☉浙江省黃巖中學(xué)黃仙萍

讓高中數(shù)學(xué)“難題”越做越“簡(jiǎn)單”

☉浙江省黃巖中學(xué)黃仙萍

在現(xiàn)行的高考模式下，高中數(shù)學(xué)在高考科目中占有重要的地位，這已經(jīng)成為廣大教師和學(xué)生的共識(shí).解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，筆者在平時(shí)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生對(duì)于考題給出的標(biāo)準(zhǔn)答案容易看懂，但是難于理解答案中為什么會(huì)采取如此巧妙的處理手段與方法，在自己處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)感覺(jué)困難重重，其實(shí)每道數(shù)學(xué)題解法的背后都蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，只要對(duì)數(shù)學(xué)難題進(jìn)行深入的思考與分析，便能將“難題”做得“簡(jiǎn)單”點(diǎn)！

一、思路受阻時(shí)轉(zhuǎn)換新思路，回歸起點(diǎn)，體現(xiàn)“簡(jiǎn)單”

在高中數(shù)學(xué)解題中，“無(wú)章可循，無(wú)路可走”可稱為“難”題，當(dāng)我們按照常規(guī)思想解決數(shù)學(xué)難題受阻時(shí)，不妨考慮采取“倒退”的思想，靈活轉(zhuǎn)換新思路，從最原始的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理為起點(diǎn)進(jìn)行分析與探究，反而會(huì)實(shí)現(xiàn)“有章可依，有路可走”，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教師值得注意的是，在解題教學(xué)中應(yīng)該盡可能地避免“演播式”的教學(xué)，只是滿足于將解題的每一步清晰地呈現(xiàn)給學(xué)生，忽視進(jìn)行解法緣由的探索與分析，這對(duì)學(xué)生解題能力的提升成效不大.

分析：本例是一道高考試題中的一小問(wèn)，部分學(xué)生接觸到題目時(shí)不知所措，將題設(shè)中給出的條件進(jìn)行變化，始終不能把握住解題的要領(lǐng)，主要體現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念與解題目標(biāo)不清晰，解題的思路也比較混亂.其實(shí)本題只要回歸起點(diǎn)，從數(shù)列的概念出發(fā)進(jìn)行處理：

二、洞悉命題意圖，借數(shù)學(xué)背景打開(kāi)解題通道，體現(xiàn)“簡(jiǎn)單”

隨著新課改的不斷深化，數(shù)學(xué)試題考查的形式也是推陳出新，命題專家們比較喜歡針對(duì)于數(shù)學(xué)文化背景中所蘊(yùn)藏的問(wèn)題進(jìn)行加工，重新賦予新的內(nèi)涵與意義，具有明顯的數(shù)學(xué)新意.掌握豐富的數(shù)學(xué)背景知識(shí)能夠有效實(shí)現(xiàn)從“生疏”到“熟悉”的轉(zhuǎn)變，消除學(xué)生遇到難題而畏懼的心理障礙，有助于獲取便捷的解題通道.

分析：根據(jù)題設(shè)提供的信息多數(shù)學(xué)生以角度為自變量，利用三角函數(shù)的有界性知識(shí)進(jìn)行求解，運(yùn)算量較大，計(jì)算繁雜，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，效率不高.實(shí)際上命題者的意圖是引入“阿波羅尼斯圓”進(jìn)行處理，了解這樣一個(gè)數(shù)學(xué)背景，該題就能夠有效地將三角問(wèn)題解析化：構(gòu)建直角坐標(biāo)系xOy，如圖1所示，令A(yù)（-1，0），B（1，0），C（x，y），結(jié)合題意可得（x-3）2+y2=8，則動(dòng)

圖1

在新課改背景下，高考數(shù)學(xué)命題考查倡導(dǎo)“多一點(diǎn)想，少一點(diǎn)算”的指導(dǎo)思想.本題中直接利用三角函數(shù)等知識(shí)也可以求解，但是與利用“阿氏圓”進(jìn)行處理相比來(lái)說(shuō)比較煩瑣點(diǎn).其實(shí)數(shù)學(xué)背景包含：文化背景、生活背景、學(xué)科背景、圖形背景等等，可以說(shuō)數(shù)學(xué)背景的有效揭示，為數(shù)學(xué)解題打開(kāi)“一個(gè)通道，一扇窗”，讓解題變得簡(jiǎn)便易行.

三、注重思維的靈活性，活用題設(shè)條件減少數(shù)學(xué)運(yùn)算，體現(xiàn)“簡(jiǎn)單”

數(shù)學(xué)解題實(shí)質(zhì)上是根據(jù)題設(shè)條件，借助于合理的數(shù)學(xué)變形，實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，在這一過(guò)程中涉及“等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想，在實(shí)際問(wèn)題處理過(guò)程中，常常遇到非常規(guī)的難題，這就需要學(xué)生發(fā)揮思維的靈活性；解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，靈活運(yùn)用題目中提供的已知條件，大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程，避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高解題效率.

