北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)（100176）張宏偉（特級教師）

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小學(xué)數(shù)學(xué)課程和教學(xué)跨領(lǐng)域整合的探索

北京亦莊實(shí)驗(yàn)小學(xué)（100176）張宏偉（特級教師）

［摘要］對數(shù)學(xué)課程和教學(xué)跨領(lǐng)域整合的意義進(jìn)行界定，并從“數(shù)學(xué)跨學(xué)科方面（如科學(xué)、戲劇、文學(xué)、藝術(shù)等）整合”“數(shù)學(xué)內(nèi)部各領(lǐng)域的整合”“數(shù)學(xué)與日常生活現(xiàn)實(shí)的整合”“數(shù)學(xué)與環(huán)境、社區(qū)、場館、技術(shù)、媒體等方面的整合”四個(gè)維度，通過大量、典型的實(shí)踐案例及其整合的現(xiàn)實(shí)意義，探索一些跨領(lǐng)域進(jìn)行課程建設(shè)和教學(xué)的操作范式。

［關(guān)鍵詞］跨領(lǐng)域整合小學(xué)數(shù)學(xué)課程建設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)

一、論題的意義界定——為什么是跨領(lǐng)域，而不是跨學(xué)科？

百度百科上對“領(lǐng)域”這個(gè)概念的解釋有三種：第一，指領(lǐng)土、領(lǐng)海、領(lǐng)空、駐外使館等國家主權(quán)管轄下的所有區(qū)域；第二，指意識形態(tài)或社會活動的范圍，如思想領(lǐng)域、學(xué)術(shù)領(lǐng)域、生活領(lǐng)域、科學(xué)領(lǐng)域、人文領(lǐng)域等；第三，指某一學(xué)科分類劃分后，對應(yīng)的各部分就叫做某某領(lǐng)域。第一種解釋說明“領(lǐng)域”包括了所有的地方和空間；第二種解釋則說明“領(lǐng)域”包括人文和科學(xué)、思想、學(xué)術(shù)、生活等人的思想與認(rèn)識的所有領(lǐng)域，它的外延大于并包括了學(xué)科；第三種解釋的外延又小于學(xué)科，指的是學(xué)科內(nèi)的各部分。

因此，小學(xué)數(shù)學(xué)課程和教學(xué)的跨領(lǐng)域整合應(yīng)界定為跨越和整合人文與科學(xué)領(lǐng)域，跨越和整合不同的空間、不同的生活、不同的思想與認(rèn)識，以及數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的各部分來進(jìn)行數(shù)學(xué)課程建設(shè)和教學(xué)。它是小學(xué)數(shù)學(xué)課程建設(shè)和教學(xué)的一種理念、一種策略、一種方式，外延應(yīng)包括數(shù)學(xué)內(nèi)部領(lǐng)域的整合、跨學(xué)科的整合，以及數(shù)學(xué)與環(huán)境、生活、技術(shù)、媒體、社區(qū)等各種社會資源的整合，比跨學(xué)科整合的范圍更廣，涵蓋更完整、更全面。

二、跨領(lǐng)域整合數(shù)學(xué)課程和教學(xué)的實(shí)踐

（一）跨學(xué)科的整合

我是一位全課程包班教師，兼任數(shù)學(xué)、體育、科學(xué)和戲劇四門學(xué)科的教學(xué)。我成為包班教師之后，最大的改變是開始全面地關(guān)注各學(xué)科和看待每一個(gè)學(xué)生，開始真正基于全面育人的理念，對各學(xué)科進(jìn)行整合。

1.數(shù)學(xué)與科學(xué)的整合

眾所周知，數(shù)學(xué)是科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)和工具，這兩個(gè)學(xué)科的聯(lián)系最為密切。于是我首先嘗試開發(fā)合適的項(xiàng)目，讓科學(xué)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情境和載體，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)學(xué)科的整合。如二年上學(xué)期，我開發(fā)“杠桿的秘密”這個(gè)項(xiàng)目課程，課程的建設(shè)情況和實(shí)施過程如下。

