黃德祥
“任意角的三角函數(shù)”一節(jié)是人教版高一數(shù)學(下冊·必修)第四章第3節(jié)的內(nèi)容.筆者根據(jù)自己的教學實踐,談談對該節(jié)的教材分析及教學建議,僅供參考。
一、教材編寫特點
教材的編寫是以銳角三角函數(shù)為基礎,角的概念的推廣為前提,利用平面直角坐標系為工具定義了任意角的正弦、余弦、正切函數(shù),并利用與單位圓有關的有向線段研究了正弦、余弦、正切函數(shù)的一種幾何表示——正弦線、余弦線、正切線;然后定義任意角的余切、正割、余割函數(shù),研討了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,用例1、例2鞏固任意角的三角函數(shù)的概念;最后研究正弦、余弦、正切函數(shù)值在平面直角坐標系中的各象限內(nèi)的符號及“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等”這一公式(即公式一),并給出了3個例題(例3、例4、例5)加以鞏固。
二、教學目的、重點、難點及關鍵
1、教學目的。本節(jié)教學目的是:掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義,了解如何利用與單位圓有關的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來;了解余切、正割、余割函數(shù)的定義;掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域和這三種三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號;掌握公式一及其應用.
2、教學重點。任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義及其定義域,函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號、公式一及其應用是本節(jié)的教學重點。
3、教學難點。如何利用與單位圓有關的有向線段,將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來,是學習本節(jié)的難點所在。
4、教學關鍵。掌握單位圓的概念,了解三種線段的正、負與坐標軸正、反方向之間的對應及三種有向線段(的數(shù)量)與三種三角函數(shù)值之間的對應是解決本節(jié)難點的關鍵.
三、教學建議
1、課時劃分與內(nèi)容安排。本節(jié)教學建議用3課時完成,并且對教材內(nèi)容順序作適當?shù)恼?,具體情況如下。
第一,第1課時及教學內(nèi)容。以銳角三角函數(shù)、角的概念的推廣等知識為生長點,以平面直角坐標系為研究工具,一氣呵成地定義了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函數(shù);并研究正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域;最后講解例1、例2加以鞏固。
第二,第2課時及教學內(nèi)容。根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義,研究六種三角函數(shù)值在平面直角坐標中各象限的符號及“終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等”(即誘導公式一),最后講解例3、例4、例5加以鞏固。
第三,第3課時及教學內(nèi)容。根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義,引入單位圓的概念,在單位圓中研究正弦、余弦、正切函數(shù)的一種幾何表示——三角函數(shù)線(這里僅研究正弦線、余弦線和正切線),由于教材中設有相應的例題,建議補充適量例題加以鞏固。
2、案例呈現(xiàn)。根據(jù)不同班級學生的實際情況,以下案例可供選擇。
案例1:已知角的終邊上一點P(x,-2)(x≠0),且cos,求sin 和tan的值.
解題分析:由r =|OP|=.由三角函數(shù)的定義有:cos=,∵x∴.=3,∴x=±.當x=時,點P(,-2),此時sin=,tan=;
當x=-時,點P(-,-2),此時sin=,tan=.
點評:嚴格按照任意角的三角函數(shù)定義進行示范,重視數(shù)學符號語言的應用及分類討論思想的滲透.
案例2:sin2·cos3·tan4的值( ).
A大于0 B小于0 C 等于0 D不能確定
解題分析:∵sin2>0, cos3<0,tan4>0,∴sin2·cos3·tan4<0, ∴選B.
點評:重視弧度制下,任意角的三角函數(shù)值在各象限的符號.
案例3:函數(shù)y=
的值域是( ).
A﹛-2,4﹜; B﹛-2,0,4﹜
C﹛-2,0,2,4﹜;D﹛-4,-2,0,﹜
解題分析:先求出該函數(shù)的定義域為﹛x|x≠ ﹜;再用分類分類討論的思想,按角所在象限討論相應的三角函數(shù)的符號,從而脫去絕對值符號,當x為第一象限角時,y=4;當x為第二象限角時,y=-2;當x為第三象限角時,y=0;當x為第四象限角時,=-2. ∴ 函數(shù)的值域為﹛-2,0,4﹜. 選 B.
點評:值域也可用列舉法表示。
案例4 :解不等式sinx≥ (0≤x≤2).
解題分析:由于正弦線在單位圓中是用方向平行于y軸的有向線段來表示.因此,先在y軸的正半軸上取一點P使得|OP|=,恰好表示角x的正弦值sinx=.作x軸的平行線交單位圓于P1、P2(如圖1),在〔0,2〕內(nèi),OP1、OP2分別對應角、的終邊,要使sinx>,只需將弦P1P2沿y軸正向平移,使OP1與OP2所掃過的范圍即圖中的陰影部分即為所求.
∴原不等式的解集為[、].
案例5:若<<,則sin,cos,tan的大小順序為______(用“<”連接).
解題分析:如圖2所示,在單位圓中作出的正弦線MP、余弦線OM、正切線AT.
∵OM 點評:師生共同研討此結(jié)論后,如“sin750,cos750,tan750的大小關系是(用“<”連接)這種題目便迎刃而解了! 案例6:已知0 解題分析:如圖3,設角x的終邊與單位圓交于點P﹝xp,yp﹞,單位圓交x軸的非負半軸于A(1,0),過點P作PMOA于M,過點A作單位圓的切線交OP的延長線于T,連結(jié)PA. ∵S△OAP =|OA||MP|, Slr =, 而S 點評:該案例的引入,不僅使三角函數(shù)線及相關知識得到綜合的應用,而且使數(shù)形結(jié)合的思想在潛移默化中滲入學生的腦海。 3、注意引導學生歸納總結(jié)。由于本小節(jié)內(nèi)容在教材中具有承上啟下的作用,本節(jié)有許多結(jié)論易于(也值得)歸納、總結(jié).例如:關于六種三角函數(shù)值在平面直角坐標中的各個象限的符號可歸納為:“一全正,二正弦,三兩切,四余弦”——即第一象限角的六種三角函數(shù)值全部為正,第二象限只有正弦(余割)為正;第三象限只有正切、余切為正,第四象限只有余弦(正割)為正。又如:0