曹 佳，嚴(yán) 正，李建華，曹 路

（1.上海交通大學(xué) 電氣工程系 電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室，上海 200240；2.華東電網(wǎng)有限公司，上海 200120）

0 引言

隨著高壓直流輸電線的接入和新能源的并網(wǎng)，現(xiàn)代電力系統(tǒng)運行工況相較傳統(tǒng)電網(wǎng)變得更復(fù)雜、多變、不確定。如何針對不確定的多運行方式條件下獲得電網(wǎng)的潮流分布，是電力運行部門亟待解決的問題。概率潮流PPF（Probabilistic Power Flow）計算能夠計及電力系統(tǒng)運行中隨機變量的不確定性和相關(guān)性，是獲得輸出變量概率分布的有效分析方法［1］。因此，考慮電力系統(tǒng)運行中隨機變量的波動程度以及相關(guān)性的概率潮流計算具有一定的研究意義。

目前，國內(nèi)外專家、學(xué)者在概率潮流相關(guān)性和求解算法等問題上已經(jīng)取得一定的研究成果。在相關(guān)性問題上：文獻(xiàn)［2］采用喬列斯基因子分解的方法生成具有指定相關(guān)系數(shù)的樣本，從而研究負(fù)荷、發(fā)電機出力相關(guān)性對概率潮流結(jié)果的影響；文獻(xiàn)［3］通過求取節(jié)點注入量之間的協(xié)方差矩陣，計及節(jié)點注入量之間的相關(guān)性，對交直流系統(tǒng)進行概率潮流計算；文獻(xiàn)［4-5］提出的多項式正態(tài)變換方法，能夠處理含非正態(tài)相關(guān)隨機變量的概率潮流問題；文獻(xiàn)［6］采用Spearman秩相關(guān)系數(shù)表示輸入隨機變量間的相關(guān)性，并提出結(jié)合遺傳算法的改進拉丁超立方采樣方法進行概率潮流計算；文獻(xiàn)［7］通過對多維獨立隨機變量進行線性變換，得到具有任意相關(guān)性的多維隨機樣本，研究風(fēng)速的相關(guān)性對概率潮流結(jié)果的影響。在求解方法上：基于隨機抽樣的蒙特卡羅模擬法和基于分層抽樣的拉丁超立方抽樣法［8-13］、基于近似法的點估計方法和一次二階矩法［14-18］、基于解析法的半不變量法［19-20］已經(jīng)成熟應(yīng)用于概率潮流的求解。文獻(xiàn)［12］針對傳統(tǒng)拉丁超立方采樣算法采樣數(shù)必須事先確定且固定的問題，提出擴展拉丁超立方采樣算法。文獻(xiàn)［16］基于點估計方法提出一種考慮風(fēng)速有界性的概率潮流方法，解決了點估計方法可能產(chǎn)生超出邊界采樣值的問題。文獻(xiàn)［19］基于半不變量的概率潮流法研究不同天氣狀況下含風(fēng)電場電力系統(tǒng)的潮流變化情況。

基于復(fù)雜相關(guān)性處理技術(shù)和改進的概率潮流算法，使得概率潮流計算能夠處理復(fù)雜變量之間的相關(guān)性以及提高計算精度和計算效率，但是仍然面臨著一些沒有解決的問題。如何在含風(fēng)電場交直流混聯(lián)電力系統(tǒng)的背景下，考慮輸電線路的隨機故障并同時考慮不確定因素之間相關(guān)性以及波動程度，獲得輸出變量較為精確的概率分布，即減少計算中潮流發(fā)散的次數(shù)是需要解決的首要問題。本文首先構(gòu)建了含風(fēng)電場交直流混聯(lián)電力系統(tǒng)概率潮流計算模型，通過喬列斯基因子分解法考慮負(fù)荷之間的相關(guān)性和通過構(gòu)造Copula函數(shù)考慮風(fēng)電場風(fēng)速之間的相關(guān)性，并考慮了輸電線路的隨機故障。然后，采用交替迭代法進行常規(guī)交直流潮流計算，并采用改進的 LM（Levenberg-Marquardt）［21-22］方法求解常規(guī)非線性潮流方程組。最后，采用蒙特卡羅模擬法求解概率潮流問題。

