王　霞, 洪永淼

(1． 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 北京 100190； 2． 康奈爾大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)系與統(tǒng)計(jì)學(xué)系， 紐約 14850；3． 廈門大學(xué)王亞南經(jīng)濟(jì)研究院， 廈門 361005)

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基于非參數(shù)回歸的遺漏變量檢驗(yàn)①

王霞1, 洪永淼2, 3

(1． 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 北京 100190； 2． 康奈爾大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)系與統(tǒng)計(jì)學(xué)系， 紐約 14850；3． 廈門大學(xué)王亞南經(jīng)濟(jì)研究院， 廈門 361005)

摘要：基于非參數(shù)回歸提出了同時(shí)適用于橫截面和時(shí)間序列數(shù)據(jù)的遺漏變量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，該統(tǒng)計(jì)量不僅避免了模型設(shè)定偏誤問題，而且具有更高的局部檢驗(yàn)功效，能夠識(shí)別出速度更快的收斂到原假設(shè)的局部備擇假設(shè).該文選擇單一帶寬估計(jì)條件聯(lián)合期望和條件邊際期望，允許二者的非參數(shù)估計(jì)誤差共同決定統(tǒng)計(jì)量的漸近分布，不僅改善了統(tǒng)計(jì)量的有限樣本性質(zhì)，而且避免了選擇多個(gè)帶寬和計(jì)算多個(gè)偏差項(xiàng)產(chǎn)生的繁雜工作.蒙特卡洛模擬結(jié)果表明該統(tǒng)計(jì)量具有良好的有限樣本性質(zhì)以及比Ait-Sahalia等更高的檢驗(yàn)功效.實(shí)證分析采用該統(tǒng)計(jì)量捕獲了F統(tǒng)計(jì)量無法識(shí)別的產(chǎn)出缺口與通脹之間關(guān)系，驗(yàn)證了非線性“產(chǎn)出—通脹”型菲利普斯曲線在中國(guó)的適用性.

關(guān)鍵詞：遺漏變量； 非參數(shù)回歸； 非線性； 檢驗(yàn)功效； 均值格蘭杰因果關(guān)系

0引言

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)者一般假設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是個(gè)隨機(jī)過程，該過程由某個(gè)未知的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型支配.由于研究人員無法知曉真實(shí)模型形式，只能選擇一系列模型近似經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征，這使得模型選擇成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的基本問題.盡管在通常情況下引入更多解釋變量能夠優(yōu)化模型近似效果，但是，由于簡(jiǎn)單模型相對(duì)于復(fù)雜模型，具有更加明晰的經(jīng)濟(jì)含義，分析人員傾向于選擇簡(jiǎn)單模型，即計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“KISS” (keep it sophistically simple) 原則.

簡(jiǎn)化模型的重要方式便是通過嚴(yán)格檢驗(yàn)剔除回歸模型中的冗余解釋變量.當(dāng)樣本容量有限時(shí)，在回歸模型中引入過多解釋變量，不僅會(huì)降低模型參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)效率，而且會(huì)導(dǎo)致過度擬合問題，使得具有良好樣本內(nèi)擬合效果的模型無法應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中.特別是由于非參數(shù)模型存在“維數(shù)災(zāi)”(curse of dimensionality) 問題，解釋變量個(gè)數(shù)的增加會(huì)對(duì)模型估計(jì)收斂速度產(chǎn)生嚴(yán)重影響，因此，在非參數(shù)模型中減少解釋變量個(gè)數(shù)顯得尤為重要.然而，盲目刪減解釋變量，不僅會(huì)忽略某些重要解釋變量對(duì)被解釋變量的影響效果，還有可能導(dǎo)致遺漏變量偏差問題，錯(cuò)誤估計(jì)被解釋變量對(duì)其它解釋變量的反應(yīng)程度.因此，在建模過程中合理判斷是否應(yīng)當(dāng)刪除某些解釋變量，即檢驗(yàn)遺漏變量問題，具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.

