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        Cauchy-Drygas型函數(shù)方程的Ulam穩(wěn)定性

        2016-05-22 02:15:41宋愛民
        關(guān)鍵詞:中令型函數(shù)變?cè)?/a>

        宋愛民

        (甘肅民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 甘南 甘肅 747000)

        Cauchy-Drygas型函數(shù)方程的Ulam穩(wěn)定性

        宋愛民

        (甘肅民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 甘南 甘肅 747000)

        給出Cauchy-Drygas型函數(shù)方程f(x1+x2,y1+y2)+f(x1+x2,y1-y2)=2f(x1,y1)+2f(x2,y1)+f(x1,y2)+f(x2,y2)+f(x1,-y2)+f(x2,-y2)的定義,并得到其一般解,同時(shí),進(jìn)一步討論Cauchy-Drygas型函數(shù)方程與混合二次-三次函數(shù)方程的關(guān)系,并在Banach空間及模糊賦范空間上討論它的Ulam穩(wěn)定性.

        Cauchy-Drygas型函數(shù)方程; Banach空間; 模糊賦范空間; Ulam穩(wěn)定性

        1 問題的提出

        對(duì)于一個(gè)給定的算子T,及T的一個(gè)解集{μ}滿足T(μ)=0,考慮若存在ε>0滿足‖T(υ)‖≤ε,則是否存在μ及δ>0使得‖μ-υ‖≤δ(ε)成立.這一問題首先由S. M. Ulam[1]提出,所以也稱之為函數(shù)方程的Ulam穩(wěn)定性問題.D. H. Hyers[2]解決了Banach空間中近似Cauchy映射的Ulam穩(wěn)定性問題.Th. M. Rassias[3]將這種穩(wěn)定性推廣到廣義Hyers-Ulam-Rassias穩(wěn)定性.后來人們研究了各種映射的Ulam穩(wěn)定性如文獻(xiàn)[4-9].

        始終設(shè)X和Y表示實(shí)向量空間.稱映射f:X→Y為Cauchy映射(或可加映射),若其滿足下列函數(shù)方程

        f(x+y)=f(x)+f(y),

        (1)

        稱映射f:X→Y為Drygas映射,若其滿足函數(shù)方程

        f(x+y)+f(x-y)=

        2f(x)+f(y)+f(-y),

        (2)

        Drygas函數(shù)方程是H.Drygas[10]為了描述擬內(nèi)積空間而引入的函數(shù)方程,對(duì)于解決一些統(tǒng)計(jì)學(xué)上的問題起到過非常重要的作用.B. R. Ebanks[11]進(jìn)一步等給出了Drygas函數(shù)方程的一般解.

        引理 1.1 映射f:X→Y滿足Drygas函數(shù)方程當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)可加映射A:X→Y及一個(gè)對(duì)稱,雙可加的映射H:X2→Y,使得對(duì)任意的x∈X都有f(x)=H(x,x)+A(x).

        證明 必要性 見文獻(xiàn)[11].

        充分性 若f:X→Y滿足條件,則對(duì)?x,y∈X有

        f(x+y)+f(x-y)-2f(x)-f(y)-f(-y)=

        H(x+y,x+y)+H(x-y,x-y)-

        2H(x,x)-H(y,y)-H(-y,-y)+

        A(x+y)+A(x-y)-

        2A(x)-A(y)-A(-y)=0,

        從而充分性得證.事實(shí)上,

        I.S.Chang等[12]給出了混合二次-三次方程

        6f(x+y)-6f(x-y)+4f(3y)=

        3f(x+2y)-3f(x-2y)+9f(2y)

        (3)

        在Banach空間的穩(wěn)定性并得到其一般解.

        引理 1.2 映射f:X→Y滿足混合二次-三次函數(shù)方程當(dāng)且僅當(dāng)存在1個(gè)二元對(duì)稱,可加映射Q:X2→Y及1個(gè)三元對(duì)稱,可加的映射C:X3→Y,使得對(duì)任意的x∈X都有

        f(x)=Q(x,x)+C(x,x,x).

        事實(shí)上,此處

        近年人們開始研究多元函數(shù)方程的穩(wěn)定性,如M.E.Gordji等[13]討論了三次-四次函數(shù)方程的Ulam穩(wěn)定性;N. Abbas等[14]討論了多元混合函數(shù)方程在Banach模上的穩(wěn)定性;Y. J. Cho等[15]討論了混合可加-三次-四次函數(shù)方程在隨機(jī)非阿基米德空間的穩(wěn)定性.

        本文在上述研究的基礎(chǔ)上,定義了Cauchy-Drygas型函數(shù)方程,并得到了它的一般解及其與混合二次-三次函數(shù)方程的關(guān)系,最后討論了其在Banach空間以及模糊賦范空間上的Ulam穩(wěn)定性.

