☉浙江省嵊州市崇仁中學(xué)黃波平

發(fā)揮教材功效引領(lǐng)知識(shí)生長(zhǎng)
——一道課本習(xí)題的變式探究

☉浙江省嵊州市崇仁中學(xué)黃波平

課本中的例、習(xí)題是高考命題的重要來(lái)源之一，每年的高考卷有不少試題是源于課本的，平時(shí)教學(xué)中不愿意挖掘教材中的習(xí)題，一味地在課外資料中挖洞，造成學(xué)生雙基不牢.這啟示我們平時(shí)復(fù)習(xí)要將回歸課本落到實(shí)處.數(shù)學(xué)課本是數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法的重要載體，又是教師和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要依據(jù)，更是幾代人智慧的結(jié)晶，具有較強(qiáng)的權(quán)威性、指導(dǎo)性、規(guī)范性.因此，高考命題高度關(guān)注課本在命題中的作用，充分發(fā)揮課本作為試題的來(lái)源功能.

分析：本題是“極坐標(biāo)系與參數(shù)方程”中的一道練習(xí)題，借助曲線的參數(shù)方程可順利解答.

解答本題也可借助解析幾何問(wèn)題的通法求解.

解法2：設(shè)M（m，n），B1（0，-b），B2（0，b），則直線MB1

點(diǎn)評(píng)：幾何問(wèn)題坐標(biāo)化是處理圓錐曲線問(wèn)題的重要途徑，通過(guò)引入點(diǎn)的坐標(biāo)、借助平面向量的計(jì)算，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，從而使問(wèn)題順利求解.

一、改變問(wèn)題的條件

例2如圖1，已知橢D（0，-2）的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，直線BC交x軸于點(diǎn)Q.

圖1

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

點(diǎn)評(píng)：本題將兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的條件一般化，在解題過(guò)程中可將直線與橢圓方程聯(lián)立，借助根與系數(shù)的關(guān)系整體求解.但要注意定值存在的條件，即k的范圍.

二、變化所求結(jié)論

（1）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m，n表示）；

圖2

（2）記點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，直線PB交x軸于點(diǎn)N，問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

（2）由題意知，B（m，-n），所以把點(diǎn)M坐標(biāo)中的n換成-n，即得N設(shè)滿足條件的點(diǎn)Q（0，t）（t≠0），由條件∠OQM=∠ONQ，得Rt△ONQ∽R(shí)t△OQM，所以O(shè)Q2=OM·ON，即t2=；再由+n2=1，得t2=2.故存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為）或

點(diǎn)評(píng)：本題是例1和例2的拓展，本質(zhì)上是選用兩角的正切構(gòu)建角相等的代數(shù)條件，但是題目中涉及兩個(gè)相似的直角三角形，可以直接按比例建構(gòu)對(duì)應(yīng)的代數(shù)條件，更顯簡(jiǎn)單直觀.

三、改變問(wèn)題的背景

（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求出曲線C在點(diǎn)M、N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由.

圖3

點(diǎn)評(píng)：識(shí)別出題設(shè)條件∠OPM=∠OPN的本質(zhì)是兩條直線關(guān)于x軸對(duì)稱.本題也可以按照斜率直接求出目標(biāo)點(diǎn)：設(shè)所求點(diǎn)P（0，t），由k+k=0，得0，即PMPN2k+（a-t）·將根與系數(shù)的關(guān)系代入轉(zhuǎn)化為2k+=0，即t=-a，故所求點(diǎn)為P（0，-a）.

“課本”是教與學(xué)的“根本”，高考作為選拔人才的考試，必然要以這個(gè)“根本”為依據(jù)，所以在平時(shí)的解題訓(xùn)練中應(yīng)以課本為基礎(chǔ)，在歸納課本的思想和方法的基礎(chǔ)上，“拔高”課本，“變通”課本，使課本知識(shí)和思想方法得到升華.要做透課本中的典型例題和習(xí)題，要善于用聯(lián)系的觀點(diǎn)研究課本中的例題和習(xí)題，善于在高考題中尋找課本題的原型，在課本中尋找高考題的“身影”，探索高考試題與課本題目的交匯點(diǎn)，再將這些問(wèn)題做恰當(dāng)延伸或拓展，努力使課本知識(shí)更加豐富鮮活.F