（1）校園。

活動①：午飯后帶學(xué)生到操場上進(jìn)行掀石板比賽。

活動②：讓學(xué)生用磚頭做支點(diǎn)，用木棍撬石頭，并不斷變換支點(diǎn)的位置，多次進(jìn)行撬動的體驗(yàn)。

上述兩個(gè)活動可以讓學(xué)生體驗(yàn)到杠桿省力，發(fā)現(xiàn)支點(diǎn)位置和用力大小的關(guān)系。

活動③：體育課變換花樣玩蹺蹺板，即兩邊的學(xué)生變換位置體驗(yàn)、兩邊坐不同體重的學(xué)生體驗(yàn)、兩邊坐不同人數(shù)的學(xué)生體驗(yàn)……在玩的過程中，我讓學(xué)生思考和比較：“和撬石板比，什么相當(dāng)于石板？什么相當(dāng)于支點(diǎn)？什么相當(dāng)于撬棍？什么相當(dāng)于撬的人？”通過問題，讓學(xué)生再次感受和思考兩邊重量與力臂之間的關(guān)系。

（2）課堂。

活動①：小組合作組裝杠桿并調(diào)平衡。

活動②：試著掛砝碼，并且使杠桿兩邊平衡。

活動③：觀察并記錄每次杠桿平衡時(shí)兩邊的刻度讀數(shù)和砝碼個(gè)數(shù)，研究其中的奧秘。

活動結(jié)果：

學(xué)生的創(chuàng)意和研究結(jié)果讓我震驚！在我的記憶里，杠桿原理是阻力×阻力臂=動力×動力臂，所以腦海里一直浮現(xiàn)一個(gè)力乘一個(gè)距離=另一個(gè)力乘另一個(gè)距離。但是，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)完全顛覆了我?guī)资陙韺Ω軛U原理的認(rèn)識，給我打開了一扇新的窗戶！學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)在杠桿左右兩邊各放一組砝碼的內(nèi)在規(guī)律，即左邊砝碼數(shù)量×左邊距離=右邊砝碼數(shù)量×右邊距離，還創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)了杠桿兩邊放多組砝碼的規(guī)律。例如，在杠桿左邊刻度5和刻度10兩處各掛兩個(gè)砝碼，右邊刻度4處掛五個(gè)砝碼，刻度10處掛一個(gè)砝碼，則杠桿左右平衡，因?yàn)?×2+10× 2=30、4×5+10×1=30。從乘法等式拓展到乘加等式，這是我從來都沒有想到過的。

活動④：寫自己創(chuàng)造的掛法，并與親人、伙伴分享。讓學(xué)生從具體操作上升到圖上的想象、創(chuàng)造和表達(dá)，避免出現(xiàn)完全依靠思考和計(jì)算完成平衡的問題，并在交流中進(jìn)一步理解和加深對杠桿原理、乘法的認(rèn)識。

活動⑤：溝通和分析。

讓學(xué)生集體討論、分析和分享：A.左右兩邊都是12，各放一個(gè)砝碼如何思考；B.觀察等式兩邊表示砝碼數(shù)量和刻度的因數(shù)的變化規(guī)律；C.左邊放好砝碼后，右邊應(yīng)放幾組砝碼，放在哪里？

通過問題的研究，既溝通杠桿中砝碼、距離的變化、平衡與乘法算式中因數(shù)、因數(shù)、積之間的聯(lián)系，又溝通乘法、乘加、乘減和除法之間的關(guān)系。

（3）家庭和社區(qū)。

活動①：觀察和發(fā)現(xiàn)家里、社區(qū)中，哪些地方、做哪些事用到了杠桿原理。

活動②：兩項(xiàng)選修（研究成果自愿在午間的“數(shù)學(xué)講堂”中和同學(xué)們分享）。

選修A：利用杠桿原理試做桿秤，研究桿秤的使用原理。

選修B：上網(wǎng)、參觀科技館、閱讀課外書，對杠桿原理進(jìn)一步研究。

現(xiàn)在我們回過頭來反思和追問：這個(gè)課程費(fèi)了這么大的“周折”，對學(xué)生而言是不是促進(jìn)了知識的學(xué)習(xí)、技能的掌握、思維的訓(xùn)練及對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解呢？是不是增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光和意識？對科學(xué)而言，是不是了解了科學(xué)的現(xiàn)象，初步感悟到科學(xué)的規(guī)律及其背后的本質(zhì)，增強(qiáng)了科學(xué)的意識呢？答案是肯定的！

