Hadi Sumoro　于弦

[摘要]介紹IIR和FIR兩種濾波器及其相位響應(yīng)，重點分析FIR濾波器的特性、處理延時、窗函數(shù)處理，以及FIR濾波器在音頻系統(tǒng)優(yōu)化中的基本應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]濾波器；無限脈沖響應(yīng)；有限脈沖響應(yīng)；音頻系統(tǒng)；頻率響應(yīng)；相位響應(yīng)；處理延時

文章編號：10.3969/j.issn.1674-8239.2016.08.010

1 濾波器簡介

無論是為了補償揚聲器響應(yīng)的非線性，還是為了改變房間的聲學(xué)效果，以均衡形式出現(xiàn)的電子校正手段是針對揚聲器進行補償和校正最為有效的工具之一。常用的音頻濾波器有兩種：IIR和FIR。IIR是無限脈沖響應(yīng)（Infinite Impulse Response）的縮寫，F(xiàn)IR是有限脈沖響應(yīng)（FiniteImpulse Response）的縮寫。這兩種濾波器各有優(yōu)缺點。筆者將對相關(guān)術(shù)語進行解釋，并介紹FIR濾波器在音頻系統(tǒng)優(yōu)化當(dāng)中的若干基本應(yīng)用，希望廣大音頻領(lǐng)域從業(yè)者能夠從中獲得有用的信息。

IIR濾波器是基于無源模擬濾波器的理念來設(shè)計的，這種濾波器具有最小相位（Minimum Phase）的特點。圖1所展示的是一個揚聲器中常見的無源分頻設(shè)計。IIR濾波器通常被用于模擬無源設(shè)計以及數(shù)字信號處理器當(dāng)中。一些與IIR相關(guān)（其中也與FIR相關(guān)）的術(shù)語包括：模擬無源分頻、最小相位濾波器、模擬圖示/參量均衡。而FIR濾波器則通常出現(xiàn)在數(shù)字領(lǐng)域當(dāng)中。

2 相位響應(yīng)

IIR濾波器具有最小相位特性，將它的頻率響應(yīng)做希伯特變換（HilbertTransform）可以計算出相位響應(yīng)，反之亦然。在IIR當(dāng)中，頻率響應(yīng)的改變會導(dǎo)致相位響應(yīng)的改變。最小相位響應(yīng)指的是在一定幅度響應(yīng)條件下可能產(chǎn)生的最小相移。

圖2所示的數(shù)字IIR濾波器包含了一個截止頻率為60Hz，斜率為12dB/oct的巴特沃茲高通濾波器；一個截止頻率為12500Hz，斜率為12dB/oct的巴特沃茲低通濾波器；并且在300Hz以1/3oct寬度衰減3dB，在3000Hz以1/3oct寬度提升3dB。圖2為Filter Hose軟件的截屏。

從圖2中可以觀察到傳遞函數(shù)（圖3-a）和濾波器的脈沖響應(yīng)（圖3-b）。

圖3-a顯示了IIR濾波器的頻率響應(yīng)（紅色曲線）和相位響應(yīng)（綠色曲線）。基于前文的討論，相位會隨著幅度的改變而改變，相位響應(yīng)的走向是其自身特有的，用戶不可以對其進行單獨的調(diào)節(jié)控制。圖3-b顯示了濾波器的脈沖響應(yīng)，其峰值非常接近于0ms。通常由具有最小相位特征的IIR濾波器所引入的處理延時是非常小的（并不是所有IIR濾波器都是最小相位，全通濾波器就是非最小相位濾波器）。

通過FIR濾波器可以獲取一個與圖3幅度響應(yīng)相似的傳遞函數(shù)。圖4是一個采樣率為48kHz，階數(shù)為1024的FIR濾波器。雖然FIR濾波器可以被設(shè)計為最小相位特性，但它強大的功能體現(xiàn)在能夠分別控制頻率和相位響應(yīng)。這種濾波器通常也被稱為線性相位FIR濾波器。

圖4-a顯示了濾波器的脈沖響應(yīng)。如圖脈沖峰值位于10.65ms，由此可以判斷由濾波器產(chǎn)生的處理延時。換句話說，濾波器的輸出將會獲得一個10.65ms的額外延時，這對于現(xiàn)場舞臺返送或者分期錄音來說太長，但對于母帶處理或者不含視頻內(nèi)容的音樂欣賞來說則是可以接受的。

圖4-b顯示了該FIR濾波器的傳遞函數(shù)，該圖通過對脈沖響應(yīng)做周期性移動去除了處理延時，使得圖像的相位響應(yīng)易于觀察和對比?？梢钥吹较辔豁憫?yīng)在0度保持平直（濾波器沒有造成任何相位偏移），而頻率響應(yīng)則與圖3-a相似。

