李新三，汪立新，范小虎，閆循良，薛 亮，王明建

（1.第二炮兵工程大學(xué) 三系，西安 710025；2.第二炮兵工程大學(xué) 士官學(xué)院，青州 262500）

帶有末端角度和軌跡路徑點(diǎn)約束的MPSC制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

李新三1，汪立新1，范小虎2，閆循良1，薛 亮1，王明建2

（1.第二炮兵工程大學(xué) 三系，西安 710025；2.第二炮兵工程大學(xué) 士官學(xué)院，青州 262500）

針對(duì)多約束制導(dǎo)問題，給出了一種同時(shí)滿足末端角度約束和飛行軌跡路徑點(diǎn)約束的模型預(yù)測擴(kuò)展控制制導(dǎo)方法，該制導(dǎo)方法通過滿足飛行軌跡路徑點(diǎn)約束實(shí)現(xiàn)靈活調(diào)節(jié)飛行軌跡，可以大大縮短目標(biāo)防御反應(yīng)時(shí)間。模型預(yù)測擴(kuò)展控制制導(dǎo)方法是基于非線性最優(yōu)控制理論，給出了控制量表達(dá)式以二次形式近似時(shí)制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)過程。模型預(yù)測擴(kuò)展控制制導(dǎo)方法只能對(duì)末端時(shí)刻輸出量進(jìn)行約束，通過對(duì)該制導(dǎo)方法進(jìn)行擴(kuò)展，使其還可以滿足飛行軌跡路徑點(diǎn)約束。仿真結(jié)果表明，考慮飛行軌跡路徑點(diǎn)約束時(shí)，導(dǎo)彈經(jīng)過設(shè)定的路徑點(diǎn)并以給定的彈道傾角命中目標(biāo)。

制導(dǎo)；模型預(yù)測擴(kuò)展控制；末端攻擊角度約束；軌跡路徑點(diǎn)約束

目前，國內(nèi)外對(duì)帶有末端攻擊角度約束的制導(dǎo)律技術(shù)研究給與了極大的關(guān)注[1-5]。帶有末端攻擊角度約束的制導(dǎo)技術(shù)最早由 Kim和 Grider[1]提出，Kim和Grider采用最優(yōu)控制理論對(duì)角度和位移偏差進(jìn)行最小化，對(duì)地面勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤攻擊。Lee等人[2]將一種帶落角約束的最優(yōu)控制律應(yīng)用于目標(biāo)機(jī)動(dòng)的情形。印度學(xué)者Padhi和Oza[6-9]提出了一種帶有末端多約束的模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃（MPSP）制導(dǎo)算法，該方法采用靜態(tài)協(xié)態(tài)變量求解最優(yōu)控制問題，可以節(jié)省制導(dǎo)算法運(yùn)算時(shí)間，具有在線應(yīng)用的潛力。受MPSP和模型預(yù)測控制（MPC）[10]方法啟發(fā)，文獻(xiàn)[11]對(duì)MPSP方法中的控制量進(jìn)行一次形式參數(shù)化近似處理，給出了一種模型預(yù)測擴(kuò)展控制（MPSC）制導(dǎo)方法。與MPSP方法相比，MPSC方法中的控制指令變化更加平緩，利于控制量指令跟蹤。

以上研究均是對(duì)飛行速度方向進(jìn)行約束控制，并沒有對(duì)姿態(tài)角進(jìn)行約束控制。Ilan Rusnak等人[12]基于控制制導(dǎo)一體化理論實(shí)現(xiàn)對(duì)彈體末端姿態(tài)角進(jìn)行直接控制。文獻(xiàn)[13]提出了一種在制導(dǎo)體系下的對(duì)彈體末端姿態(tài)角進(jìn)行間接約束的制導(dǎo)方法。

飛行器在滑翔飛行過程中必須經(jīng)過一些特定點(diǎn)，以完成偵察、載荷投放和突防等任務(wù)，這些點(diǎn)被稱為“路徑點(diǎn)”[14]。文獻(xiàn)[14]在側(cè)向制導(dǎo)中采用基于飛行方向走廊的滾轉(zhuǎn)反向邏輯，滿足飛行過程中禁飛區(qū)、路徑點(diǎn)及終端航向誤差的約束條件。文獻(xiàn)[15] 將改進(jìn)的阻力加速度制導(dǎo)方法應(yīng)用于固定路徑點(diǎn)的目標(biāo)重瞄滑翔制導(dǎo)算法中。文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]均只是事先選擇一個(gè)確定的路徑點(diǎn)。如果地對(duì)地戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈是通過氣動(dòng)舵面進(jìn)行操縱，那么進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)時(shí)就必須確保高度增益不能太大。針對(duì)這一問題，本文對(duì)MPSC制導(dǎo)方法進(jìn)行擴(kuò)展，使其同時(shí)滿足末端角度約束和飛行軌跡路徑點(diǎn)約束。通過在飛行軌跡上設(shè)置一系列路徑點(diǎn)約束，依靠這種策略既可以調(diào)節(jié)飛行軌跡的高度，還可以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行欺騙，縮短目標(biāo)防御反應(yīng)時(shí)間。如果飛行軌跡優(yōu)化能夠?qū)崟r(shí)完成，動(dòng)態(tài)調(diào)整飛行軌跡路徑點(diǎn)還可以使得飛行器靈活選擇突防策略。

