安曉敏（西安工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，西安710021）

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線性跟蹤誤差的指數(shù)化投資組合魯棒優(yōu)化模型*

安曉敏
（西安工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，西安710021）

摘 要：為消除指數(shù)化投資組合中參數(shù)的擾動(dòng)對(duì)線性跟蹤誤差最優(yōu)解產(chǎn)生的影響，文中針對(duì)線性跟蹤誤差模型，采用魯棒優(yōu)化給出了模型參數(shù)為矩形不確定集、橢球不確定集的魯棒模型，分析了該模型由于參數(shù)不確定性所造成的缺陷．實(shí)證研究表明：采用線性跟蹤誤差指數(shù)化投資組合的魯棒優(yōu)化模型的解同時(shí)具有魯棒性與最優(yōu)性，魯棒模型與基準(zhǔn)模型的收益一致性較好，魯棒模型的跟蹤誤差略大于基準(zhǔn)模型．

關(guān)鍵詞：投資組合；指數(shù)化投資；線性跟蹤誤差；魯棒優(yōu)化

基金資助：陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目（14JK1353）；西安工業(yè)大學(xué)校長(zhǎng)基金（XAGDXJJ1134）

主動(dòng)型投資，也稱積極投資，是通過積極選股、擇時(shí)以獲取超額市場(chǎng)收益的一種投資模式．與之相對(duì)應(yīng)的指數(shù)化投資，也稱被動(dòng)投資，是通過被動(dòng)式管理來達(dá)到最小化交易成本，獲取平均市場(chǎng)收益的一種投資模式，通常以復(fù)制、追蹤某一市場(chǎng)指數(shù)作為目標(biāo)．文獻(xiàn)［1-2］研究發(fā)現(xiàn)，主動(dòng)型基金可能產(chǎn)生較高的管理和交易費(fèi)用，從而導(dǎo)致較高的管理成本，因此指數(shù)化基金的績(jī)效通常高于主動(dòng)型基金．傳統(tǒng)的指數(shù)化基金力求收益率擬合目標(biāo)指數(shù)所代表的市場(chǎng)平均收益率，由此定義投資組合收益與基準(zhǔn)指數(shù)收益之間的差異為跟蹤誤差，最小化跟蹤誤差是傳統(tǒng)指數(shù)基金的重要目標(biāo)．

早期指數(shù)基金的研究主要是在均值-方差模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的［3-4］，決策目標(biāo)是二次跟蹤誤差，即跟蹤組合與目標(biāo)指數(shù)收益率之間的方差．近年來，不少學(xué)者從線性跟蹤誤差的角度對(duì)該問題進(jìn)行了研究．文獻(xiàn)［5］定義跟蹤誤差為跟蹤組合與目標(biāo)指數(shù)收益率之間的絕對(duì)偏差，提出期望-絕對(duì)偏差跟蹤模型．文獻(xiàn)［6］考慮線性跟蹤誤差模型的三種變形．分別定義跟蹤組合與目標(biāo)指數(shù)收益率間的最大偏差、最大下半偏差以及下半偏差為跟蹤誤差．與二次跟蹤誤差相比，線性方法能更充分、更直觀地反映投資者的投資目的．增強(qiáng)型指數(shù)化不同于傳統(tǒng)指數(shù)基金，是一種積極指數(shù)化投資方式，跟蹤目標(biāo)指數(shù)的同時(shí)，試圖獲取超過目標(biāo)指數(shù)的收益．考慮給定期望超額收益，跟蹤誤差最小，或其對(duì)偶問題，即給定跟蹤誤差，超額收益最大，文獻(xiàn)［7］提出跟蹤誤差波動(dòng)率（Tracking-Error Volatility，TEV）優(yōu)化問題，并在其具體模型中采用了二次跟蹤誤差．上述指數(shù)化投資組合模型中的參數(shù)很難得到精確的估計(jì)值．而問題的最優(yōu)解又會(huì)由于這些參數(shù)的微小變化產(chǎn)生很大的影響［8］．魯棒優(yōu)化可以有效消除參數(shù)的擾動(dòng)對(duì)優(yōu)化模型最優(yōu)解產(chǎn)生的影響，近年來引起人們的極大關(guān)注．文獻(xiàn)［9-11］在均值-方差模型基礎(chǔ)下，提出了其對(duì)應(yīng)的魯棒投資組合優(yōu)化方法．文獻(xiàn)［12-13］分別考慮了基于在險(xiǎn)價(jià)值（Value at Risk，VaR）和條件在險(xiǎn)價(jià)值（Conditional Value at Risk，CVaR）的魯棒投資組合優(yōu)化模型．文獻(xiàn)［14］假設(shè)參數(shù)屬于一個(gè)凸多面體，考慮采用二次跟蹤誤差模型，給出了其魯棒模型為一個(gè)線性矩陣不等式約束條件下的優(yōu)化問題．文中分別研究模型中隨機(jī)參數(shù)為矩形不確定集、橢球不確定集的線性跟蹤誤差模型，給出其魯棒優(yōu)化模型，得到具有魯棒性的解，并進(jìn)行實(shí)證分析．