在線性高斯模型中，研究人員可以借助檢驗(yàn)參數(shù)顯著性的t統(tǒng)計(jì)量或者F統(tǒng)計(jì)量考察遺漏變量問題.然而，t和F統(tǒng)計(jì)量?jī)H能識(shí)別線性影響關(guān)系，無法捕獲經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中普遍存在的非線性特征.隨著非線性建模技術(shù)在經(jīng)濟(jì)金融分析中的廣泛應(yīng)用，越來越多的計(jì)量分析人員注意到t和F統(tǒng)計(jì)量在遺漏變量檢驗(yàn)中的局限性，并嘗試構(gòu)建適用于非線性分析框架的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.與線性模型形式單一不同的是，現(xiàn)有文獻(xiàn)表明經(jīng)濟(jì)金融變量之間的非線性關(guān)系具有多種表現(xiàn)形式，這使得針對(duì)某一特定非線性模型的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量極易受到模型設(shè)定偏誤而得出錯(cuò)誤的檢驗(yàn)結(jié)論.為了避免這一問題，現(xiàn)有文獻(xiàn)一般借助非參數(shù)方法研究非線性框架下的遺漏變量檢驗(yàn)問題.在獨(dú)立同分布數(shù)據(jù)生成過程的假定下，F(xiàn)an和Li[1]以及 Lavergne和Vuong[2]基于非參數(shù)估計(jì)殘差，構(gòu)造了遺漏變量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.為了探討時(shí)間序列分析中的遺漏變量問題，Ait-Sahalia等[3]在β-混合條件下，采用非參數(shù)核方法估計(jì)原假設(shè)和備擇假設(shè)下的條件期望，并基于二者之差構(gòu)造了遺漏變量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.這些研究在很大程度上豐富和完善了相關(guān)領(lǐng)域的理論研究成果，為研究人員探討實(shí)際經(jīng)濟(jì)金融問題提供了重要的理論工具和建模依據(jù).

本文基于非參數(shù)回歸構(gòu)造了遺漏變量的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，探討了該統(tǒng)計(jì)量的漸近分布和局部檢驗(yàn)功效，并采用蒙特卡洛模擬考察了統(tǒng)計(jì)量的有限樣本性質(zhì).該統(tǒng)計(jì)量不僅避免了模型設(shè)定偏誤問題，而且同時(shí)適用于橫截面數(shù)據(jù)和時(shí)間序列數(shù)據(jù)，并且在原假設(shè)成立時(shí)漸近服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，能夠十分便利地應(yīng)用到實(shí)證分析中.特別地，本文統(tǒng)計(jì)量相對(duì)于文獻(xiàn)[1-3] 中的統(tǒng)計(jì)量，具有如下重要優(yōu)勢(shì)：第1，該統(tǒng)計(jì)量具有更高的局部檢驗(yàn)功效，能夠識(shí)別出速度更快的收斂到原假設(shè)的局部備擇假設(shè).文獻(xiàn)[1-3] 中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的收斂速度依賴于備擇假設(shè)下解釋變量的個(gè)數(shù)，而本文統(tǒng)計(jì)量的收斂速度僅依賴于原假設(shè)中解釋變量的維度，這使得本文統(tǒng)計(jì)量緩解了非參數(shù)檢驗(yàn)中普遍存在的“維數(shù)災(zāi)”問題，具有更高的檢驗(yàn)功效；第2，與現(xiàn)有文獻(xiàn)不同的是，本文采用單一帶寬估計(jì)條件聯(lián)合期望和條件邊際期望，允許二者的非參數(shù)估計(jì)誤差共同決定統(tǒng)計(jì)量的漸近分布，這不僅改善了有限樣本情況下檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的水平性質(zhì)，而且還避免了選擇多個(gè)帶寬以及考慮多個(gè)偏差項(xiàng)產(chǎn)生的繁雜工作.本文統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用領(lǐng)域與t統(tǒng)計(jì)量或者F統(tǒng)計(jì)量在線性回歸模型中的應(yīng)用領(lǐng)域類似，如判斷是否應(yīng)當(dāng)剔除某個(gè)解釋變量等等.只是，與t和F統(tǒng)計(jì)量?jī)H能捕獲變量的線性影響關(guān)系不同的是，本文統(tǒng)計(jì)量避免了模型設(shè)定偏誤對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果的影響，特別適用于考察變量之間的非線性影響關(guān)系.例如，作為遺漏變量的特殊應(yīng)用，本文統(tǒng)計(jì)量還可以用于檢驗(yàn)均值格蘭杰因果關(guān)系，相對(duì)于Granger[4]構(gòu)造的F統(tǒng)計(jì)量，它能夠捕獲線性以及多種形式的非線性格蘭杰因果關(guān)系，可以用于探討貨幣與產(chǎn)出的非線性格蘭杰因果關(guān)系、金融市場(chǎng)的非線性溢出效應(yīng)等經(jīng)濟(jì)與金融問題.