1 含風(fēng)電場交直流混聯(lián)系統(tǒng)概率潮流模型

1.1 概率潮流方程

對于一個N節(jié)點風(fēng)電并網(wǎng)交直流混聯(lián)系統(tǒng)，假設(shè)風(fēng)電場連接在節(jié)點i，且風(fēng)電場中的風(fēng)力發(fā)電機均采用雙饋感應(yīng)發(fā)電機，其無功功率的消耗可由控制器補償。因此，風(fēng)電場可采用恒功率因數(shù)的控制方式，功率因數(shù)保持為 1.0［4，6，23］。 風(fēng)力發(fā)電機提供的有功功率Pwi是一個受風(fēng)速波動變化的隨機變量，與風(fēng)速 Vi的關(guān)系近似如圖 1 所示，Vci、Vr、Vco分別為切入風(fēng)速、額定風(fēng)速、切出風(fēng)速，Pr為風(fēng)機提供的額定有功功率。

圖1 風(fēng)電有功出力曲線圖Fig.1 Active power output of wind turbine

概率潮流方程可以用概率交流潮流方程（1）和概率直流系統(tǒng)方程（2）共同描述［24］。

其中，PGi、QGi分別為第i臺發(fā)電機的有功出力、無功出力；PDi、QDi分別為系統(tǒng)節(jié)點有功負(fù)荷、無功負(fù)荷；Ui為節(jié)點電壓幅值；Gij、Bij、θij分別為節(jié)點 i與 j之間的互電導(dǎo)、互電納和相角差；Udk為直流電壓；Idk為直流電流；φk為功率因數(shù)角；kTk為直流輸電線中的變壓器變比值；θdk為換流器觸發(fā)角 αr或熄弧角 γi；kr近似為常數(shù) 0.995［24］；gdkj為直流輸電線 kj之間的電導(dǎo)值；nc為直流節(jié)點的數(shù)目；Xck為換相電抗。式（1）中正、負(fù)號分別對應(yīng)逆變器和整流器；式（2）中的第4和第5個公式為換流器的控制方程，對于換流器不同的控制方式，每個換流器需指定2個獨立的控制變量，使直流方程的個數(shù)等于直流變量需要求解的個數(shù)。

考慮到模型中風(fēng)速Vi、負(fù)荷有功功率PDi、負(fù)荷無功功率 QDi的不確定性，輸出變量 Ui、θi和 Udk、Idk、kTk、θdk、φk均具有概率特征，其統(tǒng)計特性可以用其數(shù)字特征進行描述，稱式（1）和式（2）為含風(fēng)電場交直流混聯(lián)系統(tǒng)的概率潮流模型。

1.2 交替迭代法

針對隨機變量波動變化每一次特定的取值，交直流混聯(lián)系統(tǒng)的潮流方程可以采用交替迭代法進行求解。通過一階泰勒展開，交流潮流方程（1）和直流系統(tǒng)方程（2）均可以寫成：

其中，ΔF為非線性方程組的殘差量；J為非線性方程組的雅可比矩陣；ΔX為所求變量的迭代步長。對于交流潮流方程（1），直流系統(tǒng)等價為已知恒定功率的負(fù)荷；對于直流系統(tǒng)方程（2），交流系統(tǒng)等價為換流器交流母線上的恒定電壓［24］。交替迭代法具體的迭代步驟如下。

a.平啟動，根據(jù)交流側(cè)節(jié)點電壓信息，通過式（2）估算直流變量的信息

b.分別計算換流器吸收或消耗的有功功率Pidc=UdkIdk與無功功率Qidc=UdkIdktanφk。通過計算潮流方程（1）和對應(yīng)的非線性方程組（3），得到交流節(jié)點電壓和相角更新的值

c.計算與換流器相連的交流節(jié)點電壓前后迭代的二范數(shù)如果τ值小于收斂精度ε，迭代結(jié)束；否則轉(zhuǎn)入步驟d。

d.根據(jù)更新的交流節(jié)點電壓值通過計算直流系統(tǒng)方程（2）和對應(yīng)的非線性方程組（3），得到直流變量更新的值

e.更新迭代次數(shù)Itei=Itei+1，返回步驟b。

2 改進的LM方法

針對概率潮流模型中，隨機變量在不同波動程度取值的情況下，牛頓法對此特定工況運行條件下求解非線性方程組可能出現(xiàn)潮流不收斂的問題，本文采用具有魯棒性的LM方法求解潮流非線性方程組［21-22，25-29］。 首先，原始的 LM 方法求解交直流系統(tǒng)的非線性方程組可以表示為：

