陳月紅

學(xué)習(xí)完《全等三角形》一章我們可以對(duì)“兩個(gè)三角形至少需要具備多少條件時(shí)，才能說(shuō)兩個(gè)三角形全等呢？”這個(gè)問(wèn)題給予明確的回答，判定兩個(gè)三角形全等的條件至少需要三個(gè)，可以是基本事實(shí)“SAS”，“ASA”，“SSS”以及由“ASA”結(jié)合“三角形內(nèi)角和定理”得到的推論“AAS”，直角三角形中特殊的“HL”而“AAA”無(wú)法判定三角形全等，可以很容易舉出“大小不同的等邊三角形”為反例，那么只剩下一種“神秘的SSA”沒(méi)有進(jìn)行深入的研究，我們只知道SSA可以舉出不全等的反例，如“等腰三角形在底邊上任取一個(gè)非中點(diǎn)的點(diǎn)，連接頂角上的頂點(diǎn)與該點(diǎn)，分成的兩個(gè)三角形滿足SSA但顯然不全等”（見(jiàn)下圖1），但“HL”實(shí)際上又是特殊的SSA，那么是不是直角三角形中的SSA都能判定全等？是不是只有直角三角形中才有SSA判定全等的可能性？到底具備怎樣條件的SSA才是可以判定全等的？下面我們可以借助作圖來(lái)深入地來(lái)研究一下這個(gè)問(wèn)題

一、已知原三角形是一個(gè)一般銳角△ABC，BC>AC>AB，且∠A>∠B>∠C，SSA情況共6種：

1如果已知∠A，AB，BC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠A，在一邊上截取AB長(zhǎng)，再以B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AC無(wú)交點(diǎn)，說(shuō)明滿足條件的三角形是唯一的

2如果已知∠A，AC，BC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠A，在一邊上截取AC長(zhǎng)，再以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB無(wú)交點(diǎn)，說(shuō)明滿足條件的三角形是唯一的

3如果已知∠B，AB，AC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠B，在一邊上截取AB長(zhǎng)，再以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC無(wú)交點(diǎn)，說(shuō)明滿足條件的三角形是唯一的

4如果已知∠B， BC，AC，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠B，在一邊上截取BC長(zhǎng)，再以C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB有另一個(gè)交點(diǎn)A′，說(shuō)明滿足條件的三角形不唯一

5如果已知∠C，AC，AB，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠C，在一邊上截取AC長(zhǎng)，再以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC有另一個(gè)交點(diǎn)B′，說(shuō)明滿足條件的三角形不唯一

6如果已知∠C，BC，AB，作出的三角形是否都全等？

作法：先作出∠C，在一邊上截取BC長(zhǎng)，再以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AC有另一個(gè)交點(diǎn)A′，說(shuō)明滿足條件的三角形不唯一

匯總以上條件和結(jié)論：

原三角形是銳角三角形已知角已知角鄰邊已知角對(duì)邊三角形唯一嗎？

∠AAB

∠AAC

∠BAB

∠BBC>AC不唯一（可以是鈍角三角形）

∠CAC>AB不唯一（可以是鈍角三角形）

∠CBC>AB不唯一（可以是鈍角三角形）

通過(guò)作圖，我們發(fā)現(xiàn)在銳角三角形中已知的SSA三個(gè)條件中，如果該角的對(duì)邊比鄰邊大，則三角形唯一確定；如果該角的對(duì)邊比鄰邊小，則三角形不能唯一確定

二、已知原三角形是一個(gè)一般的Rt△ABC，BC>AC>AB，且∠A（=90°）>∠B>∠C，SSA情況共6種，列表如下：

總結(jié)：其中四種情況與前面的結(jié)論一致，但有兩種情況雖然已知角的對(duì)邊小于鄰邊，但三角形仍唯一確定，是由于直角三角形的特殊性，兩條直角邊長(zhǎng)度雖然短但卻是“最短”，那么作圖也仍然只有唯一交點(diǎn)

三、原三角形是鈍角三角形情況，與銳角三角形情況類似，結(jié)論一致

四、通過(guò)以上研究可以得到以下結(jié)論：

1、一般情況下，兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)相等的三個(gè)條件如果是SSA，那么能否說(shuō)明全等取決于選擇的角的對(duì)邊與鄰邊的大小關(guān)系，如果對(duì)邊大于鄰邊則全等，如果對(duì)邊小于鄰邊則不全等；

2、特殊情況下，如果該角的對(duì)邊小于鄰邊，但該對(duì)邊的長(zhǎng)度是直線外一點(diǎn)到直線的最短距離，那么全等；

3、SSA不能說(shuō)明全等的根本原因是能夠再作出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)，使得三角形形狀無(wú)法確定，反例可以是一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形；可以是兩個(gè)鈍角三角形，但最大的角不是對(duì)應(yīng)角；可以是一個(gè)直角三角形和一個(gè)鈍角三角形等；

4、如果已知的兩個(gè)三角形能夠確定形狀，如已知的兩個(gè)三角形都是銳角三角形或都是直角三角形、都是鈍角三角形，而且最大的角是對(duì)應(yīng)角，那么作圖時(shí)的點(diǎn)就會(huì)有選擇性，SSA就可以判定全等