劉 菲，任 章，李清東

（北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100083）

基于小波方差的MEMS IMU隨機(jī)誤差模型間接估計(jì)方法

劉 菲，任 章，李清東

（北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100083）

MEMS IMU（Mirco Electro Mechanical System Inertial Measurement Unit）微機(jī)電慣性測(cè)量模塊廣泛應(yīng)用于組合導(dǎo)航系統(tǒng)，其中MEMS IMU隨機(jī)誤差模型的準(zhǔn)確性對(duì)導(dǎo)航精度有著重要的影響。針對(duì)Allan方差法在估計(jì)隨機(jī)誤差模型方面的不足，研究了間接估計(jì)方法。該方法以Daubechies離散小波變換與間接推斷原理為基礎(chǔ)，根據(jù)小波系數(shù)的零均值平穩(wěn)特征，對(duì)分解尺度進(jìn)行確定，將小波方差作為間接估計(jì)輔助參數(shù)，分析了最優(yōu)估計(jì)準(zhǔn)則的漸近一致性，最后使用高斯牛頓法對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行校正，獲得滿足漸近一致性的隨機(jī)誤差模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果。仿真結(jié)果表明，間接估計(jì)方法提高了隨機(jī)誤差模型的估計(jì)精度，其中一階馬爾科夫過(guò)程的相關(guān)時(shí)間估計(jì)精度提高了12.383%，解決了一階馬爾科夫過(guò)程模型的準(zhǔn)確估計(jì)問(wèn)題。通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果分析，進(jìn)一步證明了以上結(jié)論。

MEMS IMU；隨機(jī)誤差模型；Daubechies離散小波變換；小波方差；間接推斷

MEMS IMU功耗低、體積小、成本低、抗過(guò)載，使用MEMS IMU的組合導(dǎo)航系統(tǒng)已經(jīng)廣泛用于戰(zhàn)術(shù)武器、小型無(wú)人機(jī)、車輛與行人導(dǎo)航、穩(wěn)定平臺(tái)等領(lǐng)域。但是，受制造工藝和精度水平的限制，MEMS IMU隨機(jī)誤差較大，具有非平穩(wěn)特性，且模型復(fù)雜，很難消除，因此需要對(duì)MEMS IMU的隨機(jī)誤差模型進(jìn)行深入研究。

通常使用近似建模對(duì)隨機(jī)誤差模型進(jìn)行分析[1]，典型的建模方法是Allan方差法，IEEE將其作為慣性器件隨機(jī)誤差分析的標(biāo)準(zhǔn)方法。但是，Allan方差在隨機(jī)誤差模型分析中存在能量泄漏現(xiàn)象，Howe對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了深入研究[2]，同時(shí)對(duì)于MEMS IMU隨機(jī)誤差建模常用的一階馬爾科夫過(guò)程，這一隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性模型復(fù)雜，Allan方差法通常采用近似分段估計(jì)不同的參數(shù)，估計(jì)精度較低。

小波方差在不同分解尺度上對(duì)隨機(jī)誤差的方差進(jìn)行分解，是一種新的規(guī)范頻譜分析方法，有效地降低了能量泄漏[3-4]，因此開始廣泛應(yīng)用于隨機(jī)誤差模型分析。國(guó)內(nèi)高玉凱、宋凝芳等首次將小波方差理論用于光纖陀螺隨機(jī)誤差模型分析，結(jié)果證明小波方差法可以更加準(zhǔn)確的反映各項(xiàng)誤差的變化情況，有效地進(jìn)行誤差項(xiàng)的提取[5-6]，但文中沒(méi)有考慮具有相關(guān)時(shí)間特性的一階馬爾科夫誤差項(xiàng)。國(guó)外 Walden、Percival、Serroukh等對(duì)小波方差特性進(jìn)行了深入的研究，在隨機(jī)序列特性分析方向推導(dǎo)了多項(xiàng)定理，為進(jìn)一步研究奠定了理論基礎(chǔ)[7-10]，但沒(méi)有提出針對(duì)一階馬爾科夫過(guò)程模型系統(tǒng)的有效估計(jì)方法。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文將小波方差與間接推斷理論用于MEMS IMU隨機(jī)誤差模型估計(jì)。首先，文中對(duì)小波方差與隨機(jī)誤差模型的關(guān)系進(jìn)行了研究，根據(jù)MEMS IMU隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)特征，研究小波分解尺度的確定方，為間接估計(jì)方法提供理論基礎(chǔ)。其次，由間接推斷原理，研究MEMS IMU隨機(jī)誤差模型間接估計(jì)步驟，采用高斯牛頓法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行校正，獲得漸近一致的估計(jì)結(jié)果。最后采用仿真數(shù)據(jù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)間接估計(jì)方法進(jìn)行性能驗(yàn)證，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