其中，μn為阻尼因子。 文獻(xiàn)［21-22，25-29］在已有的LM方法的基礎(chǔ)上，通過引入具有自適應(yīng)特性的阻尼因子，提出了改進的LM方法，并證明了該方法的收斂性。改進的LM方法不僅能夠改變迭代方向，還能同時改變迭代步長，能夠有效求解“病態(tài)”非線性方程組。該方法具有不受初始點選取的影響、魯棒性強、在非線性方程組無解時仍能得到最小二乘解的特點，已經(jīng)開始應(yīng)用于電力系統(tǒng)潮流計算領(lǐng)域。并且在潮流方程雅可比矩陣接近奇異時，通過自適應(yīng)阻尼因子的調(diào)整，使得迭代過程能夠有效避開奇異區(qū)域，以避免因雅可比矩陣接近奇異從而導(dǎo)致潮流發(fā)散。 該方法的簡要步驟如下［21-22，26］。

a.置初始迭代次數(shù)n=1，收斂精度ε，自適應(yīng)因子 α1及常數(shù) m、P0、P1、P2，并要求 α1＞m＞0，0＜P0≤P1≤P2＜1。

b.若成立，計算結(jié)束；否則根據(jù)式（5）計算得到LM下降迭代步dn，其中αn稱為自適應(yīng)因子。

再根據(jù)式（6）計算得到 yn和近似下降迭代步

置迭代步sn定義為式（7）。

c.根據(jù)式（8）計算迭代步取舍指標(biāo) ρn：

再根據(jù)式（9）判斷是否接受迭代步sn。

d.根據(jù)式（10）更新自適應(yīng)因子 αn。

e.返回步驟b，更新迭代次數(shù)n=n+1。

3 蒙特卡羅方法求解概率潮流

3.1 相關(guān)性的生成

首先，假設(shè)系統(tǒng)中負(fù)荷的功率因數(shù)保持不變，根據(jù)負(fù)荷的原始數(shù)據(jù)計算得到負(fù)荷功率因數(shù)。因此，只要負(fù)荷有功功率確定，負(fù)荷無功功率就能確定。假設(shè)所有負(fù)荷之間存在線性相關(guān)性，并設(shè)定線性相關(guān)系數(shù)為0.9，通過采用喬列斯基因子分解［2］的方法生成具有指定相關(guān)系數(shù)的負(fù)荷樣本。標(biāo)準(zhǔn)差σ設(shè)定為期望的不同百分?jǐn)?shù)，即構(gòu)造了負(fù)荷波動的不同程度。

根據(jù)已有風(fēng)電場風(fēng)速的歷史數(shù)據(jù)，采用參數(shù)估計法中的不同分布模型，通過優(yōu)度擬合檢驗方法，選擇最優(yōu)的分布函數(shù)模型得到風(fēng)電場風(fēng)速的分布函數(shù)。針對不同風(fēng)電場風(fēng)速之間存在著非線性相關(guān)性的特點，本文采用Copula函數(shù)［30］構(gòu)造不同風(fēng)電場風(fēng)速之間的聯(lián)合分布，從而考慮不同風(fēng)電場風(fēng)速之間的非線性相關(guān)性。通過Copula函數(shù)擬合優(yōu)度檢驗方法中的QQ圖法，選取最合適的Copula函數(shù)構(gòu)造不同風(fēng)電場風(fēng)速之間的聯(lián)合分布函數(shù)。

