張偉 朱曉安

學生的學習和思考從生活中的實例和現(xiàn)象開始，這是深度學習的起點之一，學生遇到的任何一個問題都不是孤立的，不同的學科會從不同的角度進行研究，體現(xiàn)出不同學科的特點和本質(zhì)。學科教學設置了明確的學科邊界，經(jīng)常將學生原本整體的認知割裂開來，穿越學科邊界進行設計課程，回歸學生對問題本質(zhì)的理解，通過跨學科的知識解決問題，我們在高中數(shù)學“平面向量”的教學中進行了嘗試。

進行學科穿越的課程設計首先要明確學科間聯(lián)系的本質(zhì)。數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關系的科學，數(shù)學對象既有代數(shù)的特性，又有幾何的特性，平面向量也具備這兩種特性，它是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，在物理中有廣泛的應用，有極其豐富的實際背景。物理中的力、速度、加速度、位移都是矢量，在數(shù)學學科中抽象成自由向量，矢量和向量都是既有大小又有方向的量，是同一性質(zhì)的量在不同學科中的描述。有大量的物理問題或現(xiàn)象能夠抽象成相應的數(shù)學問題，數(shù)學問題對應的數(shù)學本質(zhì)研究會促進相應物理問題的解決。結合高中物理必修1和必修2中的物理問題，總結出數(shù)學和物理學科聯(lián)系的內(nèi)容（見表1）。

學科穿越的邊界在哪里？這需要從學科的界定談起。物理中的矢量除了有大小和方向要素外，還有作用點，每個矢量有其物理意義，而在數(shù)學學科向量只有大小和方向的要素，是在矢量基礎上的進一步抽象。實驗能力是物理學科的重要能力之一，在高中物理必修1教材中通過實驗探究求合力的方法得到矢量求和的平行四邊形定則，進而應用這一法則解決問題，運算求解是數(shù)學學科的重要能力之一，數(shù)學中平面向量的加法運算是借助物理學科的位移求和問題進行定義，然后研究向量加法的符號表示、運算律及其坐標運算，突出運算的特性。不同的學科對同一對象的研究關注點不同，與學科能力的培養(yǎng)有密切關系。學生在遇到問題的時候，需要明確不同學科的邊界，又要綜合運用不同的學科能力解決問題。

物理教師積累的學生測試數(shù)據(jù)顯示：學生對于物理問題，能從實際問題當中抽象模型的占11%，熟練掌握矢量的表示方式與運算方法的占14%，理解并能運用力的運動關系的物理思想的占29%，能對結果進行正確討論的占17%，從這些數(shù)據(jù)可以看出，學生將實際的物理問題抽象成數(shù)學模型的能力欠缺，應用數(shù)學進行運算的意識比較薄弱，在物理學科中只用物理方法來解物理題，在數(shù)學學科中只用數(shù)學方法來做數(shù)學題，孤立的、割裂的學習使得學生在面對實際問題的時候不能綜合分析，整體認知，所以在平面向量教學中，我們通過設計盡量來改善這個問題。

我們將單元設計的主題選定為：數(shù)學中的向量與物理中的矢量。單元目標的設計也突出學科間的穿越，例如：學生通過抽象引體向上運動，分析理解向量的基本概念和基本運算；學生更新已有初中時對功的公式的認識，通過功的背景來理解向量的數(shù)量積運算，用函數(shù)的思想來研究功與力和位移的關系，探究向量與數(shù)量的關系；學習平面向量數(shù)量積以后，學生通過功的專題學習來整理總結學習收獲等。這些目標的設計從真實的問題出發(fā)，結合學生已有的認知水平，需要經(jīng)歷分析問題—抽象概念—探究方法和策略—體會學科思想—解決實際問題的過程，這個過程中既有物理學科的知識和方法，也有數(shù)學學科的思想和方法，二者交融在一起。

學科穿越的設計要以學生現(xiàn)有的學科認知為基礎。平面向量單元的概念較多，核心概念是向量，它的兩個要素是大小和方向，需要在向量概念的基礎上繼續(xù)抽象相關的概念。為了整合學生在物理學習中已有的知識和經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學課的進一步抽象和運算，我們在課程設計的時候設計學生熟悉的物理情境：在單杠上做引體向上，兩臂的夾角越小越省力。你能從數(shù)學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？