1 隨機(jī)誤差小波方差研究

1.1 小波方差原理

小波變換是在傅里葉變換基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)分析方法，是一種時(shí)頻的分析方法，小波變換采用小波函數(shù)逼近原信號(hào)。假設(shè)是 MEMS IMU輸出的離散信號(hào)序列，長(zhǎng)度為N，采樣率為sf，對(duì)進(jìn)行離散小波變換，采用母小波 ()tψ進(jìn)行尺度及平移處理，假設(shè) 2pN= ，p是正整數(shù)，尺度按二進(jìn)制變化時(shí)，小波基函數(shù)可表示為

尺度大小等于k時(shí)，小波方差定義為

式中：是對(duì)應(yīng)的頻域?yàn)V波器，當(dāng)具有確定的模型時(shí)，模型的概率密度函數(shù)已知，可得出固定尺度下的小波方差與模型的關(guān)系[11]，由這一關(guān)系可對(duì)模型的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

MEMS IMU通常用于工作時(shí)間較短的導(dǎo)航系統(tǒng)，輸出數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差可由高斯白噪聲與幾種具有后向差分性質(zhì)的非平穩(wěn)隨機(jī)序列（如式(6)所示）擬合，使用 Allan方差法分析隨機(jī)誤差類型，從而得出的確定模型，為隨機(jī)誤差模型的估計(jì)提供基礎(chǔ)。

1.2 小波分解尺度確定

當(dāng)采用Daubechies函數(shù)進(jìn)行離散小波變換時(shí)，各個(gè)尺度下濾波器的長(zhǎng)度為其中1L是尺度等于1時(shí)的濾波器長(zhǎng)度，此時(shí)濾波器長(zhǎng)度最短，根據(jù)研究結(jié)果[12]：若要求b階后向差分非平穩(wěn)隨機(jī)序列在離散小波變換后生成的小波系數(shù)是零均值的平穩(wěn)隨機(jī)序列，只需滿足。由此可見，Daubechies小波系數(shù)均值消除了不確定性，具備良好的數(shù)據(jù)特征。

對(duì)進(jìn)行Daubechies離散小波多分辨分析過(guò)程中，獲得多組小波系數(shù)與一組尺度系數(shù)，其中尺度系數(shù)包含大部分的原信號(hào)信息，與原信號(hào)最接近，小波系數(shù)包含大量的原信號(hào)細(xì)節(jié)信息，如隨機(jī)誤差。因此，在多尺度分解過(guò)程中，分解尺度的選擇是一個(gè)難點(diǎn)：① 不同的傳感器或同一傳感器不同的使用環(huán)境與時(shí)間，都會(huì)導(dǎo)致信號(hào)分解所需的尺度不同；② 隨著分解尺度的增大，小波系數(shù)的均值不再等于 0，若選擇的尺度過(guò)大，則小波系數(shù)中將包含信號(hào)的低頻特征，不利于誤差特性分析。為了對(duì)分解尺度K進(jìn)行判斷，本文采用一種簡(jiǎn)單方法對(duì)每一層的小波系數(shù)的均值進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)1c是大于零的小量，檢驗(yàn)依據(jù)如下：

2 間接推斷原理應(yīng)用

間接推斷法是經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域一種重要的參數(shù)估計(jì)方法，該方法主要是為了解決含有隱形變量模型、有缺失數(shù)據(jù)模型和非線性動(dòng)態(tài)模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。間接推斷法以間接標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ)，即最優(yōu)準(zhǔn)則并不直接為被估計(jì)量提供一致性估計(jì)，是一種有效的復(fù)雜模型參數(shù)估計(jì)方法。在使用時(shí)分為兩個(gè)步驟：① 提出滿足漸近一致性的最優(yōu)準(zhǔn)則與輔助模型；② 將實(shí)際模型模擬數(shù)據(jù)與量測(cè)數(shù)據(jù)帶入到最優(yōu)準(zhǔn)則中，根據(jù)被估參數(shù)與輔助參數(shù)的關(guān)系校正被估參數(shù)，獲得具有漸近一致性的被估參數(shù)估計(jì)結(jié)果[13-14]。