1遺漏變量的原假設(shè)與備擇假設(shè)

記X和Z分別表示維度為dx和dz的隨機(jī)向量，Y表示一維隨機(jī)變量.對(duì)于每個(gè)隨機(jī)向量，均有n個(gè)同分布的弱相依觀測(cè)值(Xt,Yt,Zt),t=1,2,…,n.此處下標(biāo)t在時(shí)間序列范疇下表示時(shí)間指標(biāo)，在橫截面范疇下，代表著橫截面單元，如家庭、廠商等等.為了避免模型設(shè)定偏誤對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響，本文在非參數(shù)框架下探討遺漏變量檢驗(yàn)問題.在Yt關(guān)于Xt的非參數(shù)回歸模型中，隨機(jī)向量Zt不是遺漏變量的原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為

(1)

對(duì)某些具有正概率測(cè)度的y∈

(2)

其中E(A|B)表示隨機(jī)向量A基于B的條件期望.式 (1) 所示的原假設(shè)等價(jià)于在如下非參數(shù)回歸模型中，檢驗(yàn)引入Zt能否提高模型的擬合程度

Yt=f(Xt,Zt)+εt

(3)其中f(·)是個(gè)未知函數(shù)，εt是不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差項(xiàng)，滿足E(εt|Xt,Zt)=0.根據(jù)式 (1)，Ait-Sahalia等采用非參數(shù)核方法估計(jì)E(Yt|Xt,Zt)以及E(Yt|Xt)，并基于二者估計(jì)值之差構(gòu)造了遺漏變量的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.然而，由于E(Yt|Xt,Zt)的非參數(shù)估計(jì)涉及dx+dz維平滑，該統(tǒng)計(jì)量存在嚴(yán)重的“維數(shù)災(zāi)”問題.為了緩解“維數(shù)災(zāi)”問題，提高統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效，給出如下引理.

引理1假設(shè)Y是實(shí)數(shù)空間上滿足E|Y|<∞的嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)變量，X和Z分別為實(shí)數(shù)空間dx和dz上的嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)向量，則

cov(Yt,eiv′Zt|Xt)=0, ?v∈dz

(4)

等價(jià)于

E(Yt|Xt,Zt)=E(Yt|Xt)

(5)

引理1可視為Bierens[5]的結(jié)論由無條件期望向條件期望的擴(kuò)展，其具體證明過程在附錄部分給出.

根據(jù)引理1，可以將式 (1) 和 式(2) 所示的原假設(shè)和備擇假設(shè)等價(jià)地表示為

對(duì)任意v∈dz

(6)

對(duì)某些具有正概率測(cè)度的v∈dz

(7)

與原假設(shè) (1) 相比，式 (6) 所示的原假設(shè)僅涉及dx維平滑，這使得基于式 (6) 構(gòu)造的遺漏變量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量能夠緩解“維數(shù)災(zāi)”問題，具有更高的檢驗(yàn)功效.關(guān)于本文統(tǒng)計(jì)量與Ait-Sahalia等統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)功效的詳細(xì)探討，參見本文3.2節(jié).

2基于非參數(shù)回歸的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2.1非參數(shù)回歸估計(jì)量

σ(v,x)=cov(Yt,eiv′Zt|Xt=x)

=E(eiv′ZtYt|Xt=x)-

E(eiv′Zt|Xt=x)E(Yt|Xt=x)

=0

(8)

由于3個(gè)條件期望的估計(jì)類似，本文以φyz(v,x)為例予以說明.為了估計(jì)φyz(v,x)，考慮如下局部加權(quán)最小二乘問題

Kh(x-Xt)]

(9)

(10)

其中X表示第i行元素為[1,(Xi-x)′]的n×(dx+1)維矩陣;W=diag[Kh(X1-x),…,Kh(Xn-x)].φyz(v,x)的估計(jì)值由局部截距項(xiàng)估計(jì)值給出

(11)

2.2基于非參數(shù)回歸的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

根據(jù)式 (6), 在Zt不是遺漏變量的原假設(shè)下，σ(v,x)=0.因此，可以通過度量

與零之間的差異考察原假設(shè)是否成立.本文考慮構(gòu)造如下二次方形式的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(12)