        定義 1.3 映射f:X2→Y稱為Cauchy-Drygas型函數(shù)是指任給x1,x2,y1,y2∈X都滿足下列混合Cauchy-Drygas型函數(shù)方程:

        f(x1+x2,y1+y2)+f(x1+x2,y1-y2)=

        2f(x1,y1)+2f(x2,y1)+f(x1,y2)+

        f(x2,y2)+f(x1,-y2)+f(x2,-y2).

        (4)

        2 函數(shù)方程(4)的一般解及其與(3)的關(guān)系

        引理 2.1 映射f:X2→Y滿足方程(4)當(dāng)且僅當(dāng)f關(guān)于第一個(gè)變?cè)荂auchy的,關(guān)于第二個(gè)變?cè)荄rygas的.即對(duì)任意的x1,x2,y1,y2都有

        f(x1+x2,y)=f(x1,y)+f(x2,y),

        f(x,y1+y2)+f(x,y1-y2)=

        2f(x,y1)+f(x,y2)+f(x,-y2).

        證明 充分性 顯然.下證必要性

        必要性 設(shè)f:X2→Y滿足方程(4),在方程(4)中令x1=x2=y1=y2=0,顯然有f(0,0)=0;在方程(4)中令x2=y1=y2=0,顯然有f(x1,0)=0;在方程(4)中令y2=0,則有2f(x1+x2,y1)=2f(x1,y1)+2f(x2,y1),即f(x1+x2,y1)=f(x1,y1)+f(x2,y1),從而f關(guān)于第一個(gè)變?cè)荂auchy(可加)的.

        在方程(4)中令x1=x2=y2=0,可得f(0,y1)=0;在方程(4)中令x2=0,則有f(x1,y1+y2)+f(x1,y1-y2)=2f(x1,y1)+f(x1,y2)+f(x1,-y2),從而f關(guān)于第二個(gè)變?cè)荄rygas的.

        定理 1.2 映射f:X2→Y滿足方程(4)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)三元映射F:X3→Y及一個(gè)二元映射B:X2→Y,其中F關(guān)于第一個(gè)變量可加,關(guān)于后兩個(gè)變量對(duì)稱,可加;B關(guān)于2個(gè)變量分別可加,且滿足f(x,y)=F(x,y,y)+B(x,y).

        證明 必要性 設(shè)f滿足方程(4),定義映射F:X3→Y,B:X2→Y,對(duì)?x1,y1,y2∈X令

        F(x1,y1,y2)=

        顯然,由f關(guān)于第一個(gè)變?cè)荂auchy的,固定y1,y2,則F關(guān)于第一個(gè)變量顯然是可加的;又由引理1.1中關(guān)于H的定義可知,F關(guān)于后兩個(gè)變量是對(duì)稱,可加的.類似的由f關(guān)于第一個(gè)變?cè)荂auchy的,固定y1,則B關(guān)于第一個(gè)變量顯然是可加的;由引理1.1中關(guān)于A的定義可知,B關(guān)于第二個(gè)變量是可加的,且

        f(x,y)+f(x,y)-f(x,-y)]=

        由于f關(guān)于第二個(gè)變?cè)荄rygas的,從而f(x,2y)=2f(x,y)+f(x,y)+f(x,-y),也即F(x,y,y)+B(x,y)=f(x,y),必要性得證.

        充分性 若存在滿足條件的映射F:X3→Y,B:X2→Y則由f(x,y)=F(x,y,y)+B(x,y),固定y,則F關(guān)于第一個(gè)變量可加,B關(guān)于第一個(gè)變量可加,從而f關(guān)于第一個(gè)變?cè)荂auchy的.固定x,則F關(guān)于后2個(gè)變量對(duì)稱,可加,B關(guān)于后一個(gè)變量可加,由引理1.1,f關(guān)于第二個(gè)變?cè)荄rygas的,定理得證.

        推論 2.3 設(shè)f:X2→Y是Cauchy-Drygas的,定義g:X→Y,g(x)=f(x,x),則g為混合二次-三次函數(shù).

        證明 由定理2.2,存在一個(gè)三元映射F:X3→Y及一個(gè)二元映射B:X2→Y,其中F關(guān)于第一個(gè)變量可加,關(guān)于后2個(gè)變量對(duì)稱,可加;B關(guān)于第一個(gè)變量可加,關(guān)于第二個(gè)變量可加,且滿足

        f(x,y)=F(x,y,y)+B(x,y).

        不難看出,Q(x,x)=B(x,x),C(x,x,x)=F(x,x,x),從而g(x)=f(x,x)=B(x,x)+F(x,x,x)=Q(x,x)+C(x,x,x).顯然g滿足引理1.2的條件,從而g為混合二次-三次函數(shù).