1 MPSC制導(dǎo)方法

對(duì)于一般形式的非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程和輸出方程如下：

，使得末端時(shí)刻的實(shí)際輸出 YN與期望輸出滿足：。運(yùn)用線性化理論對(duì)式(1)和式(2)在各節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行離散化，得：

式中，

由于初始狀態(tài)1X是確定的，因此，1d 0X= ，式(3)可簡化為

通過迭代計(jì)算求解誤差系數(shù)矩陣kB：首先，定義如下式：

式(6)~(9)實(shí)現(xiàn)對(duì)誤差系數(shù)矩陣kB的迭代計(jì)算，運(yùn)算量大大減小。

控制量表達(dá)式采用二次形式，如式(10)所示：

式中，a、b和c為當(dāng)前控制量系數(shù)，kt為時(shí)間節(jié)點(diǎn)。

式中，0a、0b和0c為更新前控制量系數(shù)。

將式(12)代入式(6)，得：

式中，

式(14)可以寫成如下形式：當(dāng)式(19)中方程個(gè)數(shù)小于等于系數(shù)a、b和c個(gè)數(shù)時(shí)，通過下式求解a、b和c：

如果式(19)中未知變量的個(gè)數(shù)大于方程數(shù)量，最優(yōu)解可以通過極小化目標(biāo)函數(shù)求解，選取如下性能指標(biāo)函數(shù)：

對(duì)式(22)進(jìn)行變分運(yùn)算，得：

將yC 、yD 和yE分別代入式(23)~(25)，得：

將a、b和c分別代入式(14)，得：

即

式中，

由式(30)得：

因此，控制量偏差為

當(dāng)前控制量為

前面介紹的MPSC制導(dǎo)方法并不能滿足飛行軌跡路徑點(diǎn)約束。下一節(jié)將對(duì)帶有軌跡路徑點(diǎn)約束的MPSC制導(dǎo)方法進(jìn)行分析。

2 帶有軌跡路徑點(diǎn)約束的MPSC制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本文對(duì)MPSC制導(dǎo)方法進(jìn)行擴(kuò)展，使其滿足飛行軌跡路徑點(diǎn)約束。

離散形式的帶有飛行軌跡路徑點(diǎn)約束的制導(dǎo)問題可以描述如下：

性能指標(biāo)：

其中，狀態(tài)方程、輸出方程和性能指標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)于路徑點(diǎn)( 1)i- 至i之間的飛行軌跡，iN為第i個(gè)路徑點(diǎn)對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)。

由于飛行軌跡路徑點(diǎn)i的狀態(tài)是前一段飛行軌跡的末端狀態(tài)，同時(shí)也是后一段飛行軌跡的初始條件，因此帶有飛行軌跡路徑點(diǎn)約束的制導(dǎo)問題屬于一個(gè)復(fù)雜的耦合問題。各路徑點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輸出偏差方程為

將式(37)代入式(36)，得：

將式(12)中dkU 代入式(38)，得：

式中，

式(39)即為第i個(gè)路徑點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輸出偏差方程。飛行軌跡上各個(gè)路徑點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輸出偏差方程和性能指標(biāo)函數(shù)可以寫成下式：

式(41)是一個(gè)線性方程，選取性能指標(biāo)函數(shù)使連續(xù)兩個(gè)軌跡路徑點(diǎn)之間飛行軌跡的控制能量最小。整個(gè)飛行軌跡上的性能指標(biāo)函數(shù)如下式：

第i個(gè)路徑點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輸出偏差方程寫成下式：

式(41)中系統(tǒng)輸出偏差方程為線性形式，采用下式表示飛行軌跡路徑點(diǎn)輸出偏差方程：

式中，

與式(14)和式(21)類似，可以對(duì)式(42)和式(44)構(gòu)成的系統(tǒng)進(jìn)行求解。需要注意的是，各段飛行軌跡對(duì)應(yīng)的誤差系數(shù)矩陣必須具有相同的列數(shù)，因此，各段飛行軌跡中離散控制量的個(gè)數(shù)是相同的。

為了驗(yàn)證帶有飛行軌跡路徑點(diǎn)約束MPSC制導(dǎo)算法的有效性，假設(shè)導(dǎo)彈在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，通過空氣舵進(jìn)行操縱，因此，必須滿足動(dòng)壓條件，需要對(duì)飛行高度進(jìn)行限制。豎直平面內(nèi)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程如下式：