在有限樣本情況下，極端值附近的觀測(cè)樣本比較稀疏，這使得條件期望在該取值附近的非參數(shù)估計(jì)結(jié)果并不準(zhǔn)確.為了避免或者降低不可信估計(jì)量對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果的影響，本文在式 (12) 所示的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中引入加權(quán)函數(shù)a(·)截?cái)喾e分.這一處理方式已經(jīng)在現(xiàn)有文獻(xiàn)中得到了廣泛應(yīng)用[3,7-8].另外，由于原假設(shè)要求對(duì)任意v∈dz,σ(v,x)=0均成立，所以式 (12) 中進(jìn)一步引入加權(quán)函數(shù)W(·)綜合考慮在v的所有或者多個(gè)取值點(diǎn)處σ(v,x)與零之間的差異.相關(guān)文獻(xiàn)一般采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布作為加權(quán)函數(shù)W(·).事實(shí)上，W(·)未必是連續(xù)函數(shù)，任意可數(shù)個(gè)不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成的非遞減函數(shù)均符合本文對(duì)W(·)的基本假定.例如，采用離散多元累積分布作為離散型加權(quán)函數(shù)，允許研究者僅考慮v的有限取值點(diǎn)，從而可以避免計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量時(shí)面臨的高維積分問題.

(13)

(14)

(15)

并且

為了改善統(tǒng)計(jì)量在有限樣本情況下的檢驗(yàn)水平，本文進(jìn)一步構(gòu)造了如下有限樣本形式的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(16)

其中有限樣本形式的均值表達(dá)式

(17)

這與式 (6) 所示的原假設(shè)相同，因此，可以直接采用式 (12) 所示的統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)均值格蘭杰因果關(guān)系.與Granger[4]基于F統(tǒng)計(jì)量的格蘭杰因果檢驗(yàn)不同的是，本文統(tǒng)計(jì)量不僅能夠捕獲線性格蘭杰因果關(guān)系，而且能夠識(shí)別多種形式的非線性均值格蘭杰因果關(guān)系.

3檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近性質(zhì)

3.1漸近分布理論

(18)

需要特別強(qiáng)調(diào)的是，本文采用相同帶寬估計(jì)條件聯(lián)合期望φyz(v,x)和條件邊際期望φz(v,x)、φy(x)，允許二者的非參數(shù)估計(jì)誤差是同階項(xiàng)，進(jìn)而共同決定了統(tǒng)計(jì)量的漸近分布.這一處理方式與文獻(xiàn)[1-3]存在一定差異.上述文獻(xiàn)選擇了兩個(gè)不同的帶寬估計(jì)條件聯(lián)合期望和條件邊際期望，并且對(duì)兩個(gè)帶寬的相對(duì)階數(shù)施加一定約束，使得條件邊際密度函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)誤差收斂速度更快，從而不會(huì)影響統(tǒng)計(jì)量的漸近分布.然而，盡管在漸近理論上邊際期望的估計(jì)誤差是聯(lián)合期望估計(jì)誤差的高階項(xiàng)，二者在有限樣本情況下可能十分接近.此時(shí)，忽略邊際期望估計(jì)誤差可能會(huì)影響統(tǒng)計(jì)量的有限樣本性質(zhì)，產(chǎn)生嚴(yán)重的水平扭曲問題.Ait-Sahalia等[3]為了改善統(tǒng)計(jì)量的有限樣本性質(zhì)，在構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量時(shí)引入了3個(gè)估計(jì)偏差項(xiàng).盡管其中兩項(xiàng)是另一項(xiàng)的高階項(xiàng)，但是在有限樣本情況下，三者十分接近，若僅保留首項(xiàng)，則會(huì)嚴(yán)重影響統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)水平性質(zhì).

3.2局部檢驗(yàn)功效

由于本文統(tǒng)計(jì)量和Ait-Sahalia等統(tǒng)計(jì)量均是在β-混合條件下構(gòu)造的，因此，有必要詳細(xì)比較二者的局部檢驗(yàn)功效.

Ait-Sahalia等采用如下局部平滑備擇假設(shè)考察了統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效性質(zhì)

E(Yt|Xt=x,Zt=z)=E(Yt|Xt=x)+

anΔ(x,z)

(19)其中Δ(x,z)滿足?Δ2(x,z)f(x,z)a(x,z)dxdz<∞，并且∫Δ(x,z)f(x,z)dz=0.Ait-Sahalia等證明了在局部備擇假設(shè)式 (19) 中，其構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效為an=n-1/2h-(dx+dz)/4.