Q1.用圖和式表示題目中的量及其關系。

Q2.用什么數(shù)學方法解釋現(xiàn)象？

Q3.問題中的量與數(shù)量有什么不同？

Q4.向量的定義和表示方法。

Q5.舉例說明你學習過的向量有哪些？

Q6.你能發(fā)現(xiàn)問題中的向量之間有哪些關系？

Q7.分別從大小和方向兩個角度說明問題中特殊的向量有哪些？

Q8.如何計算做一次引體向上需要消耗的能量？

Q9.物理中的平行四邊形法則和數(shù)學中向量的加法有什么關系？

Q10.平面向量的代數(shù)形式是什么？

在物理情境的引導下，學生能夠自發(fā)地提出上述的一些問題。學生提問題的過程就是參與思考、進行數(shù)學抽象的過程。與以往的概念和運算學習相比，學生對概念抽象的意義理解更深刻，對概念的本質(zhì)把握更準確，在經(jīng)歷了充分地分析和抽象以后，學生不僅能夠自主地建構平面向量的概念網(wǎng)，而且也體驗了將知識應用于生活的過程。

要通過穿越學科的邊界來看問題的本質(zhì)，比如，物理學科中矢量的分解問題，對應到數(shù)學內(nèi)容上是平面向量基本定理，體現(xiàn)出數(shù)學學科基本量的思想，即要用平面內(nèi)基本的量來表示平面內(nèi)的任意一個向量。這個內(nèi)容在物理學科中有相應的體現(xiàn)，如圖2所示。

圖2

這個問題的實質(zhì)就是平面向量基本定理的應用，需要學生結合知識進行物理現(xiàn)象的想象并用運動軌跡呈現(xiàn)出來。在平面向量基本定理教學的時候，可以從基本的物理問題出發(fā)進行探究：任何一個力都可以沿著兩個方向進行分解嗎？如果能，說明怎么分解，如果不能，說明理由。需要學生將這個問題用數(shù)學語言進行描述，應用已有的向量加法法則進行探究，最后給出嚴格的數(shù)學證明，是物理實驗結果的抽象化和邏輯化的提升。怎么讓學生體會平面向量基本定理中蘊含的基本量的思想？我們設計了圖3的例題。

圖3

這個例題的設計，教師關注三個方面的內(nèi)容：（1）在同一基底下表示不同的向量；（2）在不同的基底下來表示同一個向量；（3）比較選取不同基底的優(yōu)劣，突出對數(shù)學思想的體驗過程。

評估也能夠體現(xiàn)出穿越學科邊界學習的意義。作為數(shù)學學習的一種評估，我們設計應用數(shù)學方法來解決的物理問題，比如說這樣的一個問題：如圖4所示，電線AB下有一盞電燈，用繩子BC將其拉離墻壁。在保證電線AB與豎直墻壁間的夾角θ不變的情況下，使繩子BC由水平方向逐漸向上轉(zhuǎn)動，則繩子BC中的拉力的變化情況是（）

A. 逐漸增大

B. 逐漸減小

C. 先增大，后減小

D. 先減小，后增大

這一問題的解決對學生來講有一定難度，對于物理中的三個矢量來說，其中一個矢量始終是不變的，另外一個矢量是方向不變，第三個矢量是大小和方向都在變，這是從變化的角度來分析物理中矢量的變化。那么構建數(shù)學模型以后，學生就需要應用學習的向量加法的三角形法則進行分析，對矢量進行平移，平移以后已經(jīng)不是具有物理意義的矢量了，而是應用數(shù)學中向量的三角形法則，還可以進一步應用函數(shù)的模型解決，應用數(shù)學知識解決物理問題也是物理學科中重要的能力之一。

在學科穿越的過程當中，怎么能夠體現(xiàn)學科的本質(zhì)？需要從學科素養(yǎng)的培養(yǎng)角度審視我們的設計。數(shù)學建模是數(shù)學學科重要的學科素養(yǎng)，目前學生在這方面相對較弱，我們設計了“功”的主題研究，讓學生從學科發(fā)展和學科融合的方面進行知識和方法的總結，體會數(shù)學和物理學科的相互融合和相互促進，形成學科思想指導下的認知整體。

圖5 數(shù)學思想統(tǒng)領學科穿越

數(shù)學學科和物理學科的關系非常緊密，比如學生接觸到的物理公式與數(shù)學學科的函數(shù)模型是對應的，都體現(xiàn)了變量和對應思想，物理學科中有簡諧振動、勻速圓周運動，怎么來刻畫這些物理現(xiàn)象，三角函數(shù)是必要的形式……學生對問題的認知是一個整體，打破學科邊界對學生能力培養(yǎng)的束縛，還要突出學科的本質(zhì)，對教師的課程觀和課程建構能力都是很大的挑戰(zhàn)，我們愿意進行嘗試和改進，深度學習，從認識學生學習開始。

課題合作者：曾輝、張國宏、?；菝?/p>

（作者單位：北京市海淀區(qū)教師進修學校附屬實驗學校）

責任編輯：任媛媛

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