式中，x和y為慣性坐標(biāo)系中的位移，V為速度，γ為彈道傾角，ca為指令加速度，T為推力，D為氣動(dòng)阻力。

導(dǎo)彈采用氣動(dòng)控制，要求以期望的彈道傾角命中目標(biāo)，并且滿足飛行軌跡路徑點(diǎn)約束，因此輸出方程分別采用如下形式：

① 末端彈道傾角和位置約束：與第i個(gè)約束相對(duì)應(yīng)的期望輸出方程為

② 飛行軌跡路徑點(diǎn)約束：與第j個(gè)路徑點(diǎn)約束相對(duì)應(yīng)的輸出方程為

制導(dǎo)問題求解時(shí)首先需要對(duì)狀態(tài)方程和輸出方程進(jìn)行離散化處理，這里采用歐拉法進(jìn)行離散化。另外，本文運(yùn)用PN制導(dǎo)律對(duì)初始控制量進(jìn)行猜測。由于篇幅限制，論文不再詳細(xì)闡述。

3 數(shù)值仿真與分析

分別針對(duì)不考慮飛行軌跡路徑點(diǎn)約束和考慮飛行軌跡路徑點(diǎn)約束這兩種情況進(jìn)行仿真分析。導(dǎo)彈結(jié)構(gòu)參數(shù)請(qǐng)參照文獻(xiàn)[16]，假設(shè)飛行器垂直發(fā)射，攻角α=0°，彈道傾角γ=90°，初始位置位于坐標(biāo)原點(diǎn)。仿真時(shí)，時(shí)間、位置和加速度指令等參數(shù)進(jìn)行歸一化處理。

圖1 飛行軌跡示意圖Fig.1 Trajectories

圖2 彈道傾角變化曲線Fig. 2 Histories of elevation flight path angle

圖3 加速度指令變化曲線Fig.3 Histories of acceleration command

圖1 為飛行軌跡變化示意圖，圖2為彈道傾角變化曲線。不考慮飛行軌跡路徑點(diǎn)約束時(shí)，采用式(46)形式的約束，飛行器以的傾角命中目標(biāo)。由于飛行器的彈道高度太高，導(dǎo)致動(dòng)壓過低，需要采用其他的操控方式進(jìn)行控制?？紤]飛行軌跡路徑點(diǎn)約束時(shí)，采用式(46)和式(47)形式的約束。由圖1可知，飛行軌跡經(jīng)過設(shè)定的約束路徑點(diǎn)，以的傾角命中目標(biāo)。因此，通過引入飛行軌跡路徑點(diǎn)約束對(duì)飛行高度進(jìn)行限制，調(diào)節(jié)飛行軌跡的形狀，可以提高飛行器的突防能力。圖3為法向加速度指令變化曲線，由于法向加速度指令采用二次形式近似，在整個(gè)制導(dǎo)過程中法向加速度指令在有限范圍內(nèi)變化平緩，并沒有出現(xiàn)突變。

4 結(jié) 論

本文提出了一種滿足末端角度約束和飛行軌跡路徑點(diǎn)約束的 MPSC制導(dǎo)方法。通過飛行軌跡路徑點(diǎn)約束限制飛行高度，不僅可以使動(dòng)壓滿足采用氣動(dòng)舵進(jìn)行操控的條件，還可以借助于飛行軌跡的調(diào)節(jié)縮短目標(biāo)防御反應(yīng)時(shí)間。由于 MPSC制導(dǎo)算法計(jì)算量較小，因此可以通過飛行軌跡地實(shí)時(shí)優(yōu)化進(jìn)行飛行軌跡路徑點(diǎn)地動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，使得飛行器具備靈活選擇突防策略的能力。目前這方面的研究在已公開的文獻(xiàn)中還比較少。

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Guidance law of model predictive spread control with waypoints and terminal impact angle constraints

LI Xin-san1, WANG Li-xin1, FAN Xiao-hu2, YAN Xun-liang1, XUE Liang1, WANG Ming-jian2
(1. Department 3, The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China; 2. Petty Officer Academy, The Second Artillery Engineering University, Qingzhou 262500, Shandong, China)

In view of guidance law with multi-constraints, a suboptimal guidance law with both terminal impact angle and waypoints constraints is presented by using the proposed model predictive spread control (MPSC) technique. Waypoints constraint gives the flexibility to shape the trajectory as well as to deny the enemy a long reaction time. The MPSC guidance law is based on nonlinear optimal control theory. The design process of guidance law is given, supposing that the controlled variable adopts quadratic approximation. Some modifications on the MPSC guidance law are given, then it can also satisfy the flight trajectory constraints instead of only satisfying the final output constraints. Simulation results show that the missile can pass through the given waypoints in addition to achieving near zero miss distance with demand flight path angle.

guidance law; model predictive spread control; terminal impact angle constraint; waypoint constraint

V444

A

1005-6734(2016)01-0119-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.01.022

2015-10-23；

2015-12-29

國家自然科學(xué)基金（61503390）

李新三（1982—），男，博士研究生，從事導(dǎo)航制導(dǎo)仿真技術(shù)研究。E-mail: xinsan_2006@163.com

聯(lián) 系 人：汪立新（1966—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: wanglixin066@sina.cn