(21)

D=2?a2(x)[φy2(x)-|φy(x)|2]2×

|Φz(mì)(v1+v2,x)|2dW(v1)dW(v2)dx×

(22)

其中

Φz(mì)(a1+a2,x)=φz(a1+a2,x)-

φz(a1,x)φz(a2,x)

4蒙特卡洛模擬

Zt=0.5Zt-1+ε2,t

以上數(shù)據(jù)生成過程涵蓋了文獻(xiàn)中應(yīng)用較為廣泛的線性和非線性模型.Su和White[11]曾采用上述數(shù)據(jù)生成過程探討條件獨(dú)立性檢驗(yàn)問題.本節(jié)需要檢驗(yàn)的原假設(shè)是，在Yt關(guān)于Yt-1的回歸方程中，Zt-1不是遺漏變量

(23)

即，檢驗(yàn)在一階滯后情形下，Zt-1是否為Yt的均值格蘭杰原因.在上述6個(gè)數(shù)據(jù)生成過程中，DGP.S1-S3滿足式 (23) 所示的原假設(shè)，從而可以考察統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)水平性質(zhì)，DGP.P1-P3則用于探討統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效性質(zhì).特別地，在DGP.P1-P3中，除DGP.P1之外的其它所有數(shù)據(jù)生成過程都是非線性的.

5實(shí)證應(yīng)用

如前所述，均值格蘭杰因果檢驗(yàn)可視為遺漏變量檢驗(yàn)的特殊應(yīng)用，因此，本節(jié)將采用前文構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量考察產(chǎn)出缺口在均值上是否為通貨膨脹率的格蘭杰原因，即考察文獻(xiàn)中得到廣泛探討的“產(chǎn)出—通脹”型菲利普斯曲線能否用于預(yù)測(cè)我國(guó)通脹率*預(yù)測(cè)分為樣本內(nèi)預(yù)測(cè)和樣本外預(yù)測(cè)兩類，此處探討的是樣本內(nèi)預(yù)測(cè).由于本文的研究目的不是構(gòu)造樣本外預(yù)測(cè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，故不再對(duì)樣本外預(yù)測(cè)效果的評(píng)價(jià)展開討論..Phillips[14]指出，失業(yè)與通貨膨脹之間存在著反向變動(dòng)關(guān)系；奧肯(Okun[15])定律則說明產(chǎn)出缺口與失業(yè)率之間也存在著反向變動(dòng)關(guān)系.二者結(jié)合起來，便形成了“產(chǎn)出—通脹”型菲利普斯曲線，表明通脹率與產(chǎn)出缺口呈正向關(guān)系，即當(dāng)產(chǎn)出缺口為正時(shí)，整個(gè)經(jīng)濟(jì)體面臨通脹壓力；反之，存在通縮壓力.根據(jù)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，若出現(xiàn)正的產(chǎn)出缺口，意味著總需求大于總供給，則通脹壓力將會(huì)增大；反之，若出現(xiàn)負(fù)的缺口，即總供給大于總需求，則通縮壓力增加.這為“產(chǎn)出—通脹”型菲利普斯曲線的存在提供了一定的經(jīng)濟(jì)理論依據(jù).

表1　DGP.S1-S3的檢驗(yàn)水平性質(zhì)

注： 1.F表示Granger[4]線性格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)的F統(tǒng)計(jì)量計(jì)算結(jié)果，ABS表示Ait-Sahalia等[3]遺漏變量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果；

2. 表中漸近分布的計(jì)算結(jié)果均是基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布單邊臨界值得到的1 000次蒙特卡洛模擬的拒絕概率.

表2　DGP.P1-P3的檢驗(yàn)功效

注： 1.F表示Granger[4]線性格蘭杰因果關(guān)系的F統(tǒng)計(jì)量計(jì)算結(jié)果，ABS表示Ait-Sahalia等[3]遺漏變量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果；

2. 表中報(bào)告了基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布單邊臨界值得到的1 000次蒙特卡洛模擬的拒絕概率.

5.1指標(biāo)選取與數(shù)據(jù)處理

由于我國(guó)官方統(tǒng)計(jì)資料僅對(duì)季度GDP予以核算，沒有直接可獲得的月度GDP統(tǒng)計(jì)資料，本文采用季度頻率予以建模，選取的樣本區(qū)間為1983年1季度至2012年4季度，共120個(gè)樣本點(diǎn)，所有數(shù)據(jù)均來源于中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)庫和國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站.數(shù)據(jù)選取與處理簡(jiǎn)要描述如下：

1)通貨膨脹率的選取本文通過消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)的月度同比數(shù)據(jù)計(jì)算年化的季度通脹率，其中1983年至1989年的消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)采用商品零售價(jià)格指數(shù)替代.由于官方CPI數(shù)據(jù)為月度同比數(shù)據(jù)，本文通過3項(xiàng)移動(dòng)平均計(jì)算出季度同比CPI數(shù)據(jù)，并根據(jù)(季度CPI-1)×100%獲得季度通貨膨脹率πt，季度通貨膨脹率時(shí)間序列圖如圖1(a)所示；