本文主要研究的MEMS IMU隨機(jī)誤差，其模型不含外生控制變量，可將動(dòng)態(tài)模型表示為：

式中：ty是量測(cè)量，tε是白噪聲，θ是需要估計(jì)的未知參量，θ中包括多個(gè)隨機(jī)誤差的相關(guān)時(shí)間系數(shù)及驅(qū)動(dòng)噪聲方差，選用隨機(jī)誤差的小波方差作為輔助參數(shù)，根據(jù)式(5)建立被估計(jì)參數(shù)與輔助參數(shù)的關(guān)系F(·)，且有：

式中：0θ是被估計(jì)參數(shù)的真值，是ty在尺度k下的小波方差估計(jì)值。由式(9)可以看出，當(dāng)ty為有限長(zhǎng)度的序列時(shí)，是的一致性估計(jì)。

在實(shí)際應(yīng)用中，MEMS IMU隨機(jī)誤差通常由幾個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)過(guò)程組成，即，這時(shí)隨機(jī)誤差的小波方差可擴(kuò)展為

根據(jù)上一節(jié)的研究，將小波方差特性與間接推斷方法結(jié)合，可得出具有漸近一致性的隨機(jī)誤差模型參數(shù)估計(jì)方法，間接估計(jì)方法分以下幾步執(zhí)行：

① 采用Allan方差法分析隨機(jī)誤差類型；

② 根據(jù)隨機(jī)誤差類型確定需要估計(jì)的參數(shù)θ；

圖1 隨機(jī)誤差參數(shù)估計(jì)流程Fig.1 Flowchart for parameter estimation of random errors

3 仿真驗(yàn)證

首先采用仿真數(shù)據(jù)對(duì)間接估計(jì)方法進(jìn)行驗(yàn)證，并與ALLAN方差法的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。根據(jù)常用的MEMS IMU隨機(jī)誤差模型生成仿真數(shù)據(jù)，模型參數(shù)如表1所示，數(shù)據(jù)采樣率設(shè)置為1 s，采集時(shí)間3 h，共108 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

表1 模擬隨機(jī)誤差參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameters for random error simulation

表1中2σ表示激勵(lì)白噪聲方差，τ是一階馬爾科夫過(guò)程的相關(guān)時(shí)間常數(shù)。

將估計(jì)結(jié)果及相對(duì)誤差計(jì)算結(jié)果總結(jié)在表2中，估計(jì)過(guò)程的迭代曲線如圖2所示。由表2可得出間接方法估計(jì)精度更高，尤其是一階馬爾科夫過(guò)程相關(guān)時(shí)間，Allan方差法計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差為20.82%，間接估計(jì)方法將相對(duì)誤差降低到8.437%。從圖2中可以看出，4個(gè)參數(shù)的估計(jì)結(jié)果分別收斂，其中收斂速度最快，τ的收斂速度最慢，由于計(jì)算過(guò)程中的數(shù)值誤差、數(shù)據(jù)長(zhǎng)度等因素，間接估計(jì)結(jié)果與真值存在一定偏差，但并不影響對(duì)間接估計(jì)理論的驗(yàn)證。

圖2 基于間接法的仿真數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)曲線Fig.2 Curves of parameter estimation by simulation based on indirect inference method

表2 仿真數(shù)據(jù)模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.2 Parameter estimation results of the simulation model

4 試驗(yàn)結(jié)果分析

這一節(jié)使用試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證估計(jì)性能，與上一節(jié)相比，無(wú)法獲得準(zhǔn)確的MEMS IMU隨機(jī)誤差模型進(jìn)行對(duì)比分析，因此將估計(jì)結(jié)果用于多傳感器姿態(tài)融合算法，根據(jù)校正后的姿態(tài)結(jié)果驗(yàn)證隨機(jī)特性估計(jì)方法。試驗(yàn)使用的MEMS IMU模塊由ADXRS623陀螺儀和 ADXL320加速度計(jì)組成，數(shù)據(jù)輸出頻率是50Hz，采集30min靜態(tài)數(shù)據(jù)。分別計(jì)算三軸陀螺輸出數(shù)據(jù)和三軸加速度計(jì)輸出數(shù)據(jù)的Allan方差，并畫出雙對(duì)數(shù)曲線，如圖3、圖4所示。

從圖3、圖4可以看出，陀螺儀輸出的隨機(jī)誤差主要由白噪聲和一階馬爾科夫過(guò)程組成，加速度計(jì)輸出的隨機(jī)誤差主要由白噪聲和隨機(jī)游走噪聲組成，因此選用的融合模型狀態(tài)量誤差項(xiàng)為以上4種。