我認(rèn)為本課程的設(shè)計(jì)至少達(dá)到以下幾個(gè)方面的目標(biāo)：第一，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)（訓(xùn)練）目標(biāo)，即鞏固練習(xí)乘法，引出乘加、乘減、和除法，并進(jìn)行學(xué)習(xí)和探究；第二，引入左右兩邊相等的算式，這其實(shí)是在進(jìn)行相等關(guān)系建立的訓(xùn)練，有效地為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)方程的本質(zhì)積累實(shí)際經(jīng)驗(yàn)；第三，為積不變的規(guī)律提供一個(gè)現(xiàn)實(shí)的模型，使學(xué)生積累相應(yīng)的活動經(jīng)驗(yàn)；第四，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)、科學(xué)之間的聯(lián)系，有利于他們數(shù)學(xué)的科學(xué)意識、科學(xué)的數(shù)學(xué)意識的建立，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力；第五，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)——發(fā)現(xiàn)問題——猜想——驗(yàn)證——形成結(jié)論——創(chuàng)造性應(yīng)用”這個(gè)發(fā)現(xiàn)杠桿奧秘的全過程，不僅超標(biāo)準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)，而且積累了科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般經(jīng)驗(yàn)；第六，開闊學(xué)生的視野，使他們多方面的素養(yǎng)得到提高。

現(xiàn)在很多學(xué)校都還沒有實(shí)行包班制，數(shù)學(xué)教師往往只擔(dān)任數(shù)學(xué)教學(xué)，怎么辦呢？我認(rèn)為可從以下兩個(gè)層面著手：一是學(xué)校層面，要基于“全人”和“全課程”的教育理念進(jìn)行課程的系統(tǒng)規(guī)劃與重構(gòu)；二是教師層面，做法是和配班的其他學(xué)科教師協(xié)同教學(xué)，一起規(guī)劃和研究，突破學(xué)科界限，對“我中有你，你中有我”的內(nèi)容進(jìn)行整合，避免重復(fù)。如果還是不行，退而求其次，憑一己之力也可把生活中常見的、常用的、適合學(xué)生的科學(xué)現(xiàn)象作為數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行教學(xué)，在樹立數(shù)學(xué)的理性精神的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，教師何樂而不為呢？

2.數(shù)學(xué)與戲劇的整合

所謂數(shù)學(xué)課程和教學(xué)的戲劇化，是指借鑒戲劇藝術(shù)的原理和表現(xiàn)手法，運(yùn)用戲劇與劇場的一些技巧，在教師有計(jì)劃的引導(dǎo)與設(shè)計(jì)之下，師生一起對數(shù)學(xué)的課程和教學(xué)進(jìn)行戲劇化的藝術(shù)加工，使數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容、學(xué)習(xí)活動等，具有戲劇性的動作、沖突、情境、意象、場面等元素，產(chǎn)生像戲劇一樣的夸張效果，并以創(chuàng)造性戲劇、即興演出、角色扮演、模仿、故事、偶戲、啞劇和游戲等方式，進(jìn)行演繹的課程建設(shè)方式和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。簡言之，就是戲劇化地編設(shè)數(shù)學(xué)課程，戲劇化地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（1）創(chuàng)編微型數(shù)學(xué)戲劇課程，進(jìn)行數(shù)學(xué)的戲劇化教學(xué)。

微型數(shù)學(xué)戲劇以數(shù)學(xué)小品劇居多，類似于微視頻、微課程。教學(xué)中的重、難點(diǎn)都可以用微型戲劇的方式，即以演繹微型戲的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。它能收到角色認(rèn)同和身臨其境的效果，讓學(xué)生在浪漫而理性、真切而濃烈的氛圍中，深度投入、深度參與、深度理解，牢固掌握所學(xué)知識。這樣的戲劇一般安排在學(xué)生獨(dú)立思考和研究及同伴交流之后為宜，以免影響學(xué)生的自主探究、獨(dú)立思考和創(chuàng)新。目前，我們師生已經(jīng)編排、演出了10個(gè)微型戲劇。這里，詳細(xì)介紹一下“五‘長’論親疏”的微型戲劇。這是一出“手指上的戲劇”，主要為了解決長度單位間的進(jìn)率及其換算的難點(diǎn)問題。學(xué)生人人積極參與，先自己編出長度單位的戲劇情節(jié)，然后在實(shí)物投影儀上“演出”，并自己配音解說。通過戲劇的創(chuàng)作、表演和欣賞，全體學(xué)生都生動形象地理解、記住了這五種長度單位間的所有進(jìn)率關(guān)系。

