姜萌 張美艷 唐國安

（復旦大學航空航天系，上海 200433）

基于變參數環(huán)板等效葉片組的葉盤模型耦合振動分析方法*

姜萌 張美艷 唐國安?

（復旦大學航空航天系，上海 200433）

轉子系統(tǒng)常見于旋轉機械裝置中，在航空、電力、化工等工業(yè)和民用的諸多行業(yè)中發(fā)揮著重要作用.轉子系統(tǒng)一般由軸和多級葉輪組成，存在強度、疲勞、振動和噪聲等一系列問題，亟待通過優(yōu)化設計等手段提高產品的各項性能.由于每級葉輪都含有由多條葉片構成的葉片組，因此在應用有限元等方法分析時，即便利用了回轉周期的性質，轉子系統(tǒng)的整體自由度數目依然龐大，優(yōu)化設計的計算效率有待提高.為了提高轉子系統(tǒng)分析的效率，可將根據氣動性能要求設計的單級葉盤視為狀態(tài)已經確定的子系統(tǒng)，在具備足夠計算精度的前提下對其有限元模型進行縮聚或簡化，以降低整體系統(tǒng)的自由度.文章介紹葉片組模型的等效建模方法，以固有振動特性相近為等效準則，將有限元模型中周向環(huán)繞的葉片組等效為變參數圓柱型正交各向異性環(huán)形板，并通過理論推導和計算得到了環(huán)板模型的幾何與材料等物理參數.以航空發(fā)動機低壓渦輪葉盤模型為例，實現(xiàn)了葉片組的模型等效過程.結果表明，等效方法可在保證精度的前提下大大降低模型的自由度數目，為后續(xù)整體轉子系統(tǒng)的優(yōu)化設計提供了高效的葉盤建模方法.

振動， 葉片， 輪盤， 轉子， 模型縮聚

引言

燃氣發(fā)動機、葉輪發(fā)電機、空氣壓縮機以及牙科高速手機等以轉子為核心部件的旋轉機械廣泛應用于工業(yè)和民用各個領域，在經濟和生活中發(fā)揮著重要的作用.從經典的兩端簡支、帶剛性圓盤彈性轉軸的Jeffcott轉子［1］，到帶多個剛性圓盤的多軸轉子系統(tǒng)［2］，轉子動力學的研究長期受到學者的關注.對于高轉速的轉子，張文［3］指出不能再將葉盤視為剛性部件，而應當將其作為彈性體，建立柔盤-柔軸的全彈性轉子模型進行處理.但是，在工程應用時，若葉-盤-軸全部部件都采用有限元模型描述，那么整體轉子系統(tǒng)的自由度將十分龐大，轉子動力學計算難以實施.大幅度降低單級彈性葉盤模型的自由度是高效分析全彈性轉子的必要步驟.

早期一些學者提出過基于簡化單條葉片的葉盤模型分析方法，如Ewins［4］，Kaza和Kielb［5］等將葉片等效為彈性梁模型，Genta［6］提出將葉片?；蓡螖[結構，并進一步分析葉盤系統(tǒng)的耦合振動特性.后來的學者，如Omprakash［7］，王文亮［8］，張文［9］，白斌和白廣忱［10］等，利用葉盤的回轉周期特性、結合動態(tài)子結構等方法，提出了一系列基于扇區(qū)的葉盤有限元模型縮聚算法，大大提高了彈性葉盤振動分析的效率.概括地說，基于簡化單條葉片的葉盤簡化模型，形式直觀適合工程應用，便于多個葉盤與轉軸的組裝，但精度相對較低.基于扇區(qū)的葉盤縮聚模型精度很高，但難以與通用轉子動力學分析軟件銜接，且對于形狀復雜的葉盤，一個扇區(qū)有限元模型的節(jié)點數很多，縮聚后模型的自由度依舊很高.