        推論 2.4 設(shè)映射g:X→Y為混合二次-三次函數(shù),定義映射f:X2→Y滿足

        2[g(2y-x)+g(-2y+x)]+

        2[g(2x+y)+g(-2x-y)]+

        2[g(2x-y)+g(-2x+y)]-

        5[g(x+y)+g(-x-y)]-

        g(-2y-x)]-[g(2y-x)-g(-2y+x)]-

        [g(x+y)-g(-x-y)]+

        [g(y-x)-g(-y+x)]}.

        則f為Drygas-二次函數(shù),且有g(shù)(x)=f(x,x).

        Q(2y+x,2y+x)+Q(2y-x,2y-x)=

        Q(x,x)+4Q(y,y)+4Q(x,y),

        從而顯然有

        Q(2x+y,2x+y)+Q(2x-y,2x-y)=

        4Q(x,x)+Q(y,y)+4Q(x,y),

        Q(y+x,y+x)+Q(y-x,y-x)=

        2Q(y,y)+2Q(x,x).

        綜合上面3式有

        2[g(2y-x)+g(-2y+x)]+

        2[g(2x+y)+g(-2x-y)]+

        2[g(2x-y)+g(-2x+y)]-

        5[g(x+y)+g(-x-y)]-

        5[g(y-x)+g(-y+x)]}

        又因?yàn)?/p>

        C(2y+x,2y+x,2y+x)-

        C(2y-x,2y-x,2y-x)=

        24C(x,y,y)+2C(x,x,y);

        C(y+x,y+x,y+x)-C(y-x,y-x,y-x)=

        6C(x,y,y)+2C(x,x,y).

        綜合上面2式有

        [g(2y-x)-g(-2y+x)]-

        [g(x+y)-g(-x-y)]+

        [g(y-x)-g(-y+x)]}.

        從而

        2[g(2y-x)+g(-2y+x)]+

        2[g(2x+y)+g(-2x-y)]+

        2[g(2x-y)+g(-2x+y)]-

        5[g(x+y)+g(-x-y)]-

        g(-2y-x)]-[g(2y-x)-g(-2y+x)]-

        [g(x+y)-g(-x-y)]+

        [g(y-x)-g(-y+x)]}=

        Q(x,y)+C(x,y,y).

        進(jìn)而由定理2.2可知,f為Cauchy-Drygas的,顯然有g(shù)(x)=f(x,x),定理得證.

        在下面的證明過程中,對(duì)于映射f:X2→Y,算子Df:X4→Y,記

        Df(x1,x2,y1,y2)=f(x1+x2,y1+y2)+

        f(x1+x2,y1-y2)-2f(x1,y1)-2f(x2,y1)-

        f(x1,y2)-f(x2,y2)-

        f(x1,-y2)-f(x2,-y2),

        顯然f是Cauchy-Drygas的當(dāng)且僅當(dāng)?x1,x2,y1,y2∈X,Df(x1,x2,y1,y2)=0.3 函數(shù)方程(4)在Banach空間上的Ulam穩(wěn)定性

        本節(jié)始終設(shè)X是實(shí)的向量空間,Y是Banach空間.

        定理 3.1 給定函數(shù)φ:X4→[0,+∞)滿足對(duì)任意的x1,x2,y1,y2∈X都有

        Φ(x1,x2,y1,y2)=

        φ(2nx1,2nx2,-2ny1,-2ny2)]<∞.

        (5)

        如果映射f:X2→Y滿足對(duì)任意x1,x2,y1,y2∈X都有

        ‖Df(x1,x2,y1,y2)‖≤φ(x1,x2,y1,y2),

        (6)

        且當(dāng)x=0或y=0時(shí)有f(x,y)=0,則存在滿足函數(shù)方程(4)的Cauchy-Drygas型函數(shù)C:X2→Y,使得對(duì)任意x,y∈X有

        ‖C(x,y)-f(x,y)-f(x,-y)‖≤

        Φ(x,x,y,y).

        (7)

        證明 由(6)式顯然可得

        ‖Df(x1,x2,y1,y2)+Df(x1,x2,-y1,-y2)‖≤

        φ(x1,x2,y1,y2)+φ(x1,x2,-y1,-y2).

