劉天添，　戚承志，　陳昊祥，　楊謹瑞

(北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院 北京市高校工程結(jié)構(gòu)與新材料工程研究中心， 北京　100044)

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海底隧道地震動力響應(yīng)研究

劉天添，戚承志，陳昊祥，楊謹瑞

(北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院 北京市高校工程結(jié)構(gòu)與新材料工程研究中心， 北京100044)

摘要：高水壓作用下海底隧道的地震動力響應(yīng)是一個需要深入研究的問題. 基于Winkler地基模型，利用動力平衡條件和微分關(guān)系推導(dǎo)出了僅由彎曲引起的梁振動方程，利用分離變量法求得了海底隧道的振型和自振頻率，并推導(dǎo)出了地震作用下海底隧道與地基之間的動力相互作用系數(shù)以及隧道結(jié)構(gòu)位移表達式. 通過算例計算研究了水壓對于結(jié)構(gòu)的自振頻率、結(jié)構(gòu)位移以及相互作用系數(shù)的影響. 研究表明，高水壓作用下結(jié)構(gòu)的地震動力響應(yīng)不可忽略.

關(guān)鍵詞：海底隧道； 水壓力； Winkler地基模型； 自振頻率； 振動位移

目前的跨海交通主要有橋梁和隧道兩種形式.也有橋隧并舉的形式. 而海底隧道因?qū)Ｑ蟓h(huán)境及水上航運影響小、受惡劣氣候及戰(zhàn)時破壞影響小等優(yōu)點，在近年來跨海交通的不同方案比選過程中越來越顯現(xiàn)其優(yōu)越性，并日益成為城市、地區(qū)、甚至國家之間的重要連接手段和交通命脈. 但是相較一般的陸上隧道，海底隧道又有自己的難點. 如海底隧道深埋于地下，深水海底地質(zhì)勘察比地面地質(zhì)勘察難度更高、投入更大，不僅影響勘察的準確性，而且漏勘和失真情況的風險也會相應(yīng)增加；海底隧道周邊圍巖裂隙中一般會有較高的孔隙水壓力和滲水壓力，會造成巖體弱化，使圍巖的有效應(yīng)力和成拱能力降低，進而影響地層的穩(wěn)定性；隧道絕大部分位于海床之下，襯砌需要承受長期的高水壓作用；在穿越斷層構(gòu)造及地震破碎帶時需要高度關(guān)注地震作用對隧道安全性的影響等. 這些難點的存在使得海底隧道從設(shè)計、施工到運營維護等一系列過程都比一般隧道更加復(fù)雜，同時也推進著海底隧道的研究.

在抗震研究早期，人們認為地下構(gòu)造物因受到圍巖的約束和限制，在地震時隨著地基的運動而運動，地震對地下構(gòu)造物的破壞影響相比地表破壞小得多，可以不用考慮. 根據(jù)統(tǒng)計，過去地震中很少有地下隧道結(jié)構(gòu)遭受地震破壞似乎也驗證了這一點. 然而在1995年日本阪神大地震中，神戶市區(qū)間隧道和地鐵車站等大型地下結(jié)構(gòu)均遭受了重大破壞. 這一事實迫使人們重新審視地下結(jié)構(gòu)物的破壞，并開始懷疑傳統(tǒng)的地下結(jié)構(gòu)抗震理念，自此地下結(jié)構(gòu)抗震研究的熱潮逐漸興起. 目前國內(nèi)外對地下結(jié)構(gòu)的抗震研究大多集中在地鐵車站和山嶺陸地隧道，而對水壓力影響下海底隧道襯砌結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的研究則相對較少.