在含有多級葉盤的全彈性轉子系統(tǒng)中，建立具有足夠精度、便于與通用有限元程序銜接的低自由度葉盤模型，對于整體轉子動力學分析和優(yōu)化設計仍具有重要意義.以此為目的，本文根據周向環(huán)繞的單級葉片組的物理參數和模態(tài)分析結果，將其等效為固有振動特性相近的正交異性環(huán)形板.在此基礎上，將葉片組的等效環(huán)形板與輪盤對接后便可構成簡單、有效的單級葉盤縮聚模型，為多級、全彈性轉子系統(tǒng)的動力學高效分析奠定了基礎.

1 等效葉片組的變參數環(huán)板模型

圖1所示是葉盤的初始模型，由輪盤、葉片組和葉冠三部分構成.圖2為圖1對應的葉盤縮聚模型.在縮聚模型中，軸對稱輪盤和葉冠兩部分保持不變，周向環(huán)繞的葉片組被等效為變參數環(huán)形平板，其材料本構特性為極坐標系下的正交各向異性，密度假設為沿徑向呈線性變化.從動力學角度考慮，模型等效應當滿足條件：

①葉片組與環(huán)板的質量和轉動慣量相同；

②帶冠葉片組與帶冠環(huán)板的動力學特性（固有頻率和模態(tài)）相近.

記初始葉片組總質量為Mb，繞橫軸慣性矩為Ib，材料密度為ρb，內外緣的半徑分別是R0和R1，均為初始模型的已知參數.

圖1 葉盤的初始模型Fig.1 Initialmodel of bladed disk

圖2 葉盤縮聚模型Fig.2 Reduced model of bladed disk

建立等效模型時，環(huán)板的內、外半徑分別取為R0和R1，體積與葉片組相同（即Mb/ρb），那么環(huán)板厚度為

環(huán)板的質量密度沿徑向呈線性變化的關系可表示為

其中，ρ0和ρ1是環(huán)板內外緣的待定密度值.

根據質量密度的分布函數（2），積分后可得環(huán)板質量和轉動慣量分別為

利用公式（3）和（4），根據葉片組等效前后質量和轉動慣量相等的條件①，即，可建立

求解方程組（5）可確定（2）中的環(huán)板內外緣質量密度值ρ0和ρ1，亦即確定了密度分布函數＾ρ（r）.

極坐標系下正交各向異性材料含有5個彈性系數，分別為楊氏模量Er和Eθ，剪切模量Grθ，以及泊松系數μr和μθ.但由于存在對稱關系μθ/Eθ＝μr/Er，因此只有4個彈性系數是獨立的.

帶冠環(huán)板和帶冠葉片組的第j階固有頻率ωj和＾ωj應當近似相等，即條件②可表示為非線性規(guī)劃的極小化問題

2 帶葉冠環(huán)板的彈性參數估算

目標函數f（x）是非線性的，極小化問題（6）可能存在多個局部解.選取不同設計變量的初值，可能會得到不同的極小化結果.只有給出盡可能接近真實解的設計變量初值，才能得到合理的環(huán)板彈性常數.對于變參數正交各向異性帶冠環(huán)板，本文采用基于動能和勢能表達式的Rayleigh法，導出帶冠環(huán)板固有頻率的解析式，進而給出確定環(huán)板彈性常數初值的方法.

2.1 環(huán)板動能和勢能表達式

等效后帶冠環(huán)板如圖3所示，以環(huán)板中心為原點、法向為x軸，建立極坐標系O-rθx.根據薄板彎曲理論［11］，板的橫向振動模態(tài)可以用中面x方向的位移函數Ux（r，θ）表示.函數Ux（r，θ）則可根據周向變化的周期數分類，表示為

其中n稱為模態(tài)的節(jié)徑數.

