宗新中

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練，快速準(zhǔn)確的解對(duì)題目是所有老師學(xué)生追求的目標(biāo)。解題的速度與準(zhǔn)確度取決于題目的難易程度，而題目的難易程度往往取決于條件的給出方式，條件給得顯性，則相對(duì)容易，條件給得隱性，則簡(jiǎn)單題也可能變成難題。所謂隱性條件，是指題目中沒(méi)有直接表述，但是根據(jù)明文表述可以推斷出來(lái)的，或者沒(méi)有直接表述，但是該條件是客觀存在的常規(guī)或常理。隱性條件容易被解題者忽視，但往往又是解題的關(guān)鍵，暗示解題的思路和方法，決定解題的成敗。解題，從某種程度上來(lái)說(shuō)，就是挖掘各種層次的隱含條件，從題目中透露出來(lái)的蛛絲馬跡，尋根溯源，使其真相大白，順利得解。兵法云：知己知彼方能百戰(zhàn)百勝。那么，那些“狡猾的敵人”通常隱藏在哪里呢？

一、條件隱藏在圖形特征中

代數(shù)和幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，幾乎每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都涉及數(shù)形結(jié)合的題目，圖文并茂的數(shù)學(xué)題目生動(dòng)活潑，使題目顯得形象直觀，而圖形所具有的特征，往往就是解題的關(guān)鍵。圖形是輔助解題工具，數(shù)由形起，形由數(shù)生，抓住形的特征，解決數(shù)的問(wèn)題，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，可以培養(yǎng)學(xué)生觀察分析問(wèn)題的能力。

例1 如圖，已知O為△ABC外接圓的圓心，AB=AC，若AO=3mAB-nAC，且9m-3n=4，則cosA=。

思路分析：根據(jù)圖形的對(duì)稱性，得到3m=-n是解本題的關(guān)鍵。

解 由圖形對(duì)稱性可知 3m=-n，又∵9m-3n=4，解得m=29，n=-23。

∴AO=23（AB+AC），兩邊與2AB作數(shù)量積得：2AO·AB=43（AB2+AB·AC），

設(shè)AB=AC=x，由圖可知，2AO·AB=AD·AB=（AB+BD）·AB=AB2。

∴AB2=43（AB2+AB·BC）。即x2=43（x2+x2cosA），于是得cosA=-14。

二、條件隱藏在不變關(guān)系中

數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題都是研究變量的問(wèn)題，不少題目中，變量關(guān)系極其復(fù)雜，給人一種無(wú)從下手的感覺(jué)，而以常規(guī)的方式處理，可能運(yùn)算量極大，若我們能從這些錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系中找到其不變的關(guān)系，以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”，往往是解題的突破口。

例2 （2012江蘇）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）

析 本題主要考察一元二次不等式的應(yīng)用，以及根與系數(shù)的關(guān)系。本題突破口就是條件中的不變關(guān)系，不管m如何變化，解集的長(zhǎng)度始終為6?？衫脁1-x2=（x1+x2）2-4x1x2順利求解。

解 由f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域?yàn)閇0，+∞），得：Δ=a2-4b=0。

不等式f（x）

（m+6）-m=a2-4（b-c）=4c，∴c=9。

三、條件隱藏在特殊字眼中

數(shù)學(xué)題目的描述語(yǔ)言一般比較通俗直白，極少渲陳鋪墊，但有時(shí)題干中也有一些數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的特殊字眼，如“唯一，至多，至少，有且僅有，任意，存在……”等?？此破匠?，卻往往是解題的突破口，于“特殊”處生疑，是常用的解題思路。平時(shí)應(yīng)多注意利用這些特殊“字眼”去挖掘隱含條件，不但能培養(yǎng)學(xué)生的讀題審題析題能力，而且能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)嗅覺(jué)。

例3 已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=a（a>0），b1=a1+1，b2=a2+2，b3=a3+3，且數(shù)列{an}是唯一的，則a=。