1　線性跟蹤誤差指數(shù)化模型

某只指數(shù)基金的投資組合中包括n種資產(chǎn)，x∈Rn為組合中各資產(chǎn)的權(quán)重．T維列向量B代表目標(biāo)指數(shù)的T個(gè)觀測(cè)收益，T×n維矩陣A為n種資產(chǎn)的收益矩陣，R為事先給定的超額收益率．文獻(xiàn)［7］提出的TEV優(yōu)化問題為給定期望超額收益R，使跟蹤誤差最?。杀硎緸槎蝺?yōu)化問題

式中：n維列向量；r為n種資產(chǎn)的期望收益率；X為關(guān)于決策變量x的可行域，通常為一些線性約束．假設(shè)X為

為了給出線性跟蹤指數(shù)化優(yōu)化模型，給出四種極小化線性跟蹤誤差模型．

1．1 四種極小化線性跟蹤誤差

平均絕對(duì)偏差最小化模型（Mean Absolute Deviation，MAD）［6］．求權(quán)重矢量x*∈Rn，使得組合與目標(biāo)指數(shù)收益差的絕對(duì)值之和的均值最小化，即

式中：Aij，xi，Bt分別為A，x，B中對(duì)應(yīng)角標(biāo)位置的元素．

最小最大模型求權(quán)重矢量x*∈Rn使得組合與目標(biāo)指數(shù)收益之間的最大絕對(duì)值偏差最小化，即

式中：At為矩陣A的第t行．

指數(shù)基金的投資目的是盡可能地增大收益，則只有在組合收益低于目標(biāo)指數(shù)收益時(shí)，才認(rèn)為存在風(fēng)險(xiǎn)．此時(shí)，宜采取下方風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行度量，即，最小化組合與目標(biāo)指數(shù)收益間的下半偏差．

同樣考慮下半偏差，采用最小最大模型基本思想，則有

1．2線性跟蹤誤差指數(shù)化投資組合模型

1．2．1 平均絕對(duì)偏差最小化模型

目標(biāo)函數(shù)

對(duì)應(yīng)的指數(shù)化模型為

1．2．2 最小最大模型

設(shè)z≥0是絕對(duì)偏差的上界，有

對(duì)?t，可得

規(guī)劃模型為

1．2．3 平均絕對(duì)下方偏差最小化模型

只要使Atx≤Bt時(shí)的偏差的均值最小化．線性規(guī)劃為

1．2．4 最小最大下方偏差模型

求權(quán)重x，滿足條件Atx≤Bt下使得偏差最小化，模型為

2　線性跟蹤誤差的指數(shù)化魯棒優(yōu)化模型

以平均絕對(duì)偏差為例構(gòu)建指數(shù)化魯棒優(yōu)化模型．若已知期望收益r，此時(shí)相應(yīng)的模型為確定型優(yōu)化問題.參數(shù)r受隨機(jī)因素影響，很難對(duì)其進(jìn)行精確估計(jì).相應(yīng)的模型即為隨機(jī)最優(yōu)化問題為

式（4）中隨機(jī)變量r的取值范圍為Δt．研究表明原問題的最優(yōu)解會(huì)因該參數(shù)的微小變化產(chǎn)生很大影響［8］，因此采用魯棒優(yōu)化理論將原問題轉(zhuǎn)化為易于求解的確定型優(yōu)化問題，也就是說將參數(shù)的不確定性處理成簡(jiǎn)單形式（如矩形、橢球），較好的擬合參數(shù)不確定性，同時(shí)將原問題轉(zhuǎn)化為易于求解的確定型優(yōu)化問題．文獻(xiàn)［14］假設(shè)參數(shù)屬于一個(gè)凸多面體，考慮采用二次跟蹤誤差模型，給出了其魯棒模型為一個(gè)線性矩陣不等式約束下的優(yōu)化問題．目前還未見將魯棒思想應(yīng)用至線性跟蹤誤差的研究．文中分別考慮模型參數(shù)為矩形不確定集、橢球不確定集的跟蹤誤差模型，得到具有魯棒性的解．

2．1 矩形不確定集的魯棒模型

假設(shè)r的每一個(gè)分量屬于一個(gè)給定的區(qū)間，考慮收益率的期望值r屬于矩形不確定集

式中：r0，ˉr分別為r的期望值向量和波動(dòng)值向量.

