陳月紅
學(xué)習(xí)完《全等三角形》一章我們可以對(duì)“兩個(gè)三角形至少需要具備多少條件時(shí),才能說(shuō)兩個(gè)三角形全等呢?”這個(gè)問(wèn)題給予明確的回答,判定兩個(gè)三角形全等的條件至少需要三個(gè),可以是基本事實(shí)“SAS”,“ASA”,“SSS”以及由“ASA”結(jié)合“三角形內(nèi)角和定理”得到的推論“AAS”,直角三角形中特殊的“HL”而“AAA”無(wú)法判定三角形全等,可以很容易舉出“大小不同的等邊三角形”為反例,那么只剩下一種“神秘的SSA”沒(méi)有進(jìn)行深入的研究,我們只知道SSA可以舉出不全等的反例,如“等腰三角形在底邊上任取一個(gè)非中點(diǎn)的點(diǎn),連接頂角上的頂點(diǎn)與該點(diǎn),分成的兩個(gè)三角形滿足SSA但顯然不全等”(見(jiàn)下圖1),但“HL”實(shí)際上又是特殊的SSA,那么是不是直角三角形中的SSA都能判定全等?是不是只有直角三角形中才有SSA判定全等的可能性?到底具備怎樣條件的SSA才是可以判定全等的?下面我們可以借助作圖來(lái)深入地來(lái)研究一下這個(gè)問(wèn)題
一、已知原三角形是一個(gè)一般銳角△ABC,BC>AC>AB,且∠A>∠B>∠C,SSA情況共6種:
1如果已知∠A,AB,BC,作出的三角形是否都全等?
作法:先作出∠A,在一邊上截取AB長(zhǎng),再以B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與AC無(wú)交點(diǎn),說(shuō)明滿足條件的三角形是唯一的
2如果已知∠A,AC,BC,作出的三角形是否都全等?
作法:先作出∠A,在一邊上截取AC長(zhǎng),再以C為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與AB無(wú)交點(diǎn),說(shuō)明滿足條件的三角形是唯一的
3如果已知∠B,AB,AC,作出的三角形是否都全等?
作法:先作出∠B,在一邊上截取AB長(zhǎng),再以A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與BC無(wú)交點(diǎn),說(shuō)明滿足條件的三角形是唯一的
4如果已知∠B, BC,AC,作出的三角形是否都全等?
作法:先作出∠B,在一邊上截取BC長(zhǎng),再以C為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與AB有另一個(gè)交點(diǎn)A′,說(shuō)明滿足條件的三角形不唯一
5如果已知∠C,AC,AB,作出的三角形是否都全等?
作法:先作出∠C,在一邊上截取AC長(zhǎng),再以A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與BC有另一個(gè)交點(diǎn)B′,說(shuō)明滿足條件的三角形不唯一
6如果已知∠C,BC,AB,作出的三角形是否都全等?
作法:先作出∠C,在一邊上截取BC長(zhǎng),再以B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與AC有另一個(gè)交點(diǎn)A′,說(shuō)明滿足條件的三角形不唯一
匯總以上條件和結(jié)論:
原三角形是銳角三角形已知角已知角鄰邊已知角對(duì)邊三角形唯一嗎?
∠AAB ∠AAC ∠BAB ∠BBC>AC不唯一(可以是鈍角三角形) ∠CAC>AB不唯一(可以是鈍角三角形) ∠CBC>AB不唯一(可以是鈍角三角形) 通過(guò)作圖,我們發(fā)現(xiàn)在銳角三角形中已知的SSA三個(gè)條件中,如果該角的對(duì)邊比鄰邊大,則三角形唯一確定;如果該角的對(duì)邊比鄰邊小,則三角形不能唯一確定 二、已知原三角形是一個(gè)一般的Rt△ABC,BC>AC>AB,且∠A(=90°)>∠B>∠C,SSA情況共6種,列表如下: 總結(jié):其中四種情況與前面的結(jié)論一致,但有兩種情況雖然已知角的對(duì)邊小于鄰邊,但三角形仍唯一確定,是由于直角三角形的特殊性,兩條直角邊長(zhǎng)度雖然短但卻是“最短”,那么作圖也仍然只有唯一交點(diǎn) 三、原三角形是鈍角三角形情況,與銳角三角形情況類似,結(jié)論一致 四、通過(guò)以上研究可以得到以下結(jié)論: 1、一般情況下,兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)相等的三個(gè)條件如果是SSA,那么能否說(shuō)明全等取決于選擇的角的對(duì)邊與鄰邊的大小關(guān)系,如果對(duì)邊大于鄰邊則全等,如果對(duì)邊小于鄰邊則不全等; 2、特殊情況下,如果該角的對(duì)邊小于鄰邊,但該對(duì)邊的長(zhǎng)度是直線外一點(diǎn)到直線的最短距離,那么全等; 3、SSA不能說(shuō)明全等的根本原因是能夠再作出一個(gè)滿足條件的點(diǎn),使得三角形形狀無(wú)法確定,反例可以是一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形;可以是兩個(gè)鈍角三角形,但最大的角不是對(duì)應(yīng)角;可以是一個(gè)直角三角形和一個(gè)鈍角三角形等; 4、如果已知的兩個(gè)三角形能夠確定形狀,如已知的兩個(gè)三角形都是銳角三角形或都是直角三角形、都是鈍角三角形,而且最大的角是對(duì)應(yīng)角,那么作圖時(shí)的點(diǎn)就會(huì)有選擇性,SSA就可以判定全等