何耀耀，聞才喜，許啟發(fā)

（合肥工業(yè)大學 過程優(yōu)化與智能決策教育部重點實驗室，安徽 合肥 230009）

0 引言

電力是關系到國計民生的重要資源，隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展，對于電力的需求量也在逐年攀升。中期負荷主要指周期為月至年的負荷，如何制定一個合理的、安全有效的中期供電計劃，也顯得越來越重要。中期電力負荷預測不僅對我國經(jīng)濟發(fā)展起著越來越重要的作用，同時也為中期電力負荷調度、計劃提供重要依據(jù)和支持。為了提高電網(wǎng)運行的安全性和經(jīng)濟性、改善供電質量，電力系統(tǒng)調度對中期負荷預測精度的要求不斷提高［1-2］。

隨著現(xiàn)代人工智能方法的快速發(fā)展，很多智能方法運用到電力負荷預測中，例如模糊集［3-4］、粗糙集［5］、專家系統(tǒng)［6］、神經(jīng)網(wǎng)絡［7］、核心向量回歸模型［8］和馬爾科夫-云模型［9］。而傳統(tǒng)方法多采用單一的方法進行預測，用確定的回歸函數(shù)來描述預測的規(guī)律，在復雜的條件因素下顯示出不足。隨著新的智能技術的發(fā)展，針對點預測和區(qū)間預測問題的不同特點，人們不斷研究負荷預測的更先進方法，將不同方法組合在一起形成一些混合預測方法已經(jīng)成為負荷預測研究的新方向［10-13］。然而，傳統(tǒng)的點預測方法僅能獲得未來負荷的一個點值，無法描述未來負荷的波動范圍；區(qū)間預測可以獲得某一置信區(qū)間下的負荷變化區(qū)間，可以在一定程度上反映負荷的波動［14］，但是無法刻畫區(qū)間上各點出現(xiàn)的概率。概率密度預測方法不僅能夠獲得任意置信水平下的預測區(qū)間，還可以得到預測區(qū)間上各點負荷出現(xiàn)的概率值，獲得未來某時刻負荷的概率密度函數(shù)。但是，如何構造未來負荷的概率密度函數(shù)，使得實際負荷能夠接近密度函數(shù)的峰值（眾數(shù)）是當前負荷預測領域研究的難點。

為了獲得未來負荷的概率密度函數(shù)，使得電力系統(tǒng)工作人員能夠更好地了解未來負荷的波動范圍，獲得更多的有用信息，文獻［15］提出了基于徑向基函數(shù)（RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸的短期電力負荷概率密度預測方法，利用條件密度函數(shù)的離散化，實現(xiàn)了可以獲得未來一天任意時刻概率密度預測函數(shù)的短期預測方法；文獻［16］研究了考慮溫度因素的中期電力負荷概率密度預測方法，通過基于雙曲正切Sigmoid函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸方法和高斯核密度估計方法，實現(xiàn)了在考慮溫度影響下獲得未來一個月日最大負荷的概率密度函數(shù)的中期預測方法。這2篇文獻均沒有考慮不同的核函數(shù)和窗寬選擇方法對概率密度預測結果和變化趨勢的影響。然而，中期負荷的波動性使得采用默認窗寬的概率密度預測方法的預測結果難以刻畫中期負荷的走勢。

核函數(shù)和窗寬的選擇對概率密度函數(shù)的形狀和光滑度有較大影響，通過選擇合適的核函數(shù)和窗寬可以使概率密度曲線的眾數(shù)更加接近實際值。本文在運用神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸實現(xiàn)未來某天連續(xù)的負荷預測值（即預測區(qū)間）的基礎上，著重研究了伊番科尼科夫（Epanechnikov）核函數(shù)與最優(yōu)窗寬組合的核密度估計方法來實現(xiàn)未來某天連續(xù)的概率密度曲線（即預測區(qū)間上的概率密度函數(shù)），通過比較得出一種較優(yōu)的組合方式。通過與傳統(tǒng)方法比較，發(fā)現(xiàn)不同的最優(yōu)窗寬組合選擇方法不僅可以獲得連續(xù)的概率密度函數(shù)，還可以克服現(xiàn)有的中期電力負荷概率密度預測方法的預測結果過于接近實際負荷均值的問題。