下面的作品是其中一位表演者的父親，根據(jù)孩子在課堂上表演的視頻整理的。

劇情：

拇指（老大千米）：“我跟大家介紹一下自己，我叫千米，英文名叫km，是一個(gè)較大的長度單位，主要用來測量路程的。另外，我還有一個(gè)名字叫公里。（看了一下其他四個(gè)小弟）他們四個(gè)小毛孩又在嘰嘰喳喳，竟敢在背地里議論我！”

拇指（老大千米）：“嗨，你們幾個(gè)在干嗎？安靜點(diǎn)，再聽到你們吵吵鬧鬧，我就會教訓(xùn)你們，現(xiàn)在是我的天下，我說了算！”（老大千米說完就彎下腰，睡覺了）

小指（老五毫米）仗著自己的個(gè)子最小，偷偷試著扎了老大千米一下?！鞍。l敢動我，不想活了？”老大千米把其他四個(gè)小弟挨個(gè)兒敲了一遍，又彎下腰，睡著了。

老五毫米聽到老大千米、老二米、老三分米和老四厘米都打起了呼嚕，就大膽地嘮叨起來：“他們都在睡覺，平時(shí)我最小，現(xiàn)在該我當(dāng)家了，我來算算自己什么時(shí)候能變成老四。有了，我湊十個(gè)就能變成老四厘米，湊一百個(gè)就能變成老三分米，湊一千個(gè)就能變成老二米，湊100萬個(gè)就能變成老大千米哈哈，現(xiàn)在我當(dāng)家了……”

“嗨，你這個(gè)小毛孩在這得瑟什么呀！還想十個(gè)湊成我，去、去、去，一邊去。我來給大家介紹一下，我的中文名字叫厘米，英文名叫cm。哈哈，老大千米、老二米和老三分米都睡著了，就剩毫米這個(gè)小毛孩，現(xiàn)在是我當(dāng)家了。”無名指（老四厘米）說道。這時(shí)老五毫米也不甘示弱，嚷道：“我當(dāng)家！”

這時(shí)，老三分米被吵醒了。老三分米說：“你們兩個(gè)不好好睡覺，吵什么呀！有我在，你們當(dāng)什么家？臺下的觀眾，自我介紹下，我叫分米，英文叫dm，是老四厘米的十倍、老五毫米的一百倍，他們兩個(gè)小毛孩講的都不要當(dāng)真?，F(xiàn)在，我才是當(dāng)家的！”

“嗨喲，你說誰是小毛孩呀？你再這么說我們，小心我告訴二哥米、大哥千米去……”老四厘米和老五毫米一起說道。

“誰這么吵呀？”老二米打了個(gè)哈欠站起來問道。老三分米、老四厘米、老五毫米一起說道：“米二哥醒了，失敬失敬，我們得罪了?！?/p>

“你們幾個(gè)真能鬧，走開！大家好，我介紹下，我的名字叫米，英文名叫m，是長度單位中最簡單的名字。我是老三分米的十倍，老四厘米的百倍，老五毫米的千倍。你們就不要告訴大哥千米，讓他好好睡覺，永遠(yuǎn)都別起來。我最有資格做老大，你們?nèi)慷家犖业模　?/p>

“米！你竟敢在這里充老大，不想混了！”老大千米狠狠教訓(xùn)了米兩下?！坝^眾朋友們，我才是這里的老大。你看，我的身材跟他們比差多少！我讓大家猜一下，我能抵多少個(gè)老二米、多少個(gè)老三分米、多少個(gè)老四厘米、多少個(gè)老五毫米呢？”

……

（2）創(chuàng)編大型數(shù)學(xué)戲劇課程，進(jìn)行戲劇化數(shù)學(xué)教學(xué)。

創(chuàng)編大型數(shù)學(xué)戲劇主要是為了展示一個(gè)系列知識（一般為一個(gè)單元或幾個(gè)連續(xù)單元）的邏輯結(jié)構(gòu)關(guān)系，或者展示一個(gè)核心知識模塊的形成、衍化和發(fā)展過程，或者展示數(shù)學(xué)循環(huán)上升期中發(fā)生質(zhì)的轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵點(diǎn)。針對這些內(nèi)容，教師可預(yù)先設(shè)計(jì)連續(xù)、豐富的情境和沖突，運(yùn)用道具、場景、動作、意向等，精心編排大型的創(chuàng)造性數(shù)學(xué)戲劇。

