袁石良 ，董 杰 ，徐志強(qiáng) ，朱啟晨 ，楊志賢

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）化學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083；2.北京四方繼保自動(dòng)化股份有限公司，北京 100085；3.四方繼保（武漢）軟件有限公司，湖北 武漢 430223）

0 引言

頻率是反映電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行和電能質(zhì)量的重要指標(biāo)，也是系統(tǒng)運(yùn)行的主要控制參數(shù)之一。在水電廠以及風(fēng)電、光伏等新能源系統(tǒng)中，頻率有可能是非恒定、隨時(shí)間變化的［1］。例如，在發(fā)電機(jī)并網(wǎng)前，頻率隨發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速增加而增加，并逐漸向系統(tǒng)頻率靠攏；系統(tǒng)擾動(dòng)或發(fā)生短路故障時(shí)，頻率可能會(huì)快速下滑［2］；在孤島運(yùn)行狀態(tài)下，頻率會(huì)有一定程度的波動(dòng)。頻率的波動(dòng)不但影響測(cè)量準(zhǔn)確性，甚至可能引起保護(hù)裝置誤動(dòng)、拒動(dòng)［3］。

在水電廠及新能源系統(tǒng)中，頻率測(cè)量主要是由嵌入式保護(hù)及測(cè)控裝置實(shí)現(xiàn)。測(cè)頻方法主要有硬件測(cè)頻和軟件測(cè)頻。軟件測(cè)頻由于易實(shí)現(xiàn)、使用靈活，在嵌入式裝置中獲得了廣泛應(yīng)用。根據(jù)水電廠及新能源系統(tǒng)中頻率隨時(shí)間變化的特點(diǎn)，其對(duì)軟件測(cè)頻算法的要求與其他情況下的頻率測(cè)量要求有所不同，主要包括：在頻率偏離額定頻率，并且信號(hào)中含有諧波、直流、噪聲等分量時(shí)，均能精確測(cè)頻；計(jì)算量不能太大，不占用或少占用內(nèi)存為佳；較快的動(dòng)態(tài)跟蹤能力，測(cè)量時(shí)滯小。由于水電廠及新能源系統(tǒng)頻率具有隨時(shí)間變化的特點(diǎn)，如果不能快速、實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確地測(cè)量頻率，或者頻率測(cè)量時(shí)滯過(guò)大，都將會(huì)影響低頻保護(hù)、距離保護(hù)等功能，以及電廠自動(dòng)準(zhǔn)同期等功能的可靠性。

目前嵌入式裝置中常用的軟件測(cè)頻方法主要有基于離散/快速傅里葉變換（DFT/FFT）的測(cè)頻算法和過(guò)零點(diǎn)測(cè)頻算法。

基于DFT的傳統(tǒng)測(cè)頻算法存在頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)［4-5］，測(cè)頻精度很低，受高次諧波的影響大。各種改進(jìn)算法中，加窗函數(shù)修正DFT測(cè)頻算法［6-8］的實(shí)時(shí)性不能滿足要求［9］；插值和迭代相結(jié)合的DFT測(cè)頻算法［10］計(jì)算量太大，限制了其應(yīng)用范圍。

過(guò)零點(diǎn)算法是通過(guò)測(cè)量信號(hào)波形相繼過(guò)零點(diǎn)間的時(shí)間寬度來(lái)計(jì)算頻率［11］。該方法原理簡(jiǎn)單、計(jì)算量小，但容易受高次諧波、直流分量和噪聲的影響。文獻(xiàn)［12］提出了一種改進(jìn)的過(guò)零點(diǎn)算法，使用傅里葉級(jí)數(shù)的基波實(shí)部或虛部的2個(gè)同方向變化的過(guò)零點(diǎn)之間的時(shí)間差來(lái)測(cè)量頻率，該方法在一定程度上抑制了諧波和直流分量的影響，但是測(cè)頻精度不高，計(jì)算量較大。