1 神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸

1.1 神經(jīng)網(wǎng)絡理論

人工神經(jīng)網(wǎng)絡是近年來興起的一種高效的預測方法，對平穩(wěn)的時間序列較為適用，而電力系統(tǒng)中期負荷通常被認為是非平穩(wěn)的時間序列。因此，使用傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡來預測中期電力負荷會產(chǎn)生較大的誤差。但人工神經(jīng)網(wǎng)絡與其他智能方法結合能夠實現(xiàn)更好的預測效果。由于人工神經(jīng)網(wǎng)絡具有很高的自適應性、學習性和強大的魯棒性，對研究分析復雜變量之間的關系具有很強的實際運用能力。人工神經(jīng)網(wǎng)絡常見的分類有RBF、反向傳播（BP）等神經(jīng)網(wǎng)絡。本文運用雙曲正切Sigmoid函數(shù)作為輸入層到隱含層的傳遞函數(shù)［17］，其形式如下：

其中，x為輸入變量；tanhx為隱含層期望輸出值，利用其對網(wǎng)絡進行訓練，使網(wǎng)絡能夠穩(wěn)定下來。雙曲正切函數(shù)具有全局逼近的能力和很強的適應性，同時其對復雜的非線性關系也能夠進行很好的逼近，為研究復雜的系統(tǒng)提供一種很好的方法。

1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸預測方法

分位數(shù)回歸是由Koenker針對傳統(tǒng)線性均值回歸不足提出的一種考察在不同分位點下，響應變量與輸入變量之間線性關系的方法［18］。通過分位數(shù)回歸，在不同分位點下可以得出響應變量與輸入變量之間可能存在一種與均值回歸完全相反的關系［19］。但由于這種回歸仍然是一種線性簡單的回歸，考察響應變量與輸入變量在不同分位點下呈現(xiàn)線性關系，這與現(xiàn)實中存在的非線性關系不相符。因此，Taylor提出基于神經(jīng)網(wǎng)絡的一種非線性分位數(shù)回歸［20］，其表達式為：

其中，QY（θ|X）為響應變量 Y=［Y1，…，Yi，…，YN］在輸入變量 X=［X1，…，Xi，…，XN］給定 θ下的條件分位數(shù)，N 為樣本數(shù)；θ為分位點；U（θ）、V（θ）分別為輸入層到隱含層、隱含層到輸出層的待估計權重矩陣，可通過式（3）進行優(yōu)化估計，得出 U（θ）、V（θ）的最優(yōu)估計值

其中，Uji、Vi分別為輸入層到隱含層、隱含層到輸出層的連接權重；λ1、λ2為模型懲罰參數(shù)，通過確定最優(yōu)懲罰參數(shù)，可以有效防止模型陷入過度擬合，從而提高預測精度，為實際工作提供更好的指導建議。將最優(yōu)估計值代入式（2），得到響應變量條件分位數(shù)估計函數(shù)：

根據(jù)文獻［21］提出的條件分布等價于條件密度，進而可以由條件分布預測進一步進行條件密度預測。本文由分位數(shù)估計函數(shù)在不同分位點下，得到相應的當天日最高電力負荷預測值，將其代入Epanechnikov核密度估計函數(shù)；然后根據(jù)核密度估計和不同的窗寬選擇方法，得出被預測當天電力負荷連續(xù)的概率密度曲線圖；在不同組合方式下，可以得到在最高概率點下不同的預測結果；比較不同組合，最后得到一組較優(yōu)的組合。

2 基于Epanechnikov核密度估計與最優(yōu)窗寬組合的概率密度預測方法

2.1 核密度估計方法

核密度估計主要是運用一組觀測的且來自一個未知分布函數(shù)的隨機變量來估計其密度函數(shù)。但由于核密度估計方法不利用有關數(shù)據(jù)分布的先驗知識，對數(shù)據(jù)分布不附加任何假設條件，是一種僅僅使用樣本數(shù)據(jù)本身進行的預測估計。設隨機變量X的密度函數(shù)為 f（x），由 f（x）=F′（x），根據(jù)核密度估計的基本思想，可以得到f的簡單估計，即：

其中，h=h（n）為非負的一系列常數(shù)；n為待估計的樣本總量；F（x）為隨機變量X的經(jīng)驗分布函數(shù)。當選擇h使得時，可以使得估計的密度函數(shù) fn（x）具有良好的性質。

核密度估計的最本質思想就是通過核密度估計量估計得到合理的密度函數(shù)。常見核密度函數(shù)估計量如下：

其中，K（·）為核函數(shù)，本質上就是權重函數(shù)，且 Kh（x）=K（x/h）/h；h為窗寬，h越大，在 x附近領域出現(xiàn)的概率越大，則估計的密度函數(shù)就越光滑。因此在實際研究中，窗寬選擇對于核密度估計是十分重要的［22］。