總的來說，由于海底隧道建造在海底，屬于一種特殊的地下結(jié)構(gòu)，且它處于非常復(fù)雜的工程地質(zhì)和水文地質(zhì)環(huán)境中，存在很多諸如斷裂構(gòu)造、破碎帶等不確定因素，建成后難以更改，一旦發(fā)生地震破壞，其后果是難以估量的. 因此，對海底隧道地震時的動力響應(yīng)進行研究就顯得尤為重要. 對于傳統(tǒng)陸上地下線型隧道結(jié)構(gòu)，在研究軸向傳播的地震動作用下垂直于軸線的橫向振動時，一般只研究了軸力、內(nèi)外阻尼、轉(zhuǎn)動慣性、橫截面剪切變形等一種或幾種因素的影響. 而對于海底隧道這種線型結(jié)構(gòu)所受到的高水壓力對結(jié)構(gòu)橫向振動的影響研究，主要是通過一些有限元軟件進行數(shù)值模擬，目前還缺乏系統(tǒng)的理論研究，高水壓對于隧道結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)的影響還不清楚. 鑒于此，本文將基于土與結(jié)構(gòu)的相互作用，結(jié)合結(jié)構(gòu)動力學(xué)和彈性力學(xué)相關(guān)知識，研究高水壓對于結(jié)構(gòu)自振頻率及橫向振動位移的影響. 首先是利用平衡條件和微分關(guān)系推導(dǎo)出僅由彎曲引起的結(jié)構(gòu)自由振動方程和強迫振動方程. 之后利用分離變量法和輸入地震振動形式分別求得了含水壓影響的結(jié)構(gòu)自振頻率和結(jié)構(gòu)振動位移的表達式，并結(jié)合算例研究了地震作用下水壓對海底隧道結(jié)構(gòu)自振頻率和振動位移的影響.

1振動方程

1.1模型選取

溫克爾(Winkler，1867)地基梁模型(見圖1)由捷克工程師溫克爾(Winker)提出，是—種常用的線彈性地基模型. 它的基本假設(shè)是土介質(zhì)表面任一點豎向位移w=w(x,t)與該點所受的地基反力p(x,t)成正比，而與其他點地基反力無關(guān)，其表達式如下：

p(x,t)=k0w(x,t)

(1)

隧道為線型結(jié)構(gòu)，重點研究沿結(jié)構(gòu)長度方向的結(jié)構(gòu)振動和受力情況，故將式(1)中的單位面積上地基基床系數(shù)k0變換為單位長度上的地基基床系數(shù)k. 利用關(guān)系式k=k0b，則(1)式變?yōu)椋?/p>

p(x,t)=kw(x,t)

(2)

溫克爾模型簡單且為線性，在地下結(jié)構(gòu)的設(shè)計和分析中，常選用此模型來模擬土與結(jié)構(gòu)的相互作用.

1.2水壓下的軸力

目前，海底隧道水壓力取值通常采用折減系數(shù)法、全水頭法、可能最大水頭值法3種估算方法. 這3種方法應(yīng)用最廣泛的是折減系數(shù)法，而數(shù)值計算法和解析法有時也有應(yīng)用. 本文在考慮高水壓影響時，采用全水頭法計算水壓力，并將水壓力按照靜水壓力考慮. 對于海底隧道來說，水壓力是突出問題，它不僅影響隧道結(jié)構(gòu)的橫向受力，還會引起隧道結(jié)構(gòu)縱向軸力變化，而隧道是一個線型結(jié)構(gòu)，兩端可以看作鉸結(jié)在地基上，故可以將其按照平面應(yīng)變問題進行考慮. 假設(shè)水壓力用qw表示，則根據(jù)彈性力學(xué)知識：

(3)

根據(jù)廣義胡克定律由εz=0可得:

(4)

則水壓力引起的軸力可按下式近似求得:

(5)

若設(shè)襯砌結(jié)構(gòu)所受初始軸壓為N0，則結(jié)構(gòu)軸向所受總壓力(以壓力為正)為：

N=N0+Nw=N0+2υπb2qw

(6)

式中，σr、σθ、σz分別為襯砌結(jié)構(gòu)徑向、環(huán)向、軸向的應(yīng)力，a、b分別為襯砌結(jié)構(gòu)的內(nèi)半徑和外半徑.