3 數(shù)字FIR濾波器的特性

在數(shù)字音頻領(lǐng)域，采樣率（f_s）是用戶需要認識的最為重要的限制條件。FIR濾波器的性能取決于硬件或軟件的采樣率。人們無法在改變?yōu)V波器采樣率的前提下獲得同樣的效果。

根據(jù)名稱可以知道，一個FIR濾波器具有有限（響應(yīng)）長度，即一定的階數(shù)。FIR的脈沖響應(yīng)是一個數(shù)組，而FIR的階數(shù)則是這個數(shù)組的長度。更高的階數(shù)意味著更高的頻率精度，進而意味著更窄的濾波器和/或更加陡峭的滾降。然而，階數(shù)往往受限于硬件的內(nèi)存量和計算能力。

用采樣率除以階數(shù)，可以計算出濾波器的頻率精度。在圖4所示的例子當(dāng)中，F(xiàn)IR濾波器采樣率為48kHz，階數(shù)為1024。因此其頻率精度為46.875Hz。針對此數(shù)據(jù)做快速估算，可以將頻率精度乘以3，以此得到濾波器可以作用的頻率下限。46.875Hz×3≈141Hz，這意味著具有48kHz采樣率、1024階數(shù)的FIR濾波器將會對141Hz以上的頻率有效。這僅僅是基于采樣率和階數(shù)的粗算，其他計算參數(shù)的引入或者對濾波器的修改將會極大地改變最終的結(jié)果。

為了在低頻區(qū)域（低于200Hz）獲得一個陡峭的高通濾波器，需要一個很高的階數(shù)，這在實際應(yīng)用當(dāng)中是不容易實現(xiàn)的。因此，通常使用一個IIR的高通濾波器作為FIR濾波器的補充。

4 濾波器的處理延時

另一個重要的因素是對濾波器進行編輯。圖4中顯示的FIR濾波器具有10.65ms的處理延時。當(dāng)濾波器脈沖響應(yīng)經(jīng)過周期性移動，并且施加合適的窗函數(shù)后，所獲得的濾波器的傳遞函數(shù)可能發(fā)生改變。請看圖5（6ms處理延時）、圖6（3ms處理延時），并將它們和圖4（10ms處理延時）進行對比。圖4、圖5、圖6當(dāng)中的相位響應(yīng)曲線都通過周期性移動將脈沖響應(yīng)的峰值對齊在0ms，以便于觀察和對比相位響應(yīng)。

可以觀察到低頻滾降是如何改變的，以及低頻區(qū)域的相位響應(yīng)并不如高頻區(qū)域的相位響應(yīng)平直。總的來說，如果允許較長處理延時的存在，F(xiàn)IR濾波器可以對100Hz以下的頻率進行有效的修正。此外，還有一個關(guān)于三分頻號筒負載揚聲器測試的例子。揚聲器的傳遞函數(shù)如圖7所示。

分別使用兩個由不同處理延時生成的FIR濾波器（采樣率48kHz，階數(shù)Ⅳ=2048，頻率精度23.3Hz），僅對揚聲器的相位響應(yīng)做線性修正，不影響其頻率響應(yīng)。圖8和圖9分別顯示了這兩個濾波器的傳遞函數(shù)（a圖）和修正后的輸出情況（b圖）。

圖8所使用的濾波器具有30ms的處理延時。該濾波器的頻率響應(yīng)除了在45Hz附近有所衰減之外，其余幾乎都是平直的。這種設(shè)置能夠很好地對揚聲器系統(tǒng)的相位響應(yīng)做線性化處理。但是如果將處理延時縮短至10ms，那么得到的結(jié)果則會十分不同。

圖9-a顯示的是具有10ms處理延時的FIR濾波器的傳遞函數(shù)。可以看到它的頻率響應(yīng)在80Hz處開始下降。從圖9-b所顯示的揚聲器經(jīng)過處理后的結(jié)果可以看出，該FIR成功地將相位響應(yīng)修正得十分平坦，但低頻響應(yīng)卻無法保持圖7中原始響應(yīng)所具有的下限。5施加窗函數(shù)

從名稱就可以知道，F(xiàn)IR具有一個有限長度的脈沖響應(yīng)。而在制作FIR的過程當(dāng)中，使用者需要定義這個脈沖響應(yīng)截止于何處。FIR對于特定頻率響應(yīng)的控制并不擅長（尤其是低頻），因為需要縮短FIR濾波器的脈沖（因此它被稱為“有限”）。這種縮短脈沖響應(yīng)的操作被稱為“窗函數(shù)”。

