期變長(zhǎng);(3) 平衡位置降低,使得振幅變小,且多個(gè)周期后可能無(wú)法彈起而只能在彈簧原長(zhǎng)以內(nèi)運(yùn)動(dòng).據(jù)此,反彈過(guò)程先做周期變長(zhǎng)、振幅變小的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),彈離地面后加速度為g,直到最高點(diǎn)靜止.至此,就完成了一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng).

圖線與橫軸圍成的“面積”表示速度,運(yùn)用“等面積”法可得:在一個(gè)周期內(nèi),“面積”s1=s2,s3=s4,且s2>s3.兩周期間則有s4=s5.基于以上認(rèn)識(shí),圖像才被足夠精確地描繪出來(lái),與原圖像對(duì)比可見(jiàn):(1) 雖然圖線的“平臺(tái)”部分不斷縮短,但是最后就會(huì)完全“退化”為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖像;(2) 圖線“谷”的部分雖然也不斷變“淺”,但是卻在不斷加寬,并且始終有在橫軸以下的部分；(3) 圖像的整體趨勢(shì)是不斷向橫軸靠近.至于圖像的“面積”、形狀等要素則是在原圖像中完全沒(méi)有考慮的.

3.2近似解釋

精確解釋下的一大缺點(diǎn)在于圖線在周期間的不連續(xù)性,這亦同實(shí)驗(yàn)圖像不符.為彌補(bǔ)這一缺陷,我們?cè)谏鲜鼍_解釋的基礎(chǔ)上給出一種近似解釋.

籃球與地面接觸發(fā)生碰撞壓縮過(guò)程中,在極短的時(shí)間內(nèi)地面給予籃球很大的沖量,其a-t圖像如同脈沖信號(hào)一般,則加速度在極短時(shí)間內(nèi)達(dá)到峰值,即圖像中相反方向有一尖端.圖線與橫軸圍成的“面積”表示速度的變化量,籃球的初始時(shí)刻的速度為零,籃球與地面碰撞速度變化量為零,即兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程a軸與t軸所圍成的“面積”和為零.籃球與地面接觸的極短時(shí)間內(nèi),近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其圖像為正弦曲線,因要達(dá)到與自由落體時(shí)間段內(nèi)相同的速度變化量,正弦曲線十分尖銳,故可以近似將壓縮與形變恢復(fù)過(guò)程a-t圖像“曲線改直”,看作一條直線.

最后,在籃球與地面接觸的極短時(shí)間內(nèi),其x-t、a-t圖像均為正弦曲線.如圖5所示是為兩個(gè)正弦曲線,分別表示籃球以不同速度撞地時(shí)的加速度時(shí)間圖像,顯然,籃球與地面的碰撞過(guò)程中,初速度越快,振幅大,恢復(fù)形變所用時(shí)間越短,即籃球與地面碰撞時(shí)間逐漸增加.我們之前對(duì)籃球與地面接觸的過(guò)程進(jìn)行了“曲線改直”處理,a-t圖像的正弦效應(yīng)很難辨別出來(lái).

圖5

綜合以上因素,得出籃球落地過(guò)程a-t圖像,如圖6所示:

圖6

如前所述,其中加速度與時(shí)間軸所圍成的“面積”s1=s2.并且始終有在橫軸以下的部分,圖像的整體趨勢(shì)是不斷向橫軸靠近.這一圖像較好實(shí)現(xiàn)了精確與近似的統(tǒng)一,并體現(xiàn)了與原答案圖像原則性的區(qū)別,因此可作為更好的“標(biāo)準(zhǔn)答案”.

4綜合討論

綜合上述工作,我們對(duì)整個(gè)過(guò)程進(jìn)行討論.

4.1對(duì)研究結(jié)果的物理討論

我們推導(dǎo)得出的圖線中存在斷點(diǎn),這表明了理論模型本身的缺陷.但是值得肯定的是,以上對(duì)“籃球落地”的數(shù)學(xué)解釋在整體趨勢(shì)上與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致,尤其在圖像左半部分成功地表征了實(shí)驗(yàn)圖像更加精細(xì)的特點(diǎn),但是在圖像右半部分,誤差被放大得更加顯著.這不禁使我們想到了物理學(xué)史上的黑體輻射實(shí)驗(yàn):對(duì)平衡時(shí)輻射能量密度按波長(zhǎng)分布的曲線,維恩公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合,而在長(zhǎng)波部分顯著不一致;瑞利-金斯曲線在長(zhǎng)波部分符合,而在短波部分不符.最終普朗克給出了符合較好的黑體輻射公式,成為重要的研究突破.對(duì)籃球落地問(wèn)題,如何提出在左右部分均匹配較好的數(shù)學(xué)表達(dá)式,就是進(jìn)一步研究的目標(biāo).

4.2對(duì)研究過(guò)程的教學(xué)討論

“籃球落地”問(wèn)題不僅是一道一般意義上的“圖像題”,而且被作為一道典型的原始物理問(wèn)題,這體現(xiàn)了雙重的教育價(jià)值.“籃球落地”問(wèn)題的正確解決需要綜合考慮圖像的斜率、形狀、“面積”等諸多要素,充分體現(xiàn)了圖像題的綜合性與深廣度.具體而言,物體圖像將需要符號(hào)推理獲得的信息一覽無(wú)余地呈現(xiàn),大量縮減了推理過(guò)程,因此可以極大地提高對(duì)物理內(nèi)涵的把握水平.因此,“籃球落地”圖像教學(xué)不僅調(diào)動(dòng)了學(xué)生思維的積極性,而且加強(qiáng)了思維方法的有效訓(xùn)練.其次教師進(jìn)行“籃球落地”問(wèn)題講解時(shí),要建立恰當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ秃瓦^(guò)程模型,這不僅需要高度的抽象概括思維方法、嚴(yán)密推理的邏輯思維方法,還需要形象思維的方法才能充分駕馭.綜上所述,“籃球落地”原始物理問(wèn)題由于具有生態(tài)性,還需要直覺(jué)、靈感思維的參與,因此可以實(shí)現(xiàn)對(duì)思維方法更加積極、完備的訓(xùn)練,值得在教學(xué)時(shí)加以選用.

參考文獻(xiàn)：

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