分析：本例是根據(jù)高考真題改編而來(lái)，若采取代數(shù)方式進(jìn)行處理，運(yùn)算相當(dāng)復(fù)雜，而且部分學(xué)生難以準(zhǔn)確完成.若能緊扣題設(shè)中的已知條件，加以靈活運(yùn)用，即可簡(jiǎn)化解題過(guò)程，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高解題的正確率.具體為：根

圖2

代入橢圓方程可得［（1+λ）x-λ］2+2（1+λ）2y2=2，［（1+ λ）x+1］2+2（1+λ）2y2=2λ2.綜合兩式簡(jiǎn)化1，即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓，且焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1，0），

從上述解法中可以感覺(jué)到“簡(jiǎn)捷利落”，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用題設(shè)中AF1∥BF2這樣一個(gè)條件，借助于向量的定比分點(diǎn)數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行處理，采取待定系數(shù)法探討出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.當(dāng)然本題根據(jù)解決目標(biāo)“MF1+MF2為定值”也可以聯(lián)想到點(diǎn)M軌跡可能為橢圓，在某種程度上明確了解題思路的大方向，有助于快捷、高效解題.可見(jiàn)，在解析幾何問(wèn)題中，合理、巧妙地運(yùn)用題設(shè)條件，表明感覺(jué)增加思維量，實(shí)際上大大減少運(yùn)算量，正確率大大提升.這也提醒我們一線數(shù)學(xué)教師，在平時(shí)的課堂教學(xué)中，不斷引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸類、分析、提煉、總結(jié)，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的有心人，促進(jìn)學(xué)生處理實(shí)際問(wèn)題能力的提升.

四、堅(jiān)持在反思中總結(jié)與聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)解題方法的遷移，體現(xiàn)“簡(jiǎn)單”

部分學(xué)生奉行的“一題一法，靈活多變”的思想導(dǎo)致形成“談數(shù)色變”的怪圈，主要原因是這部分學(xué)生在數(shù)學(xué)中不注重解題方法的歸類、反思和總結(jié).這也提醒我們數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生善于追根究底，探尋數(shù)學(xué)知識(shí)與方法之間的聯(lián)系和規(guī)律，在反思中總結(jié)與聯(lián)想，逐步實(shí)現(xiàn)“一題多解、多解歸一、多題歸一”，達(dá)到解題方法的遷移，解題能力的提升.

分析：本題題設(shè)內(nèi)容簡(jiǎn)潔看似簡(jiǎn)單，其實(shí)并不容易解決，根據(jù)題設(shè)信息和所求問(wèn)題，學(xué)生傾向于利用“拼湊”的方法進(jìn)行處理，成功解題主要取決于“硬”配湊的這種特殊情形下的配湊是行之有效的方法，但是相對(duì)多數(shù)常規(guī)思維的學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較困難的！其實(shí)3，2α-β=-4，則α=-1，β=2！

這里使用的“待定系數(shù)法”是數(shù)學(xué)課本教材中常見(jiàn)的一種解題方法，幾乎每個(gè)學(xué)生都很熟悉，但是這種最常見(jiàn)的方法卻容易被忽視，主要是學(xué)生對(duì)這種方法本質(zhì)認(rèn)識(shí)不到位，缺乏由“線性系數(shù)形式”向“冪結(jié)構(gòu)形式”的聯(lián)想意識(shí)，缺乏數(shù)學(xué)解題方法的遷移能力！

總之，對(duì)于高中學(xué)生而言，解題能力強(qiáng)通常是數(shù)學(xué)學(xué)得好的重要體現(xiàn)，但是數(shù)學(xué)教學(xué)并不僅僅是解題教學(xué)，學(xué)生也不是機(jī)械的、被動(dòng)的“數(shù)學(xué)解題匠”.作為一線的高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升，合理構(gòu)建自主合作、輕松愉悅的情境，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的魅力，自覺(jué)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的研究者和受益者；在具體實(shí)施的習(xí)題教學(xué)中，盡可能地引導(dǎo)學(xué)生展示數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程，在清楚“如何做”的基礎(chǔ)之上，更加要理解“為何這樣做”，讓學(xué)生感悟解題的思維過(guò)程，避免機(jī)械、盲目地生搬硬套數(shù)學(xué)公式；注重引導(dǎo)學(xué)生“察言觀色”，進(jìn)行合理的聯(lián)想與思考，探尋多角度解決問(wèn)題的途徑，學(xué)會(huì)“舉一反三、觸類旁通”，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，讓學(xué)生在不斷的總結(jié)反思中，真正達(dá)到“熟能生悟、悟中生巧、巧而創(chuàng)新”的理想境界.G