2)產(chǎn)出缺口的測(cè)算首先根據(jù)官方統(tǒng)計(jì)資料公布的同比累計(jì)GDP增長(zhǎng)率和名義GDP水平值推算出1992年—2012年以1992年為不變價(jià)的季度實(shí)際GDP；其次，為擴(kuò)充數(shù)據(jù)樣本，使得檢驗(yàn)結(jié)果更加可靠，按照劉金全等[16]、陳浪南和劉宏偉[17]等采用的方法對(duì)我國(guó)1978年—1991年度實(shí)際GDP進(jìn)行季度分解 (具體分解方法可參考Abeysinghe和Gulasekaran[18])，將實(shí)際GDP數(shù)據(jù)樣本擴(kuò)展到1978年1季度；再次，采用Tramo-Seats方法對(duì)實(shí)際GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行季度調(diào)整，并計(jì)算對(duì)數(shù)百分化數(shù)據(jù)y=100×lnGDPt；最后，參考鄭挺國(guó)和王霞[19]，采用HP (hodrick-prescott) 濾波、QT (quadratic trend) 濾波、BK (baxter-king) 濾波、CF (christiano-fitzgerald) 濾波，以及基于不可觀測(cè)成分 (UC) 模型的CL (Harvey[20]; Clark[21]) 模型和HJ (Harvey和J?ger[22]) 模型6種退勢(shì)方法估算出我國(guó)1978年—2012年的產(chǎn)出缺口.圖1(b)-(d)給出了6種不同退勢(shì)方法得出的產(chǎn)出缺口時(shí)間序列圖.

5.2實(shí)證檢驗(yàn)結(jié)果

圖1(a)　通貨膨脹率Fig. 1(a) Inflation rate

圖1(b)　基于HP濾波和QT濾波的產(chǎn)出缺口Fig. 1(b) Output gaps based on HP and QT filters

圖1(c) 基于BK濾波和CF濾波的產(chǎn)出缺口Fig. 1(c) Output gaps based on BK and CF filters

圖1(d) 基于CL濾波和HJ濾波的產(chǎn)出缺口Fig. 1(d) Output gaps based on CL and HJ filtes

表3　均值格蘭杰因果關(guān)系檢驗(yàn)結(jié)果

Table 3 Results of Granger causality tests in mean

HPQTBKCFCLHJGRF0.01560.34150.00950.00000.62260.33700.2027M^0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000

2．表中前6列分別為采用6種濾波的產(chǎn)出缺口估計(jì)值的檢驗(yàn)結(jié)果，最后一列為GDP同比增速的檢驗(yàn)結(jié)果.

6結(jié)束語

考慮到遺漏變量問題在模型選擇和估計(jì)中發(fā)揮的重要作用，本文借助非參數(shù)回歸方法，構(gòu)造了同時(shí)適用于線性以及非線性回歸模型的遺漏變量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.該統(tǒng)計(jì)量既適用于橫截面數(shù)據(jù)又適用于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，并且在原假設(shè)成立時(shí)漸近服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，能夠十分便利地應(yīng)用到實(shí)證研究中.特別地，與文獻(xiàn)[1-3] 基于非參數(shù)方法構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量相比，本文統(tǒng)計(jì)量至少具有如下兩點(diǎn)優(yōu)勢(shì)：

第1，本文統(tǒng)計(jì)量的收斂速度僅依賴于原假設(shè)成立時(shí)解釋變量的維度，能夠識(shí)別出收斂到原假設(shè)速度更快的局部備擇假設(shè).文獻(xiàn)[1-3] 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的收斂速度依賴于備擇假設(shè)下解釋變量的維度，涉及更高維度的平滑.因此，與之相比，本文統(tǒng)計(jì)量不僅在一定程度上緩解了“維數(shù)災(zāi)”問題，而且還因收斂速度更快而具有更高的局部檢驗(yàn)功效；

第2，與現(xiàn)有文獻(xiàn)不同的是，本文采用單一帶寬估計(jì)條件聯(lián)合期望和條件邊際期望，允許二者的非參數(shù)估計(jì)誤差共同決定統(tǒng)計(jì)量的漸近分布，使得推導(dǎo)漸近分布時(shí)忽略的高階項(xiàng)更少.這不僅改善了統(tǒng)計(jì)量的有限樣本性質(zhì)，而且還避免了在實(shí)際應(yīng)用中選擇多個(gè)帶寬以及計(jì)算多個(gè)偏差項(xiàng)帶來的繁雜工作.