        (8)

        在(8)式中,令x1=x2=x,y1=y2=y,有

        ‖f(2x,2y)+f(2x,-2y)-

        8f(x,y)-8f(x,-y)‖≤

        φ(x,x,y,y)+φ(x,x,-y,-y),

        在上式中用2nx代替x,2ny代替y,且兩邊同除以8n+1,則有

        φ(2nx,2nx,-2ny,-2ny),

        (9)

        從而對(duì)任給正整數(shù)m

        φ(2ix,2ix,-2iy,-2iy)],

        在(6)式中用2nxi代替xi,用2nyi代替yi,則有

        ‖DC(x1,x2,y1,y2)‖=

        Df(2nx1,2nx2,-2ny1,-2ny2)‖≤

        φ(2nx1,2nx2,-2ny1,-2ny2)]=0,

        從而可得DC(x1,x2,y1,y2)=0,也就是說C是Cauchy-Drygas的.

        在(9)式中令m=0,n→∞,則有

        ‖C(x,y)-f(x,y)-f(x,-y)‖≤Φ(x,x,y,y),

        (7)式得證.

        4 方程(4)在模糊賦范空間的Ulam穩(wěn)定性

        本節(jié)始終設(shè)X為線性空間,Y是一個(gè)模糊Banach空間.

        定理 4.1 設(shè)(Z,N′)為模糊賦范空間,映射φ:X4→Z滿足存在實(shí)數(shù)α,其中0<|α|<8,使得對(duì)?x1,x2,y1,y2∈X,t>0都有

        φ(2x1,2x2,2y1,2y2)=

        αφ(x1,x2,y1,y2),

        (10)

        映射f:X2→Y滿足對(duì)任意的x1,x2,y1,y2∈X,t>0都有

        N(Df(x1,x2,y1,y2),t)≥

        N′(φ(x1,x2,y1,y2),t),

        (11)

        且當(dāng)x=0或y=0時(shí)有f(x,y)=0,則存在Cauchy-Drygas型函數(shù)C:X2→Y,使得對(duì)任意x,y∈X有

        N(C(x,y)-f(x,y)-f(x,-y),t)≥

        (12)

        其中M((x,y),t)=min{N′(φ(x,x,y,y),t),N′(φ(x,x,-y,-y),t)}.

        證明 不失一般性,此處設(shè)0<α<8,由(11)式,顯然可得

        N(Df(x1,x2,y1,y2)+Df(x1,x2,-y1,-y2),2t)≥

        min{N′(φ(x1,x2,y1,y2),t),

        N′(φ(x1,x2,-y1,-y2),t)}.

        (13)

        在(13)式中令x1=x2=x,y1=y2=y,從而

        N(Df(x,x,y,y)+Df(x,x,-y,-y),2t)≥

        min{N′(φ(x,x,y,y),t),N′(φ(x,x,-y,-y),t)},

        也即

        N(f(2x,2y)+f(2x,-2y)-

        8f(x,y)-8f(x,-y),2t)≥min{N′(φ(x,x,y,y),t),N′(φ(x,x,-y,-y),t)}.

        在上式中,用2nx代替x,2ny代替y,則有

        min{N′(φ(2nx,2nx,2ny,2ny),t),

        N′(φ(2nx,2nx,-2ny,-2ny),t)}=

        min{N′(αnφ(x,x,y,y),t),

        進(jìn)一步有

        從而對(duì)任給正整數(shù)m

        從而有

        (14)

        在(13)式中用2nxi代替xi,用2nyi代替yi,這里i=1,2,則有

        min{N′(φ(2nx1,2nx2,2ny1,2ny2),t),

        從而

        DC(x1,x2,y1,y2)=0,

        即C為Cauchy-Drygas的.在(14)式中令m=0,n→∞,可得

        N(C(x,y)-f(x,y)-f(x,-y),t)≥

        從而定理得證.

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        2010 MSC:39B72; 47H15

        (編輯 陶志寧)

        The Ulam Stability Of Cauchy-Drygas Functional Equation

        SONG Aimin

        (College of mathematics, Gansu normal University for nationalities, Gannan 747000, Gansu )

        In this paper, we define the Cauchy- Drygas functional equationf(x1+x2,y1+y2)+f(x1+x2,y1-y2)=2f(x1,y1)+2f(x2,y1)+f(x1,y2)+f(x2,y2)+f(x1,-y2)+f(x2,-y2), and obtain its general solution. Moreover, we establish the relationship between Cauchy-Drygas functional equation and quadratic-cubic functional equation, and prove the Ulam stability of Cauchy-Drygas functional equation in Banach space and fuzzy normed space.

        Cauchy-Drygas functional equation; Banach space; fuzzy, respectively normed space; Ulam stability

        2015-12-22

        甘肅省高等學(xué)??蒲许?xiàng)目(2015B-120)

        宋愛民(1984—),男,籍貫甘肅蘭州,講師,主要從事算子代數(shù)及其應(yīng)用方面的研究,E-mail:songaimin@yahoo.com

        O177.1

        A

        1001-8395(2016)06-0851-06

        10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.014

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