分別采用 Allan方差法與間接估計(jì)方法對(duì)六組觀測(cè)數(shù)據(jù)的隨機(jī)誤差參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)結(jié)果如表 3、表4所示。與仿真數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果相比，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的估計(jì)結(jié)果差距較大，在使用 Allan方差法估計(jì)隨機(jī)誤差模型參數(shù)時(shí)，一階馬爾科夫過(guò)程的雙對(duì)數(shù)曲線特征不清晰，無(wú)法進(jìn)行準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)。

圖3 陀螺數(shù)據(jù)Allan方差雙對(duì)數(shù)曲線Fig.3 Loglog of Allan variance by gyro data

圖4 加速度計(jì)數(shù)據(jù)Allan方差雙對(duì)數(shù)曲線Fig.4 Loglog of Allan variance by accelerometer data

試驗(yàn)數(shù)據(jù)選自實(shí)驗(yàn)室小型無(wú)人機(jī)的一次飛行試驗(yàn)，小型無(wú)人機(jī)分別搭載了MEMS IMU模塊與高精度組合導(dǎo)航系統(tǒng)，高精度導(dǎo)航系統(tǒng)作為參考系統(tǒng)。選用飛行試驗(yàn)中200 s的穩(wěn)定飛行數(shù)據(jù)，這段時(shí)間內(nèi)小型無(wú)人機(jī)的飛行軌跡如圖5所示，在200 s以內(nèi)東（East）、北（North）、高（Up）方向的位置變化以m為單位，在100 s到120 s 飛行過(guò)程受到擾動(dòng)，有姿態(tài)變化。為了便于結(jié)果展示，使用 Allan方差法、間接估計(jì)方法結(jié)果的驗(yàn)證過(guò)程分別稱為方案1、方案2，融合后姿態(tài)校正結(jié)果如圖6～圖8所示，其中紅色曲線為參考姿態(tài)，黑色、藍(lán)色曲線表示方案1、方案2校正后的姿態(tài)結(jié)果，將校正后的姿態(tài)誤差方差、誤差絕對(duì)值均值及誤差范圍總結(jié)在表5中。

圖5 飛行試驗(yàn)軌跡Fig.5 Test flight trajectory

表3 陀螺隨機(jī)誤差參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.3 Parameter estimation results of gyro random errors

表4 加速度計(jì)隨機(jī)誤差參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab.4 Parameter estimation results of accelerometer random errors

由結(jié)果可以看出方案2的姿態(tài)誤差較小，并且方案2更加有效地抑制了姿態(tài)誤差漂移，尤其是偏航角與俯仰角誤差，即使?jié)L轉(zhuǎn)角的誤差仍有較小的誤差漂移，但與方案1相比有明顯改善。由此可見，間接方法估計(jì)結(jié)果更能真實(shí)地反映MEMS MIMU的隨機(jī)誤差，該結(jié)論與仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證結(jié)果相符。

圖6 校正后的偏航角Fig.6 Calibrated yaw angle

圖 7 校正后的俯仰角Fig.7 Calibrated pitch angle

圖 8 校正后的滾轉(zhuǎn)角Fig.8 Calibrated roll angle

差方差/(°)2 姿態(tài)角誤差均值/(°) 姿態(tài)角誤差范圍/(°) 方案2 方案1 方案2 方案1 方案2 0.700 9 0.534 0 0.4524 0.914 7 ～ -4.068 2 0.532 7 ～ -4.049 2俯仰角 0.053 6 0.026 4 0.398 4 0.1873 0.831 5 ～ -0.079 4 0.664 3 ～ -0.024 8滾轉(zhuǎn)角 0.044 9 0.018 9 0.286 7 0.1171 0.782 7 ～ -0.031 6 0.490 2 ～ -0.021 8

附錄：MEMS IMU常見隨機(jī)誤差的Allan方差與小波方差A(yù)ppendix: The Allan variance and wavelet variance of common MEMS IMU random errors

5 總 結(jié)

論文針對(duì)MEMS IMU隨機(jī)誤差模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，深入研究了小波方差理論與間接推斷原理，提出了間接估計(jì)方法。文中首先介紹了小波方差與隨機(jī)誤差模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并根據(jù)小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，確定了小波分解尺度，其次，將小波方差與間接推斷原理相結(jié)合，確定了最優(yōu)估計(jì)準(zhǔn)則與輔助參數(shù)；最后對(duì)間接估計(jì)方法步驟進(jìn)行了詳細(xì)介紹。通過(guò)仿真驗(yàn)證與試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明，與ALLAN方差法相比，間接估計(jì)方法可以準(zhǔn)確地估計(jì)一階馬爾科夫過(guò)程模型參數(shù)，且提高了MEMS IMU的隨機(jī)誤差模型參數(shù)估計(jì)精度，為隨機(jī)誤差模型的研究提供了新方法。

（References）：

[1] Quinchia A G, Falco G, Falletti E, et al. A comparison between different error modeling of MEMS applied to GPS/ INS integrated systems[J]. Sensors, 2013, 13(8): 9549-9588.