2.2 核密度估計函數(shù)

核密度估計常用的核函數(shù)形式比較多，但常用的核函數(shù)有高斯（Gaussian）核、Epanechnikov核、四次方（Biweight）核等。本文選擇 Epanechnikov核作為核密度估計的核函數(shù)，其函數(shù)式為：

其中，I（·）為示性函數(shù)，當括號中的條件為真時 I（·）取值為1，當括號中的條件為假時I（·）取值為0。

2.3 最優(yōu)窗寬選擇方法

在核密度估計中，窗寬h的大小對被估計的隨機變量X密度函數(shù)的影響較大。所取窗寬h越大，則所估計的概率密度函數(shù)越光滑，但其偏差也越大。因此，窗寬選擇對實際概率密度函數(shù)估計有著極其重要的意義。窗寬選擇的本質是實現(xiàn)定量化，使得估計的概率密度函數(shù)的偏差平方與方差之和最小，即：

其中為估計量的偏差為估計量的期望為估計量的方差。 同時由于所以式（8）可以化為：

其中，k1、k2為常數(shù)；n為樣本數(shù)。由此可得最優(yōu)窗寬h*=o（n-0.2），因此在選擇窗寬 h時，應使得

在核密度估計方法的研究中，窗寬的選擇是概率密度預測函數(shù)局部光滑問題中的一個非常重要的問題。目前，有很多確定最優(yōu)窗寬的方法，如拇指原則 ROT（Rule Of Thum）、無偏交叉驗證法 UCV（Unbiased Cross-Validation）以及解方程法sj-STE（Solves The Equation）［23］。

拇指原則由Silveman在1986年提出，之后由Scott進行推廣。本文選擇運用更廣泛的拇指原則中的正態(tài)分布拇指原則（NRD），令sX為樣本的標準差，以樣本標準差的1.06倍為標準，得到最優(yōu)窗寬為：h0=1.06sXn-1/5。拇指原則也就是通過固定標準，根據(jù)樣本標準差，直接獲得最優(yōu)窗寬。

無偏交叉驗證法是通過最小化式（10）獲得最優(yōu)窗寬。

其中為由 K（·）導出的卷積核函數(shù)，只要K（·）的具體形式給出，就能得到的具體表達式。

解方程法是通過Newton-Raphson法求解式（11）獲得最優(yōu)窗寬的［23］。

現(xiàn)場觀摩結束后，新洋豐農藝師在室內會議室，為參會人員詳細地講解茄子高產(chǎn)高效栽培技術要點及洋豐百倍邦套餐肥的優(yōu)勢與特點，農戶們聽后激動不已。海南荊島公司張斌經(jīng)理發(fā)布鉅惠訂貨政策后，農戶們一算賬，用洋豐百倍幫套餐肥不僅茄子長勢比用進口肥更好，而且按活動政策現(xiàn)場訂肥，一畝地投入還要省幾十甚至上百元。

通過上述3種窗寬選擇方法與Epanechnikov核的結合，可以改變傳統(tǒng)的基于高斯核函數(shù)的概率密度預測函數(shù)的形狀，更好地刻畫中期電力負荷的走勢。

在本文的方法中，神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸給出了不同分位點下的預測結果，將其作為核密度估計的輸入，通過不同的窗寬選擇方法獲得更為可靠的概率密度函數(shù)和更優(yōu)的眾數(shù)。相當于核密度估計和窗寬選擇是在神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸的基礎上構造概率密度函數(shù)，并使得實際值出現(xiàn)在概率密度曲線上的概率更高，眾數(shù)的預測結果更接近實際值的走勢，從而提高預測精度和可靠性。

3 算例仿真

3.1 算例描述

本文選取中國某市3月份最后8天的日負荷最大值和4月份共30天歷史日負荷最大值為輸入變量樣本值［2］，通過滾動預測法，以預測當天前7天的歷史日負荷最大值為輸入變量，擬合預測當天的負荷值。以滾動的方式得到31組樣本值，采用神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸，擬合穩(wěn)定較優(yōu)的非線性模型。然后再以訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡，預測出5月份每天連續(xù)分位數(shù)，再將其作為Epanechnikov核函數(shù)的輸入，并通過不同的窗寬估計方法獲取連續(xù)的概率密度函數(shù)。本文選用雙曲正切函數(shù)，輸入層為7，隱含層為1，輸出層為1，為了防止模型陷入過度擬合，模型的懲罰參數(shù)為0.05。選取分位點區(qū)間為［0.0001，0.9999］，間隔為0.005，共200個分位點，即每一個分位點都可以得到一組預測結果，將這些結果作為輸入構造概率密度函數(shù)，并利用密度函數(shù)的眾數(shù)與傳統(tǒng)的點預測方法進行比較。然后以預測獲得的每天最大電力負荷的分位數(shù)為輸入變量，通過Epanechnikov核密度估計方法，得出5月份每天連續(xù)的概率密度曲線圖。