記Dr，Dθ分別是環(huán)板在r，θ方向上的抗彎剛度，Dk為抗扭剛度，則n節(jié)徑振動的環(huán)板彈性勢能［12］和動能分別為

圖3 帶冠環(huán)板模型示意圖Fig.3 Sketch of circular plate with shroud

2.2 葉冠動能和勢能表達式

葉冠的變形由環(huán)板帶動，環(huán)板外緣繞r，θ和x軸的轉角分別是

記葉冠上任意點B、葉冠中心與葉片相連點A關于坐標原點的矢徑分別為h和h0，則B點的位移可近似表達為A點的牽連運動以及關于A點的相對運動的疊加

其中b，d分別為葉冠高度和寬度.經計算，公式（11）的葉冠位移場分量形式可表示為

根據表達式（12），由極坐標下的應變-位移公式［13］可算得葉冠應變

葉冠是各向同性體，由公式（13）可算得葉冠的應變能密度

其中，μ和E分別為各向同性葉冠的泊松比和楊氏模量.對（14）積分可得n節(jié)徑振動的葉冠彈性應變能

而葉冠相應的動能表達式為

其中

2.3 環(huán)板參數估算公式

n節(jié)徑振動的帶冠環(huán)板總動能和總勢能分別為

用Rayleigh法可得帶冠環(huán)板固有頻率與彈性常數的關系式

對于初始帶冠葉片組，用有限元方法計算可以得到其固有頻率ωn和固有模態(tài).離散的模態(tài)向量通過函數逼近后可作為等效環(huán)板的模態(tài)函數Wn（r）.選取若干組頻率ωn和模態(tài)Wn（r），求解（18）式就能確定環(huán)板彈性系數的初值.

3 算例

算例的初始葉盤模型如圖1，其中葉片組的幾何與材料等物理參數值見表1，均采用國際單位制.

表1 葉片組模型物理參數表Table 1 Parameter values of blade group

將表1中數據代入公式（1）～（5），計算可得環(huán)板厚度＾h＝0.0052m，密度分布函數

葉冠為各向同性的軸對稱柱殼，幾何與材料等物理參數值見表2，模型不需等效.

表2 葉冠模型參數表Table 2 Parameter values of shroud

葉片組的等效環(huán)板為正交各向異性材料，含有4個獨立的彈性常數Er，Eθ，Grθ，μθ.考慮葉片之間相互獨立，周向無相互作用，故可取泊松比μθ＝0.數值計算表明，環(huán)板徑向與周向的模量比值Er/Eθ對模態(tài)計算結果影響不明顯，可取Er≈Eθ.對于剩下的兩個彈性常數Er和Grθ，只需用兩組固有頻率和模態(tài)數據、根據方程（18）確定其初值.

從文獻［9］可知，在回轉周期結構中，節(jié)徑數大于或者等于2的振動模態(tài)不會與剛體運動發(fā)生耦合，在轉子動力學分析時無需考慮.對于轉子系統(tǒng)，工程中通常只關心前幾階臨界轉速［14］，只有少數較低階的葉盤彈性模態(tài)才會與之耦合.因此，算例僅選取葉盤組合體0節(jié)徑和1節(jié)徑的基頻和對應模態(tài).

對帶冠葉片組在內緣固定條件下作模態(tài)分析，得到0節(jié)徑和1節(jié)徑的基頻頻率分別為ω0＝586.98Hz，ω1＝1278.8Hz.

圖4 帶冠葉片的模態(tài)簡化示意圖Fig.4 Simplified modal of blade with shroud

從帶冠葉片組0節(jié)徑和1節(jié)徑的固有模態(tài)計算結果中提取出外緣中心點的橫向位移和繞周向的轉角，分別作為等效環(huán)板固有模態(tài)在外緣的函數值W0（R1），W1（R1）及其導數值W′0（R1），W′1（R1）.環(huán)板的內緣為夾支邊界條件，模態(tài)函數值和導數值均取為W0（R0）＝W1（R0）＝W′0（R0）＝W′1（R0）＝0.根據上述端點條件，用兩點三次Hermite插值［15］就可得到0節(jié)徑和1節(jié)徑模態(tài)函數

將方程（20）代入方程（18），建立方程組

求解后得到彈性參數初值

參照式（6），設置設計變量的可行域，建立數學規(guī)劃模型

將式（22）中的數據作為初值，用NASTRAN求解序列SOL200的優(yōu)化功能［16］，計算后確定環(huán)板彈性常數的終值為

將等效環(huán)板模型與初始輪盤組合即可得到縮聚葉盤模型.