[2] Howe D A, Percival D B. Wavelet variance, Allan variance, and leakage[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 1995, 44(2): 94-97.

[3] Percival D. A wavelet perspective on the Allan variance[J]. IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control, 2015.

[4] Mondal D, Percival D B. Wavelet variance analysis for gappy time series[J]. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 2010, 62(5): 943-966.

[5] 宋凝芳, 陳婧, 金靖. 光纖陀螺隨機(jī)誤差特性的小波方差分析[J]. 紅外與激光工程, 2010(5): 924-928.

Song Ningfang, Chen Jing, Jin Jing. Wavelet variance analysis of random error properties for fiber optic gyroscope [J]. Infrared and Laser Engineering, 2010(5): 924-928.

[6] 高玉凱, 鄧正隆. 基于小波方差的光學(xué)陀螺隨機(jī)誤差特性研究[J]. 中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào), 2004, 12(5): 66-70. Gao Yu-kai, Deng Zheng-long. Investigation on random error properties of optic gyro based on wavelet variance[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2004, 12(5): 66-70.

[7] Percival D B, Guttorp P. Long-memory processes, the Allan variance and wavelets[J]. Wavelets in Geophysics, 1994(4): 325-344.

[8] Serroukh A, Walden A T, Percival D B. Statistical properties and uses of the wavelet variance estimator for the scale analysis of time series[J]. Journal of the American Statistical Association, 2000, 95: 184-196.

[9] Sabatini A M. A wavelet-based bootstrap method applied to inertial sensor stochastic error modelling using the Allan variance[J]. Measurement Science and Technology, 2006, 17(11): 2980-2988.

[10] Guerrier S, Skaloud J, Stebler Y, et al. Wavelet-variance- based estimation for composite stochastic processes[J]. Journal of the American Statistical Association, 2013, 108: 1021-1030.

[11] Stebler Y, Guerrier S, Skaloud J, et al. A framework for inertial sensor calibration using complex stochastic error models[C]//2012 IEEE/ION Position Location and Navigation Symposium. 2012: 849-861.

[12] Serroukh A, Walden A T, Percival D B. Statistical properties of the wavelet variance estimator for non-Gaussian/ non-linear time series[R]. Technical Report 98-03. Dept. of Mathematics, Imperial College, London, 1998.

[13] Gourieroux C, Monfort A, Renault E. Indirect inference[J]. Journal of applied econometrics, 1993, 8(S1): S85-S118.

[14] Guvenen F, Smith A. Inferring labor income risk from economic choices: An indirect inference approach[R]. National Bureau of Economic Research, 2010.

[15] Liu fei, Li jie. An improved quaternion Gauss-Newton algorithm for attitude determination using magnetometer and accelerometer[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2014, 27(4): 986-993.

Indirect estimation method for random error models of MEMS IMU based on wavelet variance

LIU Fei, REN Zhang, LI Qing-dong
(School of Autonomous Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100083, China)

Recently, MEMS IMU has been widely used in the integrated navigation system, and the accuracy of random error models has important effects on the navigation information. Regarding the disadvantages of the Allan variance method in parameter estimation, the indirect estimation was proposed. On the basis of Daubechies discrete wavelet transform and indirect inference theory, wavelet decomposition scale was determined by wavelet coefficient series properties. Then wavelet variance was adopted as the auxiliary parameter of indirect estimation, and an optimal criterion possessing progressive consistency was researched. Finally, Gauss-Newton method was utilized to calibrate the estimated results of random error model parameters which satisfied asymptotic consistency. Simulation indicated that, compared with Allan variance method, the indirect estimation method improved the accuracy of parameter estimation, and the accuracy of a first-order Markov random process correlation time was improved 12.383%. So the indirect estimation method effectively resolved the issue concerning accurate parameter estimation of a first-order Markov process model. By analyzing test results, the conclusions were verified further.

MEMS IMU; random error models; Daubechies discrete wavelet transform; wavelet variance; indirect inference

U666.1

A

1005-6734(2016)01-0077-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.01.014

2015-09-05；

2015-11-29

國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（61333011）

劉菲（1985—），女，博士后，從事小型飛行器導(dǎo)航技術(shù)研究。E-mail: lf1985liufei198@bit.edu.cn