3.2 蒙特卡羅方法

本文考慮了電網(wǎng)中輸電線路的隨機故障，假設(shè)每條輸電線路發(fā)生故障的概率服從0-1分布，即每條線路發(fā)生故障的概率為λ=0.01。并且，本文還考慮了不確定性因素之間的相關(guān)性以及不確定性因素的不同波動程度。采用蒙特卡羅模擬方法求解含風(fēng)電場交直流混聯(lián)系統(tǒng)概率潮流問題，其主要步驟如下。

步驟1根據(jù)參數(shù)估計法得到風(fēng)電場風(fēng)速的分布函數(shù)，構(gòu)造最優(yōu)Copula函數(shù)得到不同風(fēng)電場風(fēng)速之間的聯(lián)合分布函數(shù)。在聯(lián)合分布函數(shù)模型下，生成各個風(fēng)電場1000組風(fēng)速樣本數(shù)據(jù)。根據(jù)圖1，將生成的風(fēng)速數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成風(fēng)電機組提供的有功功率Pwi。

步驟2將所有有功負(fù)荷在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間隨機抽取1000組樣本，并將其進行喬列斯基因子分解，得到具有指定相關(guān)系數(shù)的樣本。根據(jù)輸入有功負(fù)荷的期望與標(biāo)準(zhǔn)差σ，將具有互相關(guān)性的有功負(fù)荷樣本從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間轉(zhuǎn)化到非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間。

步驟3根據(jù)負(fù)荷功率因數(shù)保持不變，由有功負(fù)荷的樣本即能確定無功負(fù)荷的樣本。

步驟4對每條輸電線路進行隨機故障模擬，并去掉發(fā)生故障的輸電線路。

步驟5采用交替迭代法求解常規(guī)潮流計算問題，并采用改進的LM方法求解其中的非線性方程組。

步驟6通過每一次常規(guī)潮流計算得到交流節(jié)點 Ui、θi和直流 Ud、Id、kTk、θdk、φk等變量信息。

步驟7判斷蒙特卡羅模擬所需的1000次常規(guī)潮流計算是否完成。若完成，則對計算結(jié)果進行統(tǒng)計并求出輸出變量信息的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差；否則，轉(zhuǎn)入步驟4進行下一次常規(guī)潮流計算。

4 算例分析

本文將含風(fēng)電場交直流混聯(lián)電力系統(tǒng)概率潮流計算模型應(yīng)用于改進IEEE 118節(jié)點測試系統(tǒng)。計算環(huán)境為：3.20 GHz，4.00 GB RAM，MATLABR 2010a。所有數(shù)據(jù)均以標(biāo)幺值形式給出，功率基準(zhǔn)值為100 MV·A。采用甘肅酒泉風(fēng)電基地的干河口、橋灣2個風(fēng)電場風(fēng)速數(shù)據(jù)。每個風(fēng)電場額定容量為30×600 kW。將等值的風(fēng)電場分別接在IEEE 118節(jié)點測試系統(tǒng)的節(jié)點 51、114。 風(fēng)電機組的 Vci、Vr、Vco分別為 3m /s、13.5 m /s、20 m /s。為了檢驗改進 LM 方法求解非線性方程組的魯棒性，同樣采用牛頓法求解相應(yīng)非線性方程組。文獻(xiàn)［21-22］給出了改進LM算法中的相關(guān)參數(shù)。

本文將原始IEEE 118節(jié)點測試系統(tǒng)中的節(jié)點94與95相連的交流輸電線更換成直流輸電線，并在節(jié)點94新增導(dǎo)納標(biāo)幺值為2.1的并聯(lián)電容。與節(jié)點94和95相連的換流器分別為整流器與逆變器。整流側(cè)與逆變側(cè)的換相電抗Xc1=Xc2=0.013，直流線路等效電阻為R=0.0388。整流側(cè)控制方式為定功率Pdr=1.5，定延遲觸發(fā)角αr=24.076722°，逆變側(cè)控制方式為定電壓Udi=0.938 4，定超前熄弧角γi=23.921763°［24］。

