☉江蘇省海門實驗學(xué)校邱明朗

慧眼識“隱”跳出“陷阱”

☉江蘇省海門實驗學(xué)校邱明朗

在數(shù)學(xué)命題上，命題人為了考查同學(xué)們的理解能力、應(yīng)變能力、知識遷移能力，經(jīng)常圍繞題設(shè)條件設(shè)置一些隱的“陷阱”，這些隱含條件往往是學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)的，如果我們不認(rèn)真思考、斟酌，就會掉入命題人的“陷阱”，這些隱的“陷阱”也就真的“含而不露”了.

本文擬展示若干學(xué)生誤入“陷阱”的錯解，暴露其錯解思維過程，剖析其錯解原因，給出一些揭示隱含條件，跳出陷阱的方法.

一、透過表象，探究本質(zhì)

剖析：錯解的原因是沒有將隱含條件Δ≥0挖掘出來，忽視了a的應(yīng)用范圍.

例1已知α、β是方程x2+4（a+1）x+6a2-38=0的兩個實根，求α2+β2的最小值.

對策：夯實基礎(chǔ)，培養(yǎng)觀察問題、分析問題的能力，能透過表象挖掘出所需的隱含條件，抓住問題的本質(zhì).

二、解后反思，防錯避漏

例2已知sinθ、sin2x、cosθ成等差數(shù)列，sinθ、sinx、cosθ成等比數(shù)列，則cos2x的值為（）.

對策：智者千慮，也有一失，因此，思維要全面，解后要反思，如反思條件有無疏漏，一解還是兩解等問題，力求解答正確.

三、飲水思源，不忘定義

錯解：由條件知，動點M（x，y）到定點P（sinα，cosα）的距離等于動點M到定直線的距離.根據(jù)拋物線的定義，點M的軌跡是以P為焦點、定直線l：xsinα+ycosα-1=0為準(zhǔn)線的拋物線.

剖析：錯解的原因是沒有理解拋物線定義中隱含的已知條件：定點不在定直線上.

正解：因為定點P（sinα，cosα）在定直線l：xsinα+ ycosα-1=0上，所以點M的軌跡是過定點P且垂直于定直線l的一條直線：y-cosα=cotα（x-sinα）.

對策：對概念、公式的理解要深刻，特別是一些限制條件，必須理解到位.

例4已知A（-2，0），B（2，0），在平面上動點C是周長為10的三角形ABC的一個頂點，求點C的軌跡方程.

錯解：由已知得|CA|+|CB|+|AB|=10，而|AB|=4，所以|CA|+|CB|=6，所以由橢圓的定義知，點C的軌跡方程是

剖析：錯解的原因是沒有看到A、B、C三點不共線.

正解：由已知得|CA|+|CB|+|AB|=10，而|AB|=4，所以|CA|+|CB|=6，所以由橢圓的定義知，點C的軌跡方程是B、C三點不共線，故點C的軌跡方程

對策：在求事先不知道類型的曲線方程問題時，許多同學(xué)在求出方程后匆匆做答，忽視了求曲線方程的最后一步——檢驗方程，而這最后一步往往是揭示隱含條件的關(guān)鍵.

四、全盤考慮，完善思維

例5求過定點P（0，1）與拋物線y2=2x只有一個公共點的直線方程.

剖析：錯解的原因是誤認(rèn)為直線斜率存在且不為0.

1=0.因為直線與拋物線只有一個公共點，所以Δ=4（k-1）2-

當(dāng)直線斜率為0時，直線x=1也符合題意.

當(dāng)直線斜率不存在時，直線x=0也符合題意.

對策：要善于歸納總結(jié)典型錯誤.解析幾何往往與函數(shù)、三角、不等式、向量等知識融合，導(dǎo)致隱含條件增多，或隱含在公式成立的條件之中；或隱含在題目之中；或隱含在解題過程之中.因此，要全面分析題目中的隱含關(guān)系，洞察與挖掘題目中的隱含條件，保證解題暢通無阻.

五、熟悉通法，打破局限

剖析：錯解的原因是在解題過程中認(rèn)可了直線l與雙曲線有兩個交點.

正解：實際上，直線l與雙曲線不一定有兩個交點，必須驗證，由y=2x-1與1聯(lián)立，消去y得2x2-4x+3= 0，Δ=16-4×2×3=-8＜0，所以直線l與雙曲線沒有交點，故假設(shè)不存在，所以不存在滿足題設(shè)條件的直線l.

對策：在解題方法或解題過程中，注意隱含其中的“陷阱”，必須挖掘出來，如直線與二次曲線交點個數(shù)問題，利用判別式法判斷等.

六、挖掘隱含，明確范圍

對策：研究函數(shù)問題優(yōu)先考慮定義域，這是不變的規(guī)則，通過對題目約束條件的挖掘，攝取所需變量的取值范圍.

由于篇幅所限，在此不再贅述，更多還在于同學(xué)們自己去探索、歸納，進而提升挖掘隱含條件的能力，快速準(zhǔn)確地解題.F