如“10～20的認(rèn)識”是學(xué)生認(rèn)識數(shù)的一個(gè)質(zhì)變點(diǎn)，編排大型數(shù)學(xué)戲劇“數(shù)和十進(jìn)制的產(chǎn)生”，可以很好地實(shí)現(xiàn)學(xué)生親身經(jīng)歷創(chuàng)造位值制和十進(jìn)制的過程，完善學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識。

序幕：

我的疑問：數(shù)是誰創(chuàng)造的？什么時(shí)候創(chuàng)造的？世界各地的數(shù)都是一樣的嗎？為什么滿十進(jìn)一……

第一幕第三場：原始人狩獵和采摘中的以物計(jì)物（石子計(jì)數(shù)）→結(jié)繩計(jì)數(shù)→刻痕計(jì)數(shù)。

第二幕第六場：古代埃及|古代巴比倫|古代中國|古代羅馬|古代阿拉伯|古印度，介紹一符對一數(shù)的計(jì)數(shù)情況。

第三幕第三場：核心內(nèi)容為十進(jìn)制的產(chǎn)生，分為手指計(jì)數(shù)（體驗(yàn)十進(jìn)制和以一當(dāng)十）、用更少的石子計(jì)更多和更大的數(shù)（體驗(yàn)位值制產(chǎn)生的必要性）及求簡的思想、現(xiàn)代的自然數(shù)。

尾聲：媒體快速展示數(shù)的變遷過程、數(shù)的應(yīng)用和未來。

……

從上述案例可以看出，大型數(shù)學(xué)戲劇的核心目標(biāo)是讓學(xué)生通過持續(xù)的角色扮演、與其他角色的對戲，親身“演出”數(shù)學(xué)的思維過程和數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造與形成過程，系統(tǒng)、充分地建立各個(gè)知識點(diǎn)間的聯(lián)系，形成完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而有效地促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識、理解和掌握，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（3）創(chuàng)編非正式戲劇課程，進(jìn)行非正式戲劇化數(shù)學(xué)教學(xué)。

所謂非正式戲劇化，是指在日常教學(xué)中，把數(shù)學(xué)中一些常規(guī)、常態(tài)的教學(xué)內(nèi)容和活動片段，用夸張、擬人或比喻的方式進(jìn)行加工，使其具有像戲劇一樣的夸張效果，就是通常所說的戲劇化。這種非正式數(shù)學(xué)戲劇化案例，很多是課堂教學(xué)過程中自然生成的。非正式戲劇化是數(shù)學(xué)課程和教學(xué)戲劇化最常用、最便捷的方式。

案例A：極度夸張

案例B：童話般擬人

學(xué)習(xí)商中間有0的除法后，在比較804÷4和704÷4時(shí)，我用童話的策略、擬人的手法，扮演704中的0，憤憤不平地向?qū)W生提意見、抱怨：“804÷4，除到0就直接商0，我也在中間，怎么就不能直接商0呢？太不公平了，我不服！”學(xué)生馬上自覺地進(jìn)行角色認(rèn)同，把自己當(dāng)成804中的0進(jìn)行反擊和理論。

如此長期進(jìn)行戲劇化熏陶，不僅使學(xué)生戲劇化的意識和能力越來越強(qiáng)，開始自覺地對數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行戲劇化的解釋和演繹，而且增強(qiáng)了學(xué)生和數(shù)學(xué)、生生之間及師生之間的聯(lián)系。

3.數(shù)學(xué)與文學(xué)、藝術(shù)等領(lǐng)域的整合

2015年9月15日，國務(wù)院辦公廳公布了《國務(wù)院辦公廳關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)學(xué)校美育工作的意見國辦發(fā)〔2015〕71號》，再一次強(qiáng)調(diào)“將美育貫穿在學(xué)校教育的全過程和各方面，滲透在各個(gè)學(xué)科之中”。因此，我在課程的編制和教學(xué)中，非常重視數(shù)學(xué)與文學(xué)、藝術(shù)的整合，旨讓學(xué)生在感悟數(shù)學(xué)本身的形式、簡潔和神奇之美的同時(shí)，體會到數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用和價(jià)值。