首先，采用參數(shù)估計法得出風(fēng)電場風(fēng)速的分布函數(shù)。表1給出不同參數(shù)分布下的最優(yōu)參數(shù)估計以及與經(jīng)驗分布函數(shù)之間的無窮范數(shù)值d=‖·‖∞。根據(jù)d值的大小，可以檢驗最優(yōu)參數(shù)分布函數(shù)擬合的優(yōu)劣程度，以及選出最優(yōu)的參數(shù)分布函數(shù)。

表1 不同參數(shù)分布函數(shù)下的最優(yōu)參數(shù)估計Table 1 Optimal parameter estimation for different parameter distribution functions

從表1中可以看出，不同參數(shù)分布函數(shù)與經(jīng)驗分布函數(shù)之間存在差異。從d值的大小可以判斷，威布爾分布函數(shù)與經(jīng)驗分布函數(shù)之間的d值最小，故選擇威布爾分布函數(shù)能夠較好地描述干河口與橋灣地區(qū)風(fēng)電場風(fēng)速的分布情況。從圖2和圖3可以看出，通過最優(yōu)參數(shù)估計得到風(fēng)電場風(fēng)速分布的累積分布函數(shù)CDF（Cummulative Distribution Function）圖與其經(jīng)驗分布十分接近，從而進一步證實威布爾分布能夠較好地反映出該特定地區(qū)風(fēng)電場風(fēng)速的分布情況。因此，根據(jù)得到風(fēng)電場最優(yōu)參數(shù)分布函數(shù)，可以采用Copula函數(shù)構(gòu)造不同風(fēng)電場之間具有相關(guān)性的聯(lián)合分布函數(shù)。通過Copula函數(shù)擬合優(yōu)度檢驗方法中的QQ圖，確定選擇T-Copula函數(shù)描述風(fēng)電場之間的聯(lián)合分布函數(shù)，相應(yīng)參數(shù)為Tθ=0.536 4，Tk=9.7829，圖 4給出了T-Copula函數(shù)描述風(fēng)電場風(fēng)速之間的聯(lián)合分布函數(shù)圖。

圖2 干河口地區(qū)風(fēng)速的CDF圖Fig.2 CDF of wind speed of Ganhekou district

圖3 橋灣地區(qū)風(fēng)速的CDF圖Fig.3 CDF of wind speed of Qiaowan district

圖4 風(fēng)電場風(fēng)速之間的聯(lián)合分布圖Fig.4 Joint wind speed distribution of two wind farms

為了研究不確定性因素之間的相關(guān)性及其波動程度對概率潮流結(jié)果的影響，設(shè)定負(fù)荷波動的標(biāo)準(zhǔn)差σ為其期望值的不同百分?jǐn)?shù)。針對不同的標(biāo)準(zhǔn)差σ，分別統(tǒng)計由牛頓法和改進LM方法求解常規(guī)非線性方程組收斂從而潮流收斂的次數(shù)，以及2種算法得到結(jié)果的相對誤差。相對誤差定義為式（11）和式（12），其中x具體代表概率潮流結(jié)果中的交流變量U、θ與直流變量 Udk、Idk、kTk、θdk、φdk。

從表2可以看出，隨著負(fù)荷波動程度的增大，牛頓法得到的收斂次數(shù)呈現(xiàn)明顯的減少，但是改進LM方法得到的收斂次數(shù)卻變化不大，由此說明改進LM方法具有較好的數(shù)值魯棒性，能夠很好地適用于不確定性因素波動程度較大的概率潮流計算。從表3可以看出，隨著波動程度的增大，變量均值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差逐漸增大，且大部分標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差均大于期望的相對誤差，特別是以交流節(jié)點電壓相角θ的相對誤差最為顯著。由此進一步證實在波動程度較大時，2種算法得到的結(jié)果存在差異性，采用改進LM方法更能反映出真實的概率潮流結(jié)果。

表2 不同σ下概率潮流收斂次數(shù)Table 2 Convergence times of PPF for different values of σ

表3 不同σ下2種算法得到概率潮流的誤差Table 3 Relative errors of PPF between two algorithms for different values of σ

