劉曉莉

[摘要]微積分基本概念是微積分知識(shí)體系的基礎(chǔ)和核心，是教學(xué)研究的一個(gè)重要主題。本文就微積分基本概念教學(xué)的特征及策略進(jìn)行分析和探討。

[關(guān)鍵詞]微積分；基本概念；教學(xué)法

微積分學(xué)是一個(gè)科學(xué)合理、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)體系，是由一個(gè)個(gè)相互之間有著密切聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都構(gòu)筑在基本概念之上，形成了相應(yīng)的基本理論和方法，其中所貫穿的數(shù)學(xué)思想、思維方法是人類(lèi)智力的偉大成就之一，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和推理能力重要基礎(chǔ)，是大學(xué)生素質(zhì)教育的重要載體。

微積分的精髓在于極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等基本概念中，深刻理解這些概念是學(xué)好大學(xué)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)。但由于這些概念理論性、邏輯性較強(qiáng)又相對(duì)抽象，其思維模式與初等數(shù)學(xué)差別較大，容易混淆。很多學(xué)生會(huì)求導(dǎo)、做積分運(yùn)算，但對(duì)概念中蘊(yùn)含的思想并不理解，對(duì)概念間的關(guān)系認(rèn)識(shí)模糊；還有學(xué)生感覺(jué)無(wú)論怎么認(rèn)真努力，還是難以理解有些概念，以至于對(duì)數(shù)學(xué)課望而生畏。因此，加強(qiáng)基本概念教學(xué)極其重要。

1。重視概念構(gòu)建體系的引申

數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)是認(rèn)識(shí)主體（學(xué)生）與客體的相互作用的過(guò)程，是認(rèn)識(shí)主體以其已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程。建構(gòu)的結(jié)果表現(xiàn)為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、掌握和應(yīng)用。概念的形成在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有十分重要的位置，因此在微積分的教學(xué)過(guò)程中要特別注重概念的建構(gòu)。

微積分學(xué)中的極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等基本概念，蘊(yùn)涵了高等數(shù)學(xué)理論體系中的基本思想，其中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論體系貫穿其中，是微積分的內(nèi)核與根基，是學(xué)習(xí)連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、全微分等概念的前提，必須加強(qiáng)極限概念的教學(xué)。雖然極限、導(dǎo)數(shù)等也是中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，但在極限、連續(xù)、可導(dǎo)之間的邏輯和理論分析上相對(duì)比較薄弱，所以需采用重點(diǎn)知識(shí)集中強(qiáng)化銜接，新舊結(jié)合的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逐步地分析、概括基本概念和方法，幫助學(xué)生深入理解基本概念本質(zhì)。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)有總多的分支，都有一個(gè)共同的根基，就是集合論。集合論中最基本的概念為集合，映射，函數(shù)，等價(jià)等，對(duì)于這些簡(jiǎn)單概念的理解，是學(xué)習(xí)微積分以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)。所以，一般高等數(shù)學(xué)教材的第一章都會(huì)介紹這些基本概念。但是，不少教師認(rèn)為這都是中學(xué)的內(nèi)容，不予以重視。事實(shí)上，不少學(xué)生對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的理解不夠透徹，對(duì)反三角函數(shù)也比較陌生，所以，應(yīng)調(diào)整教學(xué)計(jì)劃，加強(qiáng)集合論、基本初等函數(shù)以及符號(hào)函數(shù)、取整函數(shù)，狄利克雷等函數(shù)的教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，提高其對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、應(yīng)用和轉(zhuǎn)化能力。

2。加強(qiáng)概念相互聯(lián)系的展示

數(shù)學(xué)是一門(mén)前后知識(shí)連貫性較強(qiáng)的學(xué)科，每一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，往往都以舊知識(shí)點(diǎn)為支撐，微積分學(xué)也不例外。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)微積分學(xué)基本概念理解得不夠好的原因之一是，所獲得的知識(shí)點(diǎn)比較零散、孤立，缺乏與其他知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系。所以，進(jìn)行新概念的教學(xué)時(shí)，一方面要善于與已學(xué)的概念加以比較，展示概念間的密切聯(lián)系，找出其共性與個(gè)性，進(jìn)行分析。例如，連續(xù)和導(dǎo)數(shù)定義都是利用極限來(lái)定義的，將左、右極限定義以及極限存在的充要條件加以強(qiáng)調(diào)和闡述后，提出左連續(xù)的概念，使學(xué)生盡快聯(lián)想到右連續(xù)以及連續(xù)的充要條件。