此外，本文采用蒙特卡洛模擬考察了統(tǒng)計(jì)量的有限樣本性質(zhì).數(shù)值模擬結(jié)果表明本文統(tǒng)計(jì)量具有合理的檢驗(yàn)水平以及良好的檢驗(yàn)功效.特別地，與Ait-Sahalia等以及F統(tǒng)計(jì)量相比，本文統(tǒng)計(jì)量不僅能夠同時(shí)捕獲線性以及多種非線性回歸模型中的遺漏變量問題，而且具有比它更高的檢驗(yàn)功效，這與本文理論部分的分析結(jié)論相一致.最后，本文還應(yīng)用該統(tǒng)計(jì)量考察了我國(guó)產(chǎn)出缺口在通脹預(yù)測(cè)中的作用，驗(yàn)證了非線性“產(chǎn)出—通脹”型菲利普斯曲線在我國(guó)通脹預(yù)測(cè)中的適用性.

本文未來的研究方向包括但不僅限于如下幾點(diǎn)：第1，最優(yōu)帶寬的選取.本文定理1給出了帶寬的許可階數(shù)，但是在實(shí)際操作中如何選擇帶寬，并沒有給出進(jìn)一步的建議.Gao和Gijbels[29]基于給定顯著性水平最大化檢驗(yàn)功效的原則探討了其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量帶寬的選擇問題，但是，Gao和Gijbels的結(jié)果依賴于統(tǒng)計(jì)量的形式、數(shù)據(jù)生成過程、核函數(shù)等多種因素，無法直接應(yīng)用到本文檢驗(yàn)中，因此，本文將最優(yōu)帶寬的選取作為下一步的研究方向；第2，長(zhǎng)記憶過程的條件獨(dú)立性檢驗(yàn).本文假設(shè)1的β-混合條件約束了時(shí)間序列的相關(guān)程度.對(duì)于不滿足該條件的長(zhǎng)記憶過程，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的均值和方差表達(dá)式都會(huì)發(fā)生改變.構(gòu)造適用于長(zhǎng)記憶過程的條件獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，將是筆者的第2個(gè)研究方向；第3，樣本外預(yù)測(cè)的非參數(shù)檢驗(yàn).本文檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可用于考察均值格蘭杰因果關(guān)系，即樣本內(nèi)預(yù)測(cè)，但是并不適用于樣本外預(yù)測(cè).如何構(gòu)建樣本外預(yù)測(cè)的非參數(shù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，將是筆者的第3個(gè)研究方向.

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1.引理1的證明

對(duì)eiv′Zt關(guān)于Zt在原點(diǎn)附件做泰勒展開可得

根據(jù)Chung[28]中的定理9.1.2可知，在實(shí)數(shù)空間上存在一個(gè)布萊爾可測(cè)的實(shí)函數(shù)，不妨設(shè)為q，滿足

E(Yt|Xt)=q(Xt)

(A.1)

E(Yt|Xt,Zt)-q(Xt)=r(Xt,Zt)

(A.2)

令r1(·)=max{r(·),0},r2(·)=max{-r(·),0}，則r1和r2均為實(shí)數(shù)空間上的非負(fù)布萊爾可測(cè)實(shí)函數(shù)，并且滿足

r=r1-r2

令c1(X)=Ez[r1(Xt,Zt)]>0,c2(X)=Ez[r2(Xt,Zt)]>0，其中EZ(·)表示關(guān)于Z求條件期望.顯然，r1(Xt,Zt)和r2(Xt,Zt)關(guān)于Z的條件期望為Xt的函數(shù).由于

由上式以及cov(Yt,eiv′Zt|Xt)=0可得

E[r(Xt,Zt)eiv′Zt|Xt]=0?v∈dz.