析 本題條件中的“唯一”兩字顯得突兀，數(shù)列為什么會(huì)唯一？“唯一”怎么去用？這很有可能是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。經(jīng)過(guò)分析之后可知，數(shù)列的唯一轉(zhuǎn)化為了方程有唯一的非零解。

解 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a，aq，aq2，

則數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)分別為a+1，aq+2，aq2+3。

∵{bn}是等比數(shù)列，

∴ （aq+2）2=（a+1）（aq2+3）。

整理，得：aq2-4aq+3a-1=0（a>0）。

∵a>0，故Δ=4a2+4a>0，即關(guān)于實(shí)數(shù)q的一元二次方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

又因等比數(shù)列公比q≠0是唯一的，故一元二次方程aq2-4aq+3a-1=0必有一根是0

即a=13滿足條件，此時(shí)，數(shù)列{an}，{bn}前三項(xiàng)都符合題意。

四、條件隱藏在數(shù)學(xué)定義中

數(shù)學(xué)定義都是經(jīng)過(guò)千錘百煉的經(jīng)典，每個(gè)條件每個(gè)字都值得去推敲。概念定義的學(xué)習(xí)理解應(yīng)該是學(xué)習(xí)的重中之重，有些題目就在這上面做文章，故意混淆定義，或者偷換概念，使得題目看上去平淡無(wú)奇卻暗藏“殺機(jī)”，解題時(shí)看似合理，卻似是而非，最終功虧一簣。在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)重視定義概念生成的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生去體會(huì)，只有真正理解清楚了，才不會(huì)被其“繞進(jìn)去”。

例4 若數(shù)列{an}前項(xiàng)和為Sn，a1=1，an+1=3Sn（n≥1），則an=。

錯(cuò)解 由題意可知，an+1=3Sn（n≥1），∴n≥2時(shí)，an=3Sn-1，兩式相減得：an+1an=4。

∴{an}是等比數(shù)列。故an=4n-1。

析 這個(gè)答案看似有理，其實(shí)卻與等比數(shù)列的定義不符，主要是沒(méi)有抓住隱含在等比數(shù)列定義中的一個(gè)條件“從第二項(xiàng)起”，而本題中an+1an=4（n≥2）卻是從第三項(xiàng)開(kāi)始的，容易忽視。故正確結(jié)果為an=1n=13·4n-2n≥2。

五、條件隱藏在題目結(jié)構(gòu)中

有些題目看上去思路很清晰，但是用常規(guī)的方法做起來(lái)計(jì)算量比較大，費(fèi)時(shí)費(fèi)力。若能仔細(xì)觀察題目中表達(dá)式的構(gòu)成特征，從題目結(jié)構(gòu)出發(fā)，合理的進(jìn)行特殊化處理，往往能出奇制勝，省時(shí)省力。特殊化處理的方式在做填空題時(shí)的效果尤其明顯，往往事半功倍。常見(jiàn)的特殊化處理方法有：特殊圖形，特殊位置，特殊數(shù)值，特殊模型等。

例5 （2010 江蘇）在銳角三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。若ba+ab=6cosC，則tanCtanA+tanCtanB的值是。

解析 本題考察正弦定理角化邊的運(yùn)算，計(jì)算量大，得分率低。但如果仔細(xì)觀察題目的構(gòu)成特征，將a，b輪換，發(fā)現(xiàn)表達(dá)式不變。故可從表達(dá)式的結(jié)構(gòu)入手，特殊化處理。所以不妨令a=b，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速得到答案。