例如，教學(xué)“對稱”這部分內(nèi)容時(shí)，我創(chuàng)編了一個(gè)集數(shù)學(xué)、文學(xué)、音樂和美術(shù)于一體的“對稱長時(shí)段”課程（當(dāng)時(shí)二十多位來自國培班的校長觀摩了這節(jié)課），其中的兩個(gè)課時(shí)分別安排為欣賞課和創(chuàng)作課。欣賞課中，我先讓學(xué)生分享和欣賞自己搜集的素材——大自然和生活中各種美麗的對稱事物與現(xiàn)象（含音律的對稱），然后引領(lǐng)學(xué)生欣賞了回文詩、回文句、回文聯(lián)、回文數(shù)。如下：

這個(gè)項(xiàng)目課程成功溝通了文學(xué)、藝術(shù)與數(shù)和計(jì)算之間的聯(lián)系，使學(xué)生“看”到藝術(shù)美背后的共性規(guī)律和支撐——數(shù)學(xué)，初步感悟到“科學(xué)的、美的事物，它一定是數(shù)學(xué)的”。

又如，“音樂盒的秘密”項(xiàng)目課程，把數(shù)學(xué)中的“按比例分配”內(nèi)容和音樂、科學(xué)整合在一起。我先讓學(xué)生找來橡皮筋和鐵盒，把橡皮筋套在鐵盒上后，任選一點(diǎn)，把橡皮筋分成左右兩段，然后彈撥這兩段橡皮筋，聽兩邊發(fā)出的聲音是否和諧、好聽。活動中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對聲音的感覺是非常敏銳的，都體驗(yàn)到了找和諧分配點(diǎn)的成功和美好。然后我讓學(xué)生測量別人盒子上橡皮筋的長度，并按照標(biāo)準(zhǔn)比例進(jìn)行分配、試聽。這樣教學(xué)，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又把按比例分配的學(xué)習(xí)寓于操作活動之中，使學(xué)生體會到“美的、科學(xué)的，一定是數(shù)學(xué)的”。

（二）數(shù)學(xué)內(nèi)部各領(lǐng)域的整合

基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)，不僅需要調(diào)動不同學(xué)科的知識，而且需要調(diào)動數(shù)學(xué)內(nèi)部不同領(lǐng)域的知識來共同解決問題。這樣利于在研究中溝通數(shù)學(xué)自身數(shù)、形、統(tǒng)計(jì)等多個(gè)領(lǐng)域之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)部領(lǐng)域的整合。

1.新授時(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)部領(lǐng)域的整合

對于傳統(tǒng)的、常規(guī)性的新授內(nèi)容，我們要再次審視和尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，思考、尋覓和開發(fā)合適的項(xiàng)目，努力嘗試把原來不好溝通的知識點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系，把原來還沒有注意到的關(guān)系發(fā)掘出來，建立新的連接。同時(shí)，依據(jù)發(fā)掘到的新聯(lián)系，把各領(lǐng)域、各知識點(diǎn)進(jìn)行創(chuàng)造性的調(diào)整、整合和系統(tǒng)化，發(fā)揮系統(tǒng)化的高效能，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

例如，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”（以32×12為例）的內(nèi)容，傳統(tǒng)的教材編排往往局限在數(shù)與代數(shù)的領(lǐng)域之中，算理和算法的闡釋與演繹只單純地在數(shù)和數(shù)的關(guān)系上進(jìn)行編制與運(yùn)作。我在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)乘法筆算的新的連接方式，開發(fā)了另辟蹊徑的“形算”課程，引入指算、巧算、畫線算（鋪地錦）、方格算、十字相乘法等，把“形”充分地整合了進(jìn)來。如下圖：

在這個(gè)過程中，學(xué)生不斷結(jié)合方格解釋兩個(gè)因數(shù)和積的現(xiàn)實(shí)意義，對長、寬和包含方格的個(gè)數(shù)積累了豐富的感性認(rèn)識，為后續(xù)學(xué)習(xí)的知識——面積，做好了充分的準(zhǔn)備。

這個(gè)項(xiàng)目課程的編制和教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部“數(shù)與代數(shù)”與“圖形與幾何”兩個(gè)領(lǐng)域的整合，為學(xué)生打開了計(jì)算之門，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生感受到計(jì)算的過程和表達(dá)也可以很形象、很奇妙、很好玩……