1.3振動方程推導(dǎo)

本文在建立梁橫向振動方程時作了如下幾點假設(shè)：

1)選用線彈性溫克爾地基梁模型；

2)不考慮錯縫拼裝和螺栓連接效應(yīng)的影響，結(jié)構(gòu)按等剛度原則考慮；

3)對于淺埋結(jié)構(gòu)，一般認為埋深越大，結(jié)構(gòu)受到圍巖的約束就越強，結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)越小，本文在推導(dǎo)過程中不考慮埋深對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的這種影響；

4)不考慮梁在運動過程中剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，即認為梁撓曲線的斜率僅由彎矩所引起；

5)忽略阻尼影響.

設(shè)有如圖2所示的地鐵隧道簡化模型，沿軸向x方向的抗彎剛度為EI，單位長度質(zhì)量為m(x)=ρA，作用在模型上的橫向荷載包括地基反力和慣性力，模型橫向位移用w(x,t)表示.

如圖3所示，取梁上任一截面x處的微段dx為隔離體，結(jié)構(gòu)軸線在彎矩作用下將會發(fā)生彎曲，微段右端面與左端面之間存在一個微小的傾斜角度dφ=dx?2w/?x2. 因為?2w/?x2=?θ/?x，則有dφ=dx?2w/?x2=dx?θ/?x(θ為彎矩產(chǎn)生的撓曲線斜率). 該微段上除了作用在兩個截面上的彎矩M、剪力Q、軸力N和地基反力p(x,t)外，根據(jù)達朗貝爾原理，還有假設(shè)的慣性力fI(x).

根據(jù)豎向力的平衡則有：

(7)

即

(8)

由于不考慮梁在運動過程中剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，梁撓曲線的斜率僅由彎矩造成. 根據(jù)微分關(guān)系有：

(9)

將式(9)代入式(8)得考慮軸力影響的梁自由振動方程：

(10)

將式(2)、式(6)代入上式即可得到考慮高水壓影響的梁自由振動方程：

(11)

式中：E——襯砌結(jié)構(gòu)的彈性模量(N/m2)；

Iz——襯砌結(jié)構(gòu)的橫截面慣性矩(m4)；

υ——襯砌結(jié)構(gòu)的泊松比.

事實上，已有文獻推導(dǎo)了考慮包括軸力、剪切變形、內(nèi)外阻尼、橫截面轉(zhuǎn)動慣性以及地基參數(shù)等因素的更為一般的梁振動方程，本文只研究包含水壓力影響的僅由彎矩引起的比較簡單的情況.

若梁作強迫振動時，wg(x,t)為自由場地基側(cè)向位移，則文克爾地基表達式變?yōu)椋?/p>

p(x,t)=k[w(x,t)-wg(x,t)]

(12)

此時梁強迫振動方程變?yōu)椋?/p>

(13)

2振動方程的求解

2.1自振頻率的求解

為求解式(11)表示的梁自由振動方程的振型和自振頻率，本文采用分離變量法，假設(shè)解具有如下形式：

w(x,t)=W(x)T(t)

(14)

代入式(11)整理得：

(15)

式(15)等號兩端分別是x和t的函數(shù)，對于任意獨立的x和t，式(15)只能等于一個常數(shù)，此常數(shù)用λ4表示. 則有：

(16)

(17)

式(16)為常見的無阻尼單自由度振動方程，其解為：

T(t)=Acosωt+Bsinωt=asin(ωt+φ)

W(x)=C1cosαx+C2sinαx+C3coshβx+C4sinhβx

(19)

利用邊界條件：

W(0)=W″(0)=0W(L)=W″(L)=0

可得振型函數(shù)的解為 ：

(20)

(21)

2.2強迫振動方程的求解

對于方程(13)，其解包括兩部分如下：

w(x,t)=wc(x,t)+wp(x,t)

(22)

式中，右邊第一項代表自由振動解，反映了初始條件對結(jié)構(gòu)體系振動的作用；第二項代表強迫振動特解，表示外來輸入對結(jié)構(gòu)體系振動的作用. 因為阻尼作用影響總是存在，第一項在一段時間之后將很快衰退而消失，可以不用考慮，只剩下一個穩(wěn)定的純強迫振動(常稱為穩(wěn)態(tài)振動)，其振動特性由外界干擾力的性質(zhì)以及變化規(guī)律決定.