圖5 模型等效前后1節(jié)徑模態(tài)變形云圖Fig.5 Deformation fringe for initialmodel and equivalentmodel

由葉片-葉冠和輪盤構成的葉盤三維模型為回轉周期結構，模態(tài)分析只需用到單個扇區(qū)的模型，節(jié)點數約為3100.由等效環(huán)板和輪盤構成的葉盤縮聚模型為軸對稱結構，只需用到子午面的模型，節(jié)點數不足300.兩種模型計算得到的固有頻率結果如表3，其中0節(jié)徑和1節(jié)徑的固有頻率相差分別為-4.22%和5.54%.用兩種模型計算得到的1節(jié)徑模態(tài)云圖如圖5，可以看出模態(tài)的橫向等位移線基本一致.

表3 初始與縮聚模型固有頻率數據結果Table 3 The natural frequencies of initial and reduced model

4 結語

介紹了用變參數環(huán)板等效大規(guī)模葉片組三維有限元模型，實現(xiàn)回轉周期葉盤的彈性耦合振動分析的方法.分析表明，縮聚葉盤模型的自由度數可被大幅度減少，而且用縮聚模型計算得到的低階振動固有頻率具有足夠精度.對于設計狀態(tài)已確定的單級葉盤，等效環(huán)板和輪盤構成的組合體具有軸對稱特點，計算效率高，可直接應用于轉子的整體動力學計算.為轉子系統(tǒng)的優(yōu)化設計的應用提供了精度和效率兼顧的彈性葉盤縮聚模型.

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A COUPLED VIBRATION ANALYSISMETHOD OF BLADED DISK MODELBASED ON EQUIVALENT BLADE GROUP OF ANNULAR PLATEW ITH VARIABLE PARAMETERS*

Jiang Meng Zhang Meiyan Tang Guoan?
（Department of Aeronautics and Astronautics，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433，China）

Rotor systems aremostly applied in rotarymechanical devices，which play important roles in aviation，electric power，mechanical and many other industries.These systems usually consist of shaftswith multistage impellers，but a series of issues related to strength，fatigue，vibration and noise are needed to be solved.It is in an urgent to improve the performance of such products by optimization method.In rotor system，each impeller contains a blade group that composed of dozens of blades，so the DOF of the entire rotor system is still large，although the rotation period characteristics of bladed disk is used in finite elementmethod.Therefore，the calculating efficiency is still needed to be improved.For this purpose，the single bladed disk can be regarded as a designed subsystem according to aerodynamic performance requirements，and the simplification of the finite element model for the blade group is an effectiveway to improve the computational efficiency of coupled vibration of bladed disk under the premise of obtaining enough precision.In this paper，an equivalent analysismethod is put forward to simplify the blade group into an annular platewith variable parameters based on the criterion that dynamic characteristics can be approximately the same.Physical parameters of annular plate including geometric and material parameters are obtained by theoretical derivation and calculation.Eventually，the equivalentmethod is verified by taking a bladed disk model of aero engine as an example.It shows thatmodel reduction can ensure the precision with improving computational efficiency.Therefore，the equivalent analysismethod is an efficientmodeling approach of bladed disk for the future optimization of the whole rotor systems.

vibration， blade， disk， rotor， model reduction

10.6052/1672-6553-2016-046

2016-04-11收到第1稿，2016-05-26收到修改稿.

*國家自然科學基金項目資助項目（11572089）

?通訊作者E-mail：tangguoan＠fudan.edu.cn

Received 11 April 2016，revised 26 May 2016.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11572089）

?Corresponding author E-mail：tangguoan＠fudan.edu.cn