另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生能對(duì)某些概念加以適當(dāng)推廣、引申，為今后學(xué)習(xí)新概念鋪墊基石。例如，在多元積分學(xué)中，由于多元函數(shù)性質(zhì)的復(fù)雜性，學(xué)習(xí)難度增大，如果再孤立地講解幾種類(lèi)型積分的基本概念，學(xué)生會(huì)感到更加難于理解。所以，可以定積分的概念為橋梁，采取歸納、類(lèi)比的方法，引入概念，強(qiáng)調(diào)積分學(xué)中的定積分、重積分、兩類(lèi)曲線(xiàn)積分、兩類(lèi)曲面積分的概念之間的關(guān)系及異同，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，無(wú)論是哪類(lèi)積分，都是由分割—近似—求和—取極限這幾個(gè)基本步驟形成，幫助學(xué)生建立其關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，把握各類(lèi)積分的本質(zhì)，建立積分概念體系。

3。重視概念直觀模型的引入

微積分學(xué)概念都基本上是在解決實(shí)際問(wèn)題基礎(chǔ)上抽象發(fā)展形成的，都有相對(duì)應(yīng)的直觀模型，充分挖掘概念的直觀模型，并能根據(jù)教授學(xué)生所屬學(xué)科，找出相應(yīng)的例子，將抽象的數(shù)學(xué)概念，轉(zhuǎn)化成“看得見(jiàn)摸得著”的具體對(duì)象，拓展學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中事物變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)與刻畫(huà)，使學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)知識(shí)同時(shí)也受到一定的數(shù)學(xué)應(yīng)用訓(xùn)練。

例如，對(duì)于導(dǎo)數(shù)的概念，盡量避免將其作為特殊極限來(lái)引入，最好是通過(guò)實(shí)際背景或具體應(yīng)用方面的實(shí)例，使學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)是對(duì)事物變化快慢的一種描述，是研究客觀事物變化率和優(yōu)化問(wèn)題的有力工具，是一類(lèi)事物或現(xiàn)象在數(shù)量方面共同具有的特征。其直觀模型不僅有瞬時(shí)速度、切線(xiàn)斜率、增長(zhǎng)率、電流強(qiáng)度、線(xiàn)密度、膨脹率、效率等，還可以表示瞬時(shí)加速度、角速度以及經(jīng)濟(jì)中的邊際、彈性等，使學(xué)生明白導(dǎo)數(shù)的思想和本質(zhì)以及與真實(shí)現(xiàn)象間的特殊關(guān)系。

又如，對(duì)于散度概念的教學(xué)，也可利用直觀描述，進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治?，說(shuō)明在流速場(chǎng)中，散度主要刻畫(huà)一個(gè)點(diǎn)是否為源，以及源的正負(fù)與大??；在電場(chǎng)中，散度則表示在一個(gè)點(diǎn)處是否存在電荷，以及電荷的正負(fù)與電量的大小；如果將散度與通量相比較，通量反映的是全局性態(tài)，而散度表示的是一點(diǎn)處的性態(tài)。這樣，學(xué)生不僅記住了散度的公式，也會(huì)對(duì)散度的應(yīng)用有深刻的理解，提高學(xué)生對(duì)理論教學(xué)的興趣。

4。結(jié) 語(yǔ)

微積分概念教學(xué)法的研究是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重要組成部分，需要教師深入鉆研教材，透徹理解所教授概念的實(shí)質(zhì)，梳理新認(rèn)識(shí)、新問(wèn)題，不斷積累和沉淀，才能在提高教學(xué)質(zhì)量等方面取得顯著的效果。

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