2.復(fù)習(xí)和綜合應(yīng)用中的整合

“實(shí)踐與應(yīng)用”是新課標(biāo)安排的綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)各領(lǐng)域知識的重要路徑和內(nèi)容。因此，教師一定要自覺加大這部分內(nèi)容的分量和實(shí)施力度，并參照其他素材，創(chuàng)造性地開發(fā)新的整合數(shù)學(xué)內(nèi)部各個(gè)領(lǐng)域的綜合實(shí)踐活動課程，以提升學(xué)生的綜合應(yīng)用能力、實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)整體的理解和認(rèn)識。例如，教學(xué)“不一樣的測算”時(shí)，我讓學(xué)生自己突破傳統(tǒng)的思維定式，學(xué)會利用一些工具和外部的事物去找到新的方法，并感悟到問題解決了，思考不能停止。這樣教學(xué)，使學(xué)生既鞏固了知識，增強(qiáng)了智力，又拓展了視野，生長了慧根。

（三）數(shù)學(xué)與日常生活現(xiàn)實(shí)的整合

根據(jù)懷德海的教育理論，精致的學(xué)習(xí)一定是建立在整體與大量的浪漫、感性和模糊的基礎(chǔ)之上的。很多知識在精致學(xué)習(xí)時(shí)遇到的困難，大都因?yàn)槔寺A段的積累和體驗(yàn)不充分。與生活現(xiàn)實(shí)整合的目的，就是讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更全面、更充分，更徹底地回歸學(xué)生的日常生活，使學(xué)生在生活中解決自然發(fā)生的真實(shí)問題。

案例：“認(rèn)識人民幣”的教學(xué)

去年，我去一個(gè)《當(dāng)代教育家》的實(shí)驗(yàn)校進(jìn)行指導(dǎo)，該校的數(shù)學(xué)學(xué)科主任問我：“張老師，一年級‘認(rèn)識人民幣’的內(nèi)容教材上安排了5個(gè)課時(shí)，我們教了8天，效果還是很不好，這節(jié)課到底該怎么教呢？”我說：“這個(gè)內(nèi)容不是靠幾天的集中教學(xué)學(xué)生就能學(xué)好的，其實(shí)絕大多數(shù)內(nèi)容都是這樣。”然后，我給他們介紹了自己教學(xué)“認(rèn)識人民幣”一課的過程。

當(dāng)時(shí)，“認(rèn)識人民幣”的內(nèi)容安排在教材的第五單元，但是在開學(xué)的第一周，我就在班級里開設(shè)了“星星超市”，讓學(xué)生做起了真買賣。錢盒子里放了各種不同版本、不同面額的人民幣，學(xué)生可以隨時(shí)、任意把玩，同時(shí)買賣任何物品都要自己登記數(shù)量、單價(jià)、總價(jià)及使用了哪些面額的硬幣和紙幣。一開始是我和學(xué)生一起當(dāng)營業(yè)員，然后是學(xué)生自己輪流當(dāng)營業(yè)員。到學(xué)習(xí)第五單元的“認(rèn)識人民幣”時(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果自然很好。

除此之外，每個(gè)周末，我還安排學(xué)生和家長一起出去購物一次。周末購物的要求和在班級里買東西的要求不同，班級里的買東西沒有任何認(rèn)識人民幣的任務(wù)，只是常態(tài)熏染，但是和家長一起出去購物，我要求學(xué)生在家長的協(xié)助下，每周有重點(diǎn)地認(rèn)識一種人民幣。如第一周獎勵1元的紙幣和硬幣讓學(xué)生自主支配，但學(xué)生要完成研究它的任務(wù)，包括認(rèn)清它的長相、知道它能買哪些東西、了解它和角的換算關(guān)系等；第二個(gè)周末認(rèn)識2元；第三個(gè)周末認(rèn)識10元……這樣在生活中不斷地未學(xué)先用、邊用邊學(xué)，半個(gè)多學(xué)期下來，再來學(xué)習(xí)“認(rèn)識人民幣”時(shí)，學(xué)生就非常輕松和容易了。學(xué)生在這種長期的體驗(yàn)中，不僅認(rèn)識了人民幣，學(xué)會了人民幣的簡單兌換，而且親身經(jīng)歷了購物的過程，積累了真切的體驗(yàn)，感受到了學(xué)習(xí)人民幣的價(jià)值。除此之外，每個(gè)學(xué)生都能認(rèn)識到1元錢的價(jià)值到底是多少，即1元錢能購買到哪些物品，這是課堂上教師教不出來的，只有在實(shí)際生活中才能真切體驗(yàn)到。