上述算法均存在以下2個(gè)問(wèn)題：算法成立的前提條件是信號(hào)頻率恒定不變，當(dāng)頻率波動(dòng)或快速變化時(shí)測(cè)頻誤差較大；所計(jì)算出的頻率實(shí)際上是數(shù)據(jù)窗內(nèi)的平均頻率，而不是某一確定時(shí)刻的頻率。當(dāng)頻率快速變化時(shí)，測(cè)頻誤差除了原有算法誤差以外，還會(huì)有響應(yīng)速度慢而帶來(lái)的時(shí)滯誤差，從而使得測(cè)頻誤差大幅增加。采用頻率跟蹤并自適應(yīng)調(diào)整采樣間隔或調(diào)整數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度的技術(shù)可實(shí)現(xiàn)較高精度的測(cè)頻［13］，但對(duì)嵌入式裝置的軟硬件方面要求較高，因而限制了其應(yīng)用范圍。文獻(xiàn)［14］考慮了頻率變化率帶來(lái)的相鄰周期相角差的影響，提出了一種改進(jìn)算法，但該算法僅適用于頻率為（50±3）Hz、頻率變化率不超過(guò)±5 Hz/s的情況。而在實(shí)際系統(tǒng)中，發(fā)電機(jī)開(kāi)機(jī)過(guò)程的頻率與50 Hz相去甚遠(yuǎn)，電力系統(tǒng)故障時(shí)頻率變化率可能會(huì)達(dá)到20 Hz/s。因此，該算法的適用范圍受到一定的限制。

本文以頻率按一定變化率隨時(shí)間變化為前提，提出了一種軟件過(guò)零點(diǎn)測(cè)頻算法，解決了頻率時(shí)變條件下的精確測(cè)頻問(wèn)題。該算法可求出任意采樣點(diǎn)時(shí)刻頻率的實(shí)時(shí)值，具有計(jì)算量小、測(cè)頻精度高、測(cè)頻范圍大、適用面廣、占用內(nèi)存少等優(yōu)點(diǎn)，能很好地滿足電力系統(tǒng)保護(hù)及測(cè)控裝置的測(cè)頻需要。

1 算法原理

1.1 任意時(shí)刻的頻率f與周期T的關(guān)系

設(shè)待測(cè)信號(hào)的幅值為A，頻率為f，相位角為φ（f，t），則該信號(hào)可表示為：

如果頻率f非恒定，其一階導(dǎo)數(shù)不為0，則任意時(shí)刻 t的相角 φ（f，t）可按下式計(jì)算［15］：

其中，ω=2πf為角頻率；dω/dt為角加速度。 t=0時(shí)刻的初始相角為φ0，初始角速度為ω0=2πf0，初始頻率為f0。

考察連續(xù)3個(gè)過(guò)零點(diǎn)處的相位角，如圖1所示，將縱坐標(biāo)移到過(guò)零點(diǎn)0處，則t=0時(shí)過(guò)零點(diǎn)0處相角為0，頻率為f0，過(guò)零點(diǎn)1和過(guò)零點(diǎn)2處的相位角分別為2π和4π。

圖1 信號(hào)波形及過(guò)零點(diǎn)示意圖Fig.1 Schematic diagram of signal waveform and zero-crossing points

故根據(jù)式（2）有：

解此方程組，得：

其中，

在求出T01和 T12后（見(jiàn)下節(jié)），即可根據(jù)式（4）、（5）求出 df/dt和過(guò)零點(diǎn) 0 處的頻率 f0。

利用上述結(jié)果可以求出任意時(shí)刻的頻率。如圖1所示，設(shè)最新的過(guò)零點(diǎn)為過(guò)零點(diǎn)2，當(dāng)前時(shí)刻的采樣點(diǎn)為m，采樣點(diǎn)m與過(guò)零點(diǎn)2中間有m個(gè)采樣值，則當(dāng)前時(shí)刻的頻率為：

其中，Δt為過(guò)零點(diǎn)2與采樣點(diǎn)1之間的時(shí)間；TS為采樣時(shí)間間隔。

1.2 周期T的計(jì)算

式（4）—（6）中需要用到過(guò)零點(diǎn)之間的時(shí)間，即周期T。本文按以下方法計(jì)算周期T。

1.2.1 計(jì)算Δt

如圖1所示，信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)通常并不正好是采樣點(diǎn)，因此需要求出過(guò)零點(diǎn)與過(guò)零點(diǎn)后第1個(gè)采樣點(diǎn)之間的時(shí)間Δt，才能準(zhǔn)確計(jì)算出周期T。