當(dāng)r屬于式（5）所定義的不確定區(qū)間時(shí)，考慮x為任意給定的投資策略，有

參數(shù)屬于矩形不確定集下的模型為

2．2 橢球不確定集的魯棒模型

對(duì)于線性規(guī)劃，文獻(xiàn)［15］給出了當(dāng)其參數(shù)屬于橢球型不確定集時(shí)的魯棒問題．

定理1 考慮只含有一個(gè)約束條件的線性規(guī)劃

那么，線性跟蹤誤差所對(duì)應(yīng)的魯棒問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃

考慮參數(shù)r屬于橢球不確定集

3　實(shí)證分析

以香港恒生指數(shù)作為基準(zhǔn)指數(shù)，從其十只成分股長(zhǎng)江實(shí)業(yè)、匯豐、新鴻基、香港鐵路、中電控股、香港交易及結(jié)算所、中國建設(shè)銀行、中國海洋石油、中國人壽和中國移動(dòng)中選取投資組合．取為期24個(gè)月的日收盤價(jià)，用前22個(gè)月的數(shù)據(jù)構(gòu)造關(guān)于收益率的不確定集，并采用這些數(shù)據(jù)對(duì)文中提出的模型做出優(yōu)化決策，利用剩余兩個(gè)月的數(shù)據(jù)對(duì)所得決策進(jìn)行檢測(cè)，觀察其跟蹤誤差及收益情況．

圖1　基準(zhǔn)和魯棒（橢球不確定集）指數(shù)化投資組合的收益Fig．1 The return of the benchmark and the robust （ellipsoidal uncertainty sets）indexing investment

采用自舉技術(shù)得到收益率的期望和協(xié)方差矩陣的3 000個(gè)估計(jì)值，然后利用這些估計(jì)值對(duì)模型中的隨機(jī)參數(shù)構(gòu)造不確定集．以橢球不確定集為例，原問題的魯棒模型為二階錐規(guī)劃．調(diào)用基于Matlab開發(fā)的軟件包c(diǎn)vx進(jìn)行求解．圖1～2分別為基于指數(shù)化投資組合魯棒模型和基準(zhǔn)模型的收益與跟蹤誤差，由圖1～2可以看出魯棒模型與基準(zhǔn)模型的收益率在測(cè)試期大致一致，與此同時(shí)魯棒模型的跟蹤誤差略大于基準(zhǔn)模型．

圖2　基準(zhǔn)和魯棒（橢球不確定集）指數(shù)化投資組合的跟蹤誤差Fig．2 The tracking error of the benchmark and the robust （ellipsoidal uncertainty sets）indexing investment

4　結(jié)論

1）對(duì)于指數(shù)化投資組合，參數(shù)的擾動(dòng)對(duì)線性跟蹤誤差的最優(yōu)解產(chǎn)生較大影響．通過采用魯棒理論研究線性跟蹤誤差，給出了模型中隨機(jī)參數(shù)屬于矩形、橢球不確定集時(shí)的魯棒線性跟蹤誤差模型，并得到具有魯棒性的解．

2）模型實(shí)證分析結(jié)果表明魯棒模型與基準(zhǔn)模型的收益大致一致，而魯棒模型的跟蹤誤差略大于基準(zhǔn)模型．魯棒線性跟蹤誤差模型對(duì)現(xiàn)實(shí)中的投資決策具有一定的指導(dǎo)意義．

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（責(zé)任編輯、校對(duì) 張 超）

Robust Indexing Investment Based on Linear Tracking Error

AN Xiaomin
（School of Science，Xi’an Technological University，Xi’an 710021，China）

Abstract：In the indexing investment protfolio，the disturbance of parameters has a great influence on the optimal solution to the original problem．Robust optimization is an effective method to deal with the optimization problem involving uncertainty．Based on the linear tracking error model，the robust model was established with the box and ellipsoidal uncertainty sets as the parameters．Its flaw which results from the uncertainty of parameters was analyzed．The numerical results show that the solution obtained by the new model is both robust and optimal．The return of the robust model is generally consistent with that of the benchmark，while its tracking error is slightly greater than that of the benchmark．

Key words：portfolio；indexing investment；linear tracking error；robust optimization

作者簡(jiǎn)介：安曉敏（1982－），女，西安工業(yè)大學(xué)講師，主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與算法．E-mail：axmin2014＠sina．com．

*收稿日期：2015-07-12

DOI：10．16185／j．jxatu．edu．cn．2016．01．001

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：中圖號(hào)： O221．5 A

文章編號(hào)：1673-9965（2016）01-0001-04