3.2 仿真結果

本文針對神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸方法在不同分位點下的預測結果，運用Epanechnikov核函數(shù)與3種最優(yōu)窗寬選擇方法相組合，獲得預測日最高負荷不同的概率密度曲線圖，其中第 2、7、12、17、22、27 天最高負荷的概率密度曲線如圖1所示。

圖1 Epanechnikov核與不同窗寬選擇方法組合的預測概率密度曲線Fig.1 Predicted probability density curves for three combination modes of Epanechnikov kernel function with selection method of optimal window bandwidth

分析圖1可以看出，無論采用何種最優(yōu)窗寬選擇方法，預測當天實際值都出現(xiàn)在預測得出的當天連續(xù)概率密度曲線圖上，并且第 7、12、17、22、27 天的實際值基本上出現(xiàn)在概率密度曲線上最高概率點附近，沒有發(fā)現(xiàn)在概率密度曲線尾部的情況。

最后通過對圖1的分析可以看出，當拇指原則窗寬選擇方法估計誤差較大時，選擇其他窗寬選擇方法尤其是無偏交叉驗證法，可以得到更優(yōu)的當天的點預測值。為更清楚地對預測結果進行分析，將Epanechnikov核與最優(yōu)窗寬組合在概率密度曲線峰值處（即眾數(shù)）的點預測結果進行比較，如表1所示。

由表1可以得出，當采用Epanechnikov核與3種最優(yōu)窗寬選擇方法組合時，平均絕對誤差分別為3.21%、3.07%、3.10%；最大相對誤差分別為9.95%、10.67%、10.67%；最小相對誤差分別為 0.03%、0.05%、0.21%。雖然拇指原則窗寬選擇方法有14天誤差在3種方法中最低，但由于其有4天的相對誤差的絕對值在8%以上，而其他2種方法均只有2天，導致拇指原則方法的平均絕對誤差最大。而且在采用無偏交叉驗證法與Epanechnikov核進行中期電力負荷概率密度預測時，其平均絕對誤差是最低的，優(yōu)于其他2種組合方式。表2給出了基于Epanechnikov核和高斯核的不同最優(yōu)窗寬組合方法的平均絕對誤差和最大相對誤差，可以發(fā)現(xiàn)基于Epanechnikov核的最優(yōu)窗寬組合明顯優(yōu)于基于高斯核的最優(yōu)窗寬組合方法，無偏交叉驗證法最好，解方程法其次，拇指原則方法最差。

為了充分說明本文最優(yōu)組合方式的優(yōu)勢，對比了基于Epanechnikov核的3種最優(yōu)窗寬選擇方法和文獻［16］中基于高斯核的神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸（NNQRG）方法，結果如圖2所示。由于本文的方法選擇眾數(shù)作為預測結果，故又選擇了BP神經(jīng)網(wǎng)絡、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡、粒子群優(yōu)化-反向傳播（PSO-BP）混合算法及NNQRG方法的預測誤差（采用傳統(tǒng)的高斯核和默認的窗寬）和本文方法進行對比，其中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的參數(shù)與本文的參數(shù)設置一樣；PSO-BP方法種群規(guī)模為30，迭代次數(shù)為100，最大速率為0.2，其他參數(shù)設置與本文一致。不同方法的預測結果和預測誤差如表3、圖2和圖3所示。

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，基于Epanechnikov核的3種最優(yōu)窗寬選擇方法均能較好地刻畫中期電力負荷的走勢，PSO-BP方法和NNQRG方法雖然預測精度與無偏交叉驗證方法相當，但預測值的走勢過于平穩(wěn)，不能有效反映中期電力負荷的波動性。這是因為NNQRG方法采用正態(tài)分布的高斯核函數(shù)默認的窗寬，預測的結果過于接近實際值的均值，雖然預測的平均絕對誤差也較小，但與實際情況明顯不符，無法刻畫中期電力負荷的波動性。從表3可以看出，傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的預測結果與實際值差距較大，預測誤差振蕩較為明顯，PSO-BP方法在考慮溫度因素時與基于無偏交叉驗證法和解方程法的最優(yōu)窗寬組合方法效果相當。圖3給出了基于Epanechnikov核和無偏交叉驗證法組合方法的眾數(shù)與3種傳統(tǒng)點預測方法及NNQRG方法的預測誤差，發(fā)現(xiàn)本文方法獲得的預測誤差處于誤差圖的中間部位，說明該組合具有較好的穩(wěn)定性。因此，本文提出的基于Epanechnikov核的3種窗寬組合方法與其他方法相比效果較好，在更好地反映中期電力負荷趨勢的同時，解決了基于高斯核默認窗寬的概率