信號(hào)的真實(shí)過(guò)零點(diǎn)無(wú)法直接求出，但可以擬合過(guò)零點(diǎn)附近的信號(hào)波形，求出擬合波形的過(guò)零點(diǎn)，從而求出 Δt。

傳統(tǒng)過(guò)零點(diǎn)算法［11］假定信號(hào)波形在過(guò)零點(diǎn)附近的波形近似為直線，采用線性插值（或相似三角形）方法求取Δt。為了獲得更高的計(jì)算精度，本文采用Newton三次插值多項(xiàng)式f（λ）來(lái)逼近：

下面分析計(jì)算式（7）中的系數(shù)a0—a3。

參見(jiàn)圖2，根據(jù)等距節(jié)點(diǎn)Newton三次插值多項(xiàng)式公式，取過(guò)零點(diǎn)前后4個(gè)采樣點(diǎn)：過(guò)零點(diǎn)后第1個(gè)采樣點(diǎn)（tk，uk），過(guò)零點(diǎn)之前 3 個(gè)采樣點(diǎn)（tk-1，uk-1）、（tk-2，uk-2）、（tk-3，uk-3）。 利用這 4 個(gè)采樣值建立向后差分表，如表1所示。

圖2 Newton三次插值多項(xiàng)式計(jì)算示意圖Fig.2 Schematic diagram of Newton cubic interpolation polynomial calculation

表1 Newton向后差分表Table 1 Newton backward differential table

表1中，

Newton三次插值多項(xiàng)式函數(shù)為：

其中，λ與Δt的關(guān)系為：

根據(jù)式（9）可求出式（7）的系數(shù)如下：

令式（7）中 f（λ）=0，求擬合函數(shù)的過(guò)零點(diǎn)：

采用Newton迭代法求上式的根：

迭代初值λ0可根據(jù)三角形相似法求得。參見(jiàn)圖2，根據(jù)相似三角形原理，有：

將 Δt=-λTS代入上式，得，故取迭代初值：

一般迭代計(jì)算2次即可。計(jì)算出λ后，即可計(jì)算出 Δt=-λTS。

1.2.2 計(jì)算周期T

設(shè)相鄰2個(gè)過(guò)零點(diǎn)之間的采樣點(diǎn)數(shù)為N，則周期T為：

其中，Δt1、Δt2分別為前后2個(gè)過(guò)零點(diǎn)距離過(guò)零后第1個(gè)采樣點(diǎn)之間的時(shí)間。

2 算法實(shí)現(xiàn)步驟

a.尋找過(guò)零點(diǎn)。程序從當(dāng)前采樣點(diǎn)向前逐個(gè)搜索，直到找到某個(gè)采樣點(diǎn)為正數(shù)，而前一個(gè)采樣點(diǎn)為負(fù)數(shù)，則由負(fù)到正過(guò)零點(diǎn)必在2個(gè)采樣點(diǎn)之間。

b.根據(jù)式（8）、式（11）計(jì)算擬合函數(shù)系數(shù)。

c.計(jì)算過(guò)零點(diǎn)。根據(jù)式（15）計(jì)算迭代初值，利用式（7）、（12）、（13）迭代計(jì)算得到過(guò)零點(diǎn)處的 λ 值。

d.計(jì)算當(dāng)前周期T。用式（10）計(jì)算出當(dāng)前過(guò)零點(diǎn)的Δt并保存，利用式（16）計(jì)算出當(dāng)前的周期T并保存。

e.計(jì)算當(dāng)前采樣點(diǎn)處的頻率。利用最近3個(gè)過(guò)零點(diǎn)處的 Δt和周期 T，用式（4）、（5）求出 df/dt和過(guò)零點(diǎn)0處的頻率f0，用式（6）計(jì)算出當(dāng)前頻率。

3 算法仿真

對(duì)各種情況下的算法性能進(jìn)行仿真以驗(yàn)證其測(cè)頻精度，并與文獻(xiàn)［10］的改進(jìn)DFT算法和文獻(xiàn)［12］的改進(jìn)過(guò)零點(diǎn)算法進(jìn)行了對(duì)比，頻率計(jì)算誤差取自對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)中給出的結(jié)果。

3.1 純正弦波

設(shè)電壓信號(hào)為 u（t）=Asin（2πft+φ），頻率取 30～70 Hz，初相角隨機(jī)選擇。取30周期計(jì)算結(jié)果中誤差最大值，測(cè)量結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 純正弦信號(hào)時(shí)的頻率誤差Table 2 Frequency error of pure sine signal Hz