像這樣的內(nèi)容有很多，如測量、長度單位、質(zhì)量單位、24時(shí)計(jì)時(shí)法、方向與位置、圖形的初步認(rèn)識、折扣等，都可以這樣的方式來進(jìn)行教學(xué)。如果我們教師把這些內(nèi)容堅(jiān)持在生活中進(jìn)行長期滲透的話，就會發(fā)現(xiàn)很多知識像孩子學(xué)習(xí)母語一樣，根本不需要我們?nèi)ソ毯⒆泳蜁?，需要的只是時(shí)間。

（四）數(shù)學(xué)與環(huán)境、社區(qū)、場館、技術(shù)、媒體等的整合

隨著科學(xué)技術(shù)的日益發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與環(huán)境、社區(qū)、媒體、技術(shù)等的關(guān)系越來越密切。很多學(xué)生每天放學(xué)后上托管班，周末上培訓(xùn)學(xué)校，云學(xué)校、APPT、可汗學(xué)院等在線學(xué)習(xí)資源鋪天蓋地襲來……這些都讓學(xué)校數(shù)學(xué)教育的圍墻不斷坍塌，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教育越來越自由、越來越豐富、越來越開放。如何整合好這些資源，是學(xué)校，同時(shí)也是每位數(shù)學(xué)教師必須面對和研究的課題。

我在教學(xué)中嘗試整合四方（學(xué)生、家長、托管教師和我）的力量，來協(xié)同完成教學(xué)。為此，我專門召開四方會議，建立“托管生四次元群”，以便四方及時(shí)與孩子溝通、協(xié)作。

除此之外，我還經(jīng)常在網(wǎng)上尋找相關(guān)資源（如可汗學(xué)院、APP課程、閱讀書目、數(shù)學(xué)繪本和數(shù)學(xué)電影等）推薦給學(xué)生，讓學(xué)生提前自學(xué)、復(fù)習(xí)或欣賞；帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入本區(qū)的牛奶廠紙箱生產(chǎn)車間去參觀和學(xué)習(xí)，研究長、正方體的表面積；把學(xué)生帶到路上進(jìn)行繩測、步測和目測；把學(xué)生帶到田地里計(jì)算土地的面積和收成；聯(lián)系銀行工作人員到學(xué)?，F(xiàn)場給學(xué)生開存單，讓他們計(jì)算利息……這樣做的最終目的是盡己所能，整合所有的教育力量，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)和成長。

三、幾點(diǎn)強(qiáng)調(diào)和說明

一是在實(shí)際的課程建設(shè)和教學(xué)過程中，以上幾種跨領(lǐng)域常常是難以分割、綜合在一起的。

例如，在上述教學(xué)“認(rèn)識時(shí)間”中，既讓學(xué)生了解了小時(shí)的由來、古今中外各種不同的計(jì)時(shí)方法及其簡要的發(fā)展過程，觀測日月星辰，考察研究日晷（北京20余處，可以任選一處或者幾處），并動手進(jìn)行“燃香計(jì)時(shí)”和“自制滴漏”“日晷”等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，又在某種程度上和天文、地理、歷史等學(xué)科進(jìn)行了整合。

又如，上述的項(xiàng)目課程“杠桿里的秘密”，其實(shí)已經(jīng)覆蓋了數(shù)學(xué)、科學(xué)、體育等學(xué)科知識，初步實(shí)現(xiàn)了各種現(xiàn)實(shí)的整合。

二是不論何種整合，教師都要對學(xué)習(xí)的目標(biāo)、課程、課時(shí)等全面統(tǒng)籌、細(xì)致分析和系統(tǒng)規(guī)劃，科學(xué)、合理地進(jìn)行設(shè)計(jì)，切記“眉毛胡子一把抓”，削弱了各學(xué)科的核心知識和本質(zhì)。

三是目前的探索和嘗試還是局部的、點(diǎn)狀的，需要深入思考和架構(gòu)完整的跨領(lǐng)域整合體系。

（責(zé)編杜華）

［中圖分類號］G623.5

［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A

［文章編號］1007-9068（2016）11-010