密度預測方法無法反映出實際負荷波動性的情況。

表1 Epanechnikov核與不同最優(yōu)窗寬選擇方法組合的眾數(shù)預測結果及相對誤差Table 1 Predicted mode values and relative errors for three combination modes of Epanechnikov kernel function

表2 Epanechnikov核與高斯核的預測誤差Table 2 Prediction errors of Epanechnikov kernel function and Gaussian kernel function %

圖2 PSO-BP方法與不同窗寬選擇方法的預測結果Fig.2 Results predicted by PSO-BP and different selection methods of window bandwidth

表3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡、PSO-BP及NNQRG方法的預測誤差Table 3 Prediction errors of BP neural network，RBF neural network，PSO-BP and NNQRG methods %

圖3 中期負荷預測誤差Fig.3 Error curves of mid-term load forecast

4 結論

本文采用雙曲正切型Sigmoid函數(shù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡分位數(shù)回歸的輸入函數(shù)，獲得預測某月各天最大負荷連續(xù)的分位數(shù)，再通過核密度估計法，以Epanechnikov核與3種最優(yōu)窗寬選擇方法相組合來估計當天連續(xù)的概率密度曲線。本文比較了Epanechnikov核與3種最優(yōu)窗寬選擇方法組合，獲得預測當天連續(xù)的概率密度曲線，并將眾數(shù)的預測誤差與基于高斯核的最優(yōu)窗寬組合方法進行了比較。同時，將獲得的最優(yōu)組合方式與傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡、PSO-BP方法及文獻［16］提出的NNQRG概率密度預測方法進行了對比，得出以下結論。

（1）通過比較，在選取Epanechnikov核函數(shù)與3種最優(yōu)窗寬選擇方法組合時，會使得預測當天連續(xù)的概率密度曲線形狀和刻度發(fā)生變化。3種組合方式對概率密度曲線呈現(xiàn)正態(tài)性分布時能夠取得較好的刻畫效果，但當預測當天不是正態(tài)性分布時，拇指原則方法的效果不如其他2種方法。

（2）在選擇最優(yōu)組合形式時，當選擇Epanechnikov核與3種不同的最優(yōu)窗寬組合方法時，取得的點預測效果，比NNQRG方法采用默認窗寬在考慮溫度因素時取得的預測效果都要好，Epanechnikov核函數(shù)與無偏差交叉驗證法相結合時，得出的平均絕對誤差為3.07%，優(yōu)于其他預測方法。NNQRG方法和PSO-BP方法是通過增加溫度因子提高了預測精度，但預測結果過于平穩(wěn)。這充分說明了本文提出的3種組合方法在僅使用歷史電力負荷的情況下提高了負荷預測的精度，并克服了已有的中期電力負荷預測方法無法刻畫中期負荷走勢的問題。

（3）通過比較不同預測方法獲得的預測值及預測誤差可以看出，本文組合方法對中期電力負荷的走勢預測比較準確，而且刻畫每天電力負荷概率密度曲線比較詳細，可以更好反映中期電力負荷的波動性，體現(xiàn)了本文所提出的概率密度預測方法的優(yōu)勢。通過密度曲線上的眾數(shù)的點預測結果對預測效果進行評估，如果實際值距離眾數(shù)較近，則可更好地刻畫中期電力負荷的走勢，說明該方法更可靠。

（4）確定型的預測結果雖然更有利于實際應用，但是概率密度預測方法可以在區(qū)間預測的基礎上給出區(qū)間各點出現(xiàn)的概率。如果樣本的實際值能夠全部出現(xiàn)在概率密度曲線上，則可以在獲得更多信息的同時，更好地反映電力負荷的不確定性。此外，可以將概率密度曲線的眾數(shù)預測結果作為和其他確定型的點預測方法對比的標準。預測的結果越接近眾數(shù)，則其越能反映電力負荷的走勢。

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