解 令a=b，則cosC=13?！鄑anC=22，于是tan（A+B）=tan2A=-tanC=-22。

∴tanA=2=tanB，∴原式=4。

六、條件隱藏在變量范圍中

函數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)最重要的問(wèn)題之一，函數(shù)與方程的思想是重要的數(shù)學(xué)思想。但是在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，常容易忽視自變量的取值范圍，從而導(dǎo)致解題的不準(zhǔn)確，甚至差之毫厘謬以千里。這種情況在三角函數(shù)中尤為明顯，常因?yàn)楹鲆暳私堑姆秶鴮?dǎo)致取值范圍錯(cuò)誤。因此我們?cè)谘芯咳魏我活?lèi)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，一定要優(yōu)先考慮定義域，算準(zhǔn)范圍，以免前功盡棄。

例6 在銳角三角形ABC中，BC=1，B=2A，則ACcosA的值等于，AC的取值范圍為。

錯(cuò)解 由正弦定理得：ACsin2A=BCsinA，

∴ACcosA=2，AC=2cosA。

∵△ABC是銳角三角形，∴0

析 本題主要利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角進(jìn)而去求范圍?！鰽BC是銳角三角形，不僅僅限制角A，同樣限制B，C，相互制約，容易忽視。所以還要滿足0

七、條件隱藏在解題過(guò)程中

有些題目題意新穎，語(yǔ)言抽象，乍一看，似乎沒(méi)有任何的“破綻”，讓人感覺(jué)一籌莫展，無(wú)從下手。這時(shí)不能著急，要仔細(xì)的閱讀題目，“摸著石頭過(guò)河”，寫(xiě)一寫(xiě)，算一算，再看一看，說(shuō)不定就在寫(xiě)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)“蛛絲馬跡”，使得整道題目豁然開(kāi)朗。解題不能輕易放棄，要敢于下筆，要重視過(guò)程，邊做邊思考，山重水復(fù)疑無(wú)路處，說(shuō)不定就是柳暗花明時(shí)。

例7 定義函數(shù)f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如：[1。5]=1，[-1。3]=-2，當(dāng)x∈[0，n）（n∈N）時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）的值域?yàn)锳，記集合A中的元素個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為。

分析 本題理解起來(lái)比較困難，都是符號(hào)語(yǔ)言，很抽象。通過(guò)分析，既然是數(shù)列求通項(xiàng)公式，那就要抓住數(shù)列的特征，特征體現(xiàn)在哪里？數(shù)列中的項(xiàng)。作為一道填空題，在無(wú)法直接求出通項(xiàng)公式的時(shí)候，不妨先寫(xiě)出前幾項(xiàng)看看，看看項(xiàng)有沒(méi)有什么規(guī)律，在寫(xiě)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)n=1時(shí)，定義域?yàn)閤∈[0，1），函數(shù)f（x）的值域?yàn)閧0}，此時(shí)a1=1；當(dāng)n=2時(shí)，定義域?yàn)閤∈[0，2），函數(shù)f（x）的值域?yàn)閧0，1}，此時(shí)a2=2；當(dāng)n=3時(shí)，定義域?yàn)閤∈[0，3），函數(shù)f（x）的值域?yàn)閧0，1，4，5}，此時(shí)a3=4；當(dāng)n=4時(shí)，定義域?yàn)閤∈[0，4），函數(shù)f（x）的值域?yàn)閧0，1，4，5，9，10，11}，此時(shí)a4=7；……通過(guò)觀察前四項(xiàng)，我們得到一個(gè)重要的條件： an-an-1=n-1，根據(jù)此遞推公式再利用累加法可求得an=n（n-1）2+1。

當(dāng)然，隱含條件的給出方式遠(yuǎn)不止這幾種，可謂形形色色，防不勝防。但是萬(wàn)變不離其宗，只要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中注重夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)，注重優(yōu)化學(xué)生的思維方式，注重培養(yǎng)學(xué)生的解題習(xí)慣，隱含條件就將無(wú)所遁形。同時(shí)，我們也應(yīng)該看到隱含條件其實(shí)是把雙刃劍，教學(xué)過(guò)程中我們要充分利用它，不但要利用它來(lái)解決問(wèn)題，還要利用它來(lái)教育學(xué)生，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)它的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與精彩，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高其數(shù)學(xué)解題能力。