強迫振動方程在求解時常作如下假定：地下結(jié)構(gòu)和地基土是各向同性、均勻的線彈性介質(zhì)；不考慮地震波輸入時的隨機性和復(fù)雜性，地震波按剪切波考慮，入射方向與隧道軸向之間夾角為零.

如圖4所示，假定自由場土介質(zhì)某一時刻的側(cè)向位移為wg(x,t)，幅值為D. 隧道結(jié)構(gòu)側(cè)向位移用w(x,t)表示，它與自由場土介質(zhì)對應(yīng)時刻側(cè)向位移形狀相似而幅值不同，兩者相差一個相互作用系數(shù)R.

地震波以簡諧波形式在地層中傳播，地層在地震波作用下發(fā)生簡諧位移，其位移數(shù)學(xué)表達式假定如下：

地震位移場：

wg(x,t)=Dsin(γx-θt)

(23)

結(jié)構(gòu)的振動位移：

w(x,t)=RDsin(γx-ωt)

(24)

式中：θ——地震波頻率；

ω——結(jié)構(gòu)振動頻率；

λ——地震波波長.

為了求出結(jié)構(gòu)振動位移，應(yīng)首先求出相互作用系數(shù)R. 將式(23)和(24)帶入式(13)得：

[EIγ4-(N0+2υπb2qw)γ2+k-ρAω2]RDsin(γx-

ωt)=kDsin(γx-θt)

(25)

整理可以得到相互作用系數(shù)為：

(26)

把式(26)帶入式(24)可以得到結(jié)構(gòu)振動位移表達式為：

(27)

將式(24)和式(27)進行比較容易看出，外荷載頻率與結(jié)構(gòu)振動頻率相等，即θ=ω，則相互作用系數(shù)表達式為：

(28)

把式(28)帶入式(24)，得到結(jié)構(gòu)振動位移表達式如下：

(29)

3算例

某盾構(gòu)圓形海底隧道，最低點位于水面下130m，水壓約1.3MPa，隧道長度L=200m，屬大盾構(gòu)，外徑d1=16.7m，內(nèi)徑d2=15.7m，混凝土襯砌密度ρ=2 600kg/m3，彈性模量E=3.0×104MPa，泊松比υ=0.3，初始軸向壓力N0=50 000kN，取地基基床系數(shù)k0=2.0×107N/m3. 地震強度PGV=0.3m/s(相當于8度地震)，地震位移幅值D=2.9cm，地震波長λ=100m，波速v=180m/s，頻率θ=11.31rad/s，地震動位移函數(shù)為wg=0.029×sin(0.062 8x-11.31t).

為了考察水壓對結(jié)構(gòu)自振頻率的影響，結(jié)構(gòu)單位長度質(zhì)量、抗彎剛度、地震動頻率均保持不變，根據(jù)式(21)可得到不考慮水壓影響和考慮水壓為2MPa影響的結(jié)構(gòu)前10階的自振頻率以及不同水壓下結(jié)構(gòu)前三階的自振頻率，具體計算結(jié)果如圖5和圖6所示.

從圖5可以看出，水壓對結(jié)構(gòu)低階自振頻率與高階自振頻率的影響差別很大. 考慮2 MPa水壓時，前五階自振頻率下降幅度為5.99%～61.56%，六階自振頻率以后下降幅度在3.38%以下. 因此，水壓對結(jié)構(gòu)低階頻率影響較大，對結(jié)構(gòu)的高階頻率影響幾乎可以忽略. 根據(jù)圖6可以看出，結(jié)構(gòu)的前三階的自振頻率隨著水壓的逐漸增大而近似線性減小. 并且從圖中可以看出，水壓增大到一定值后，結(jié)構(gòu)的自振頻率為0，此時結(jié)構(gòu)不振動，這也說明了水壓對結(jié)構(gòu)有一定的限制作用，阻礙著結(jié)構(gòu)的振動. 但從圖5中可以看出，結(jié)構(gòu)的自振頻率為0時，所受臨界水壓須達到2.5 MPa以上，目前修建的海底隧道所受水壓最高在2 MPa左右，因此不會出現(xiàn)自振頻率為0的情況.