為了進一步觀察在不同波動程度下的概率潮流結(jié)果，表4給出在σ=1.0時概率潮流結(jié)果中的直流變量信息，圖5—8給出在不同σ取值下各節(jié)點電壓幅值、相角的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，圖9—12給出采用核密度估計方法在不同σ取值下風(fēng)電場接入節(jié)點注入有功功率的概率密度函數(shù)PDF（Probability DensityFunction）圖和 CDF圖。

表4 σ=1.0時的直流變量信息Table 4 Information of DC variables when σ=1.0

圖5 不同σ下的交流節(jié)點電壓幅值期望圖Fig.5 Expected voltage amplitude of AC nodes for different values of σ

圖6 不同σ下的交流節(jié)點電壓幅值的標(biāo)準(zhǔn)差圖Fig.6 Standard deviation of voltage amplitude of AC nodes for different values of σ

圖7 不同σ下的交流節(jié)點電壓相角期望圖Fig.7 Expected voltage phase-angle of AC nodes for different values of σ

圖8 不同σ下的交流節(jié)點電壓相角標(biāo)準(zhǔn)差圖Fig.8 Standard deviation of voltage phase-angle of AC nodes for different values of σ

圖9 不同σ下節(jié)點51注入有功功率的PDF圖Fig.9 PDF of active power injection at Node 51 for different values of σ

圖10 不同σ下節(jié)點51注入有功功率的CDF圖Fig.10 CDF of active power injection at Node 51 for different values of σ

圖11 不同σ下節(jié)點114注入有功功率的PDF圖Fig.11 PDF of active power injection at Node 114 for different values of σ

圖12 不同σ下節(jié)點114注入有功功率的CDF圖Fig.12 CDF of active power injection at Node 114 for different values of σ

從表4可以看出，在控制方式確定的情形下，負(fù)荷的不同波動程度主要影響直流變量中的變壓器變比值，而對其他直流變量影響不大。這主要是受交流電壓幅值波動的影響，因為在交替迭代法中，換流器基本方程中Δd1k、Δd2k存在與交流電壓Ui耦合的關(guān)系，而剩余方程 Δd3k、Δd4k、Δd5k與交流部分存在解耦的關(guān)系。從圖5—8可以看出，負(fù)荷不同波動程度下節(jié)點電壓幅值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差差別不大，這也與表3中2種算法得到結(jié)果的誤差較小相符合。但在波動程度大的情況下，2種算法求解得到的節(jié)點電壓相角的均值和標(biāo)準(zhǔn)差差異顯著。由此說明2種算法得到系統(tǒng)有功潮流分布存在差異，并且再次證實改進LM方法求解非線性方程組的強魯棒性。從圖9—12可以看出，在不同波動程度下，2種算法得到風(fēng)電接入節(jié)點的注入有功功率的PDF和CDF同樣存在著明顯差異，若以牛頓法計算每一次常規(guī)潮流，將不能得到完全真實的信息。因此，在對計算結(jié)果精度要求較高的情況下，選擇改進LM方法計算每一次常規(guī)潮流非線性方程組不失為一個不錯的選擇。

5 結(jié)論

本文建立了含風(fēng)電場交直流混聯(lián)系統(tǒng)的概率潮流模型，采用交替迭代法進行每一次常規(guī)潮流計算，并采用改進LM方法進行潮流非線性方程組的求解?？紤]了模型中不確定性因素之間的相關(guān)性和輸電線路的隨機故障，同時研究了負(fù)荷在不同波動程度下牛頓法和改進LM算法計算得到的潮流收斂的次數(shù)，以及對概率潮流結(jié)果的影響，并獲得以下相關(guān)結(jié)論：

（1）改進LM方法具有良好的魯棒性，且?guī)缀醪皇茇?fù)荷波動程度的影響，增加蒙特卡羅模擬方法求解概率潮流計算收斂的次數(shù)，能夠得到較精確的概率潮流結(jié)果；

（2）負(fù)荷波動程度主要影響交流節(jié)點電壓相角的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，特別是在波動程度大的情況下效果更顯著，而對概率潮流中的其他變量信息的影響不明顯。

致 謝

本文的研究工作得到上海交通大學(xué)國家能源智能電網(wǎng)（上海）研發(fā)中心的支持，謹(jǐn)此致謝！

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