另外，在歐幾里得空間上的布萊爾域B定義兩個(gè)概率測(cè)度F1以及F2滿足

Fj(B,X)=∫Brj(X,u)dF(u|X)/cj(X),j=1,2(A.3)

其中F(u|X)是由隨機(jī)向量Zt生成的條件概率測(cè)度，B是Β上的任意布萊爾集.據(jù)此可得

由于E[r(Xt,Zt)eiv′Zt|Xt]=0，故有

c1(Xt)∫eiv′ZtdF1(u|Xt)=c2(Xt)∫eiv′ZtdF2(u|Xt)

進(jìn)一步令u=0可得

c1(x)=c2(x)c1(Xt)=c2(Xt)，?Xt∈G

(A.4)

由以上兩式可知

∫eiv′ZtdF1(u|Xt)=∫eiv′ZtdF2(u|Xt)， ?v∈dz

上式意味著概率測(cè)度F1和F2是等價(jià)的，即，對(duì)任意布萊爾集B，F(xiàn)1(B|X)=F2(B|X)均成立.根據(jù)式(A.3)和式(A.4)可得

∫Br1(u,X)dF(u|X)=∫Br2(u,X)dF(u|X)

對(duì)任意X∈G，定義布萊爾集

B1(X)={Z∈dz∶r(X,z)>0}

并且

B2(X)={Z∈dz∶r(X,z)<0}

則有

∫B1(X)r(u,X)dF(u|X)=0

并且

∫B2(X)r(u,X)dF(u|X)=0

即

∫B1(X)∪B2(X)r(u,X)dF(u|X)=0

這表明對(duì)任意X∈G，B1(X)∪B2(X)={Z∈dz∶r(X,z)≠0}在概率測(cè)度F上為空集，即r(X,u)=0a.s.

根據(jù)式(A.2) 和 式(A.3) 可得E(Yt|Xt,Zt)=E(Yt|Xt)a.s.

證畢.

2.定理1的證明

(A.5)

引理A.1在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

(A.7)

其中

式中ξs=(Xs,Ys,Zs).

引理A.2在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

(A.8)

其中

dW(v)dx∫K(τ)2dτ,

Re[εz(v,Xs)εz(v,Xr)*]dW(v)dx

引理A.3在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

(A.9)

其中

∫K(τ)2dτ,

引理A.4在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

(A.9)

其中

引理A.5在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

其中

Re[φy(x)εyz(v,Xs)εz(v,Xr)*]dW(v)dx

引理A.6在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

其中

Re[φz(v,x)*εyz(v,Xs)εy(v,Xr)]dW(v)dx

引理A.7在定理1的條件以及原假設(shè)成立的情況下

T7+T8+T9+T10=oP(1)

并且

Φz(mì)(v1+v2,x)=φz(v1+v2,x)-φz(v1,x)φz(v2,x)

根據(jù)引理A.1至引理A.9可知，定理1得證.篇幅所限，此處不再給出引理A.1至A.9的證明過程，感興趣者可向作者索取.

3.定理2的證明

在局部備擇假設(shè)式(20)成立的條件下

易證

以及

var(M1)=OP(hdx/2(n-1h-dx+h4))=oP(1)

根據(jù)契比雪夫不等式，即可得到M1=oP(1).根據(jù)大數(shù)定理，有

證畢.

附錄：

Nonparametric-regression-based testing for omitted variables

WANGXia1，HONGYong-miao2,3

1.School of Economics and Management, University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China；2.Department of Economics and Department of Statistical Sciences, Cornell University, NY 14850, USA；3.The Wang Yanan Institute for Studies in Economics (WISE), Xiamen University, Xiamen 361005, China

Abstract:This paper proposes a nonparametric-regression-based test for omitted variables, which is applicable in both cross-sectional and time series contexts. Our test not only avoids the model misspecification problem, but also are locally more powerful than the existing tests. Moreover, unlike many other nonparametric-based tests, we use a single bandwidth rather than two different bandwidths in estimating both the conditional joint and marginal expectations, which significantly improves the size performance of our test in finite samples. Monte Carlo studies demonstrate the well behavior of our test in finite samples, which could not only capture the omitted variables feature in linear and nonlinear regressions, but also is more powerful than Ait-Sahalia et al.’s (2001) test. In an application to testing the nonlinear Granger causality in mean, we document the existence of nonlinear relationships between theoutput gap and inflation,that is, the nonlinear “output-inflation” type of Phillips curve maybe is more suitable for China’s inflation forecast.

Key words:omitted variable; nonlinear; nonparametric regression; power; Granger causality in mean

中圖分類號(hào):F224.0

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1007-9807(2016)03-0077-15

作者簡(jiǎn)介:王霞 (1985—)， 女， 山東濟(jì)寧人， 博士， 講師. Email: wangxia@ucas.ac.cn

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(71401160)；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金資助項(xiàng)目(14YJC790120)：中國(guó)科學(xué)院大學(xué)校部教師與研究所科研合作專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目.

收稿日期：(①) 2013-05-21；

修訂日期：2013-12-25.