在研究水壓對襯砌結(jié)構(gòu)振動位移的影響時，為使研究具有針對性，取結(jié)構(gòu)振動位移最大的時刻的位移幅值進行研究. 圖7和圖8分別給出了不同水壓力下，結(jié)構(gòu)振動位移幅值及地基與結(jié)構(gòu)相互作用系數(shù)的變化情況. 從圖7中可以看出，結(jié)構(gòu)的振動位移幅值隨著水壓的增大而逐漸增大. 這可能是因為隨著水壓力逐漸增大時，隧道結(jié)構(gòu)的自振頻率會減小，表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)剛度逐漸降低，從而使結(jié)構(gòu)的振動位移幅值增大. 從本例的計算結(jié)果可以看出，水壓對結(jié)構(gòu)振動位移幅值的變化已超過8%，水壓力對結(jié)構(gòu)振動位移幅值的影響不可忽略. 從圖8中可以看出，水壓對相互作用系數(shù)的影響也很顯著. 隨著水壓的逐漸增大，相互作用系數(shù)也在逐漸增大. 這說明由于水壓的存在，地震動對結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)的影響將加強，這也驗證了前述水壓對結(jié)構(gòu)振動位移幅值的增大效應(yīng).

4結(jié)論

本文采用溫克爾地基模型，結(jié)合結(jié)構(gòu)動力學(xué)和彈性力學(xué)相關(guān)知識推導(dǎo)了僅由彎曲引起的梁自由振動方程和強迫振動方程，并求出了含高水壓影響的結(jié)構(gòu)的自振頻率表達式以及結(jié)構(gòu)的位移表達式. 通過算例得出水壓對結(jié)構(gòu)的低階自振頻率影響顯著，對高階自振頻率的影響可以忽略，并且結(jié)構(gòu)的位移

幅值隨水壓增大而增大. 因此，對處于高水壓情況下的隧道來說，水壓影響應(yīng)該考慮.

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[責任編輯：佟啟巾]

Research on Seismic Dynamic Response of Submarine Tunnel

Liu Tiantian,Qi Chengzhi,Chen Haoxiang,Yang Jinrui

(School of Civil and Traffic Engineering, Beijing Higher Institution Engineering Research Center of Structure and New Materials,Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044)

Abstract:Seismic dynamic response of submarine tunnel under high water pressure is a problem in need of further investigation. Based on Winkler’s foundation model, the structure vibration equation with consideration of only bending is derived by using dynamic equilibrium condition and differential relations. Using the method of variable separation, the vibration mode and natural vibration frequencies of submarine tunnel are obtained. And the interaction coefficient between submarine tunnel and foundation and structural displacement is also determined. Numerical example is given and the effect of water pressure on structural natural vibration frequencies and structural displacement and interaction coefficient is studied. Investigation shows that structural seismic dynamic response under effect of high water pressure should not be neglected.

Key words:submarine tunnel; water pressure; Winkler foundation model; natural frequency; vibration displacement

中圖分類號：U459.9; TU435

文獻標志碼：A

作者簡介：劉天添(1988—)，男，碩士研究生，研究方向：結(jié)構(gòu)抗震、巖土力學(xué).

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(51174012，51478027);北京市屬高等學(xué)校創(chuàng)新團隊建設(shè)與教師職業(yè)發(fā)展計劃項目(IDHT20130512);國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973)項目(2015CB0578005)

收稿日期：2015-09-06

文章編號：1004-6011(2016)01-0046-06