從表2可見(jiàn)，本文算法的最大誤差為10-6Hz級(jí)。

3.2 疊加諧波、噪聲

設(shè)電壓信號(hào)為：基波幅值100 V，2次諧波10%，3次諧波20%，5次諧波10%，7次諧波5%，固有直流10%，噪聲信號(hào)取50 dB高斯白噪聲。頻率取45～55 Hz，初相角隨機(jī)選擇。取30周期計(jì)算結(jié)果中誤差最大值，測(cè)量結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 含有諧波和噪聲時(shí)的頻率誤差Table 3 Frequency error of signals with harmonics and noise Hz

從表 3 可見(jiàn)，改進(jìn) DFT［10］和改進(jìn)過(guò)零點(diǎn)算法［12］對(duì)諧波、固有直流分量和噪聲有一定抑制作用，最大誤差分別為-0.0156 Hz和0.02 Hz，而本文算法的最大誤差僅為0.0024 Hz。因此，本文算法可在一定程度上降低上述因素的影響。

3.3 頻率波動(dòng)

模擬發(fā)電機(jī)啟機(jī)階段頻率快速變化。取初始頻率 30 Hz，初相角 -10°，頻率變化率 df/dt=10 Hz/s。則頻率及輸入電壓信號(hào)模型為：

其中，ω0=2πf0；ω=2πf。

仿真結(jié)果見(jiàn)表4。從表4可見(jiàn)，本文算法在頻率波動(dòng)時(shí)測(cè)頻精度較高，最大誤差僅為10-6Hz級(jí)。

表4 頻率波動(dòng)時(shí)的頻率誤差Table 4 Frequency error during frequency fluctuation Hz

3.4 頻率非線性波動(dòng)

在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中，頻率有可能非線性變化，即頻率的二階導(dǎo)數(shù)非零。本文對(duì)此情況也進(jìn)行了仿真。 取初始頻率 30Hz，初相角 -10°，df/dt=10Hz/s，d2f/dt2=1 Hz/s2。則頻率及電壓信號(hào)模型為：

仿真結(jié)果見(jiàn)表5。從表5可見(jiàn)，當(dāng)頻率的一階導(dǎo)數(shù)為10 Hz/s，且頻率的二階導(dǎo)數(shù)高達(dá)1 Hz/s2時(shí)，本文算法仍有較高精度，最大誤差僅為10-4Hz級(jí)，可以滿足水電廠和新能源系統(tǒng)的測(cè)頻需要。

表5 頻率非線性波動(dòng)時(shí)的頻率誤差Table 5 Frequency error during frequency nonlinear variation Hz

4 結(jié)論

本文根據(jù)相鄰過(guò)零點(diǎn)的相位關(guān)系，在頻率隨時(shí)間變化條件下，推導(dǎo)出了任意時(shí)刻頻率的計(jì)算公式，并綜合運(yùn)用了牛頓三次插值多項(xiàng)式、牛頓迭代法、三角形相似法等來(lái)精確求解相鄰過(guò)零點(diǎn)之間的周期時(shí)間。本文算法計(jì)算量很小，僅需要28次乘除法、32次加減法。

MATLAB仿真表明，本文算法在頻率波動(dòng)甚至非線性變化時(shí)，測(cè)頻精度可高達(dá)10-4Hz級(jí)；而在純正弦波時(shí)的測(cè)頻精度高達(dá)10-6Hz級(jí)；即使存在諧波和噪聲，測(cè)頻精度也可高達(dá)10-3Hz級(jí)。因此，本文算法具有測(cè)頻精度高、測(cè)頻范圍大、適用面廣、計(jì)算量小、占用內(nèi)存少等優(yōu)點(diǎn)，解決了頻率時(shí)變條件下測(cè)頻算法誤差大的問(wèn)題，并在一定程度上降低了高次諧波、直流分量和噪聲的影響，可以滿足電力系統(tǒng)各種保護(hù)和測(cè)控裝置測(cè)頻需要。

本文推導(dǎo)出的頻率與周期的關(guān)系式也可應(yīng)用于硬件測(cè)頻等其他測(cè)頻算法中。

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