通常FIR濾波器的計算基于理想濾波器來進行，在此基礎(chǔ)上再被縮短。以下舉一些關(guān)于窗函數(shù)處理的例子。

圖10顯示的是被稱為矩形窗的窗函數(shù)。它對矩形（窗）內(nèi)所有數(shù)值做等量加權(quán)，并在濾波器的末端做突然截止。這種方法會導(dǎo)致信號振蕩或?qū)IR濾波器處理范圍之外的聲音帶來染色。矩形窗適用于某些特定場合，但通過形狀較為平緩的錐形窗使得濾波器脈沖響應(yīng)的邊緣變得更加平緩則是更具普遍性的做法。圖11所顯示的是Hann窗函數(shù)。這個窗函數(shù)不僅根據(jù)需要的長度截掉了脈沖響應(yīng)的尾巴，還對濾波器的末端進行了錐形化的平緩處理。系數(shù)值在尾巴的末端變?yōu)?。處理延時和窗函數(shù)的設(shè)置和編輯處理對于FIR濾波器的最終結(jié)果十分重要。

6 基于測量制作FIR濾波器

隨著具有FIR功能的DSP愈發(fā)廣泛的使用，制作一個反轉(zhuǎn)傳遞函數(shù)，或者只反轉(zhuǎn)頻率響應(yīng)，或者只反轉(zhuǎn)相位響應(yīng)的FIR濾波器變得越來越普遍。包括Filter Hose在內(nèi)的一些軟件可以幫助使用者定義FIR濾波器，它們基于測量數(shù)據(jù)來制作一個合成濾波器或者用戶自定義濾波器（后者通常用于揚聲器分頻網(wǎng)絡(luò)或針對某個特定的目標曲線，本文對此不做討論）。

根據(jù)測量的數(shù)據(jù)來制作FIR濾波器，其頻響是測量數(shù)據(jù)的反轉(zhuǎn)，經(jīng)過卷積后可以獲得平直的響應(yīng)曲線。以這個為目的的應(yīng)用有以下幾種。

（1）為單一測量點制作反轉(zhuǎn)FIR

對于單一聽音點（例如錄音棚當(dāng)中），可以在“甜點”上做單次測量，以該點測量結(jié)果制作相應(yīng)反轉(zhuǎn)傳遞函數(shù)的FIR濾波器。這對于緩解房間聲學(xué)影響、修正揚聲器非線性有著很好的作用。這種濾波器的系數(shù)是個很長的數(shù)組，但它只針對空間當(dāng)中具體的一點進行修正。

（2）使功率響應(yīng)更加平坦

通過在不同聽音者位置測量頻率響應(yīng)，可以通過對頻率響應(yīng)做平均處理來得到大致的功率響應(yīng)。這種測量應(yīng)針對每只揚聲器單獨進行，并且在測量點多于3個時，對頻率響應(yīng)做平均才會得到好的結(jié)果。做平均只針對振幅響應(yīng)，而不針對相位響應(yīng)。這種測量可以只用RTA（實時測量分析）來進行。這也是補償房間共振特性的有效方法，常用于家庭影院、聽音室或公共場合的音頻系統(tǒng)優(yōu)化。

（3）揚聲器校正

為了實現(xiàn)對揚聲器的正確校正，測量需要在一個受控的聲學(xué)環(huán)境下進行。這里的“受控”指的是進入測量系統(tǒng)的反射聲需要得到控制。進行揚聲器測量最簡單有效的方法是在適宜的天氣環(huán)境下，在室外或很大的房間內(nèi)做地面測量。通過將揚聲器和測試傳聲器放置在光滑的反射地面上，可以得到一個很好的測量數(shù)據(jù)，避免來自地面反射聲的破壞性干涉。當(dāng)使用FIR濾波器對揚聲器的相位響應(yīng)做線性處理時，最好使用在受控環(huán)境中得到的測量結(jié)果。

（4）綜合用途

測量揚聲器并且制作FIR濾波器有很多可能性。可以通過室外地面測量的方式對揚聲器進行校準，制作一個FIR濾波器對揚聲器的近場響應(yīng)做線性化處理。然后再將揚聲器放在特定房間當(dāng)中，通過多點測量來獲得一個功率響應(yīng)或者房間共振補償。這兩個濾波器可以被卷積或合并。與IIR濾波器的合并相同，具有不同功能的FIR濾波器也可以進行合并。

FIR濾波器的獲得方式與IIR有很大的不同。它們都具有一定的優(yōu)點和缺點，最終得到的效果則取決于濾波器制作者的意圖。從本文可以看出，F(xiàn)IR濾波器為音頻領(lǐng)域從業(yè)者提供了又一個有效的工具。

在此，謹感謝Pat Brown和John Loufik對該領(lǐng)域的深入見解，以及在文章發(fā)表前的審閱工作。

（編輯 王芳）