鄒玲

【摘要】 “三垂線定理”是立體幾何中的重要定理.運用三垂線定理證明空間線面垂直與線線垂直的思考方法，對于培養(yǎng)學生空間想象力和邏輯思維能力，有著更加重要而獨到的作用.本文在解讀三垂線定理內涵特征的基礎上，列舉了三垂線定理的應用.

【關鍵詞】 三垂線定理；應用

三垂線定理因其聯(lián)系著一系列主要概念，包括平面的垂線、斜線及斜線在平面內的射影等，而且其證明中包含著較為典型的線面垂直與線線垂直證法，而成為立體幾何中的一個很重要的定理.同時在解決空間的角和距離及其直線與直線垂直問題時，應用三垂線定理及其逆定理，對于培養(yǎng)學生空間想象力和邏輯思維能力，有著更加重要而獨到的作用.因此在立體幾何教學中，必須引導學生正確理解和掌握三垂線定理，充分發(fā)揮三垂線定理在解決空間圖形問題的作用.

一、三垂線定理的解讀

三垂線定理是在線面垂直基礎上來研究直線間垂直關系的重要定理，不僅闡明了平面的垂線、斜線、斜線在平面內的射影和平面內的一條直線的某種位置關系的內在聯(lián)系，并有效溝通了線線關系和線面關系.

1.三垂線定理的本質特征

（1）定理描述

三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

三垂線定理的逆定理：在平面內一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內的射影垂直.

（2）圖形模型

圖 1 （如圖1）設PO，PA分別是平面α的垂線、斜線，OA是PA在平面α內的射影，aα，且a⊥OA，則a⊥PA.

（3）本質特征

垂線定理及其逆定理描述的是斜線、射影和平面內直線之間的垂直關系，實質是空間兩條直線垂直的判定，把空間垂直轉化為相交垂直.斜線及其斜線在平面內的射影與這個平面內的直線的垂直關系不變，是三垂線定理及其逆定理的本質特征.

2.構成三垂線定理的元素

從圖一可以看出，三垂線定理的圖形是由“四線一面”五個元素組成，即垂線PO、斜線PA、射影OA、面內一線直線a和平面α.三垂線定理描述的是三種垂直關系：直線和平面垂直，平面內的一條直線與斜線在該平面的射影垂直，這條直線和斜線垂直，這條直線與斜線可能相交，也可能是異面直線.

二、三垂線定理的應用

作為一種較為典型的證題方法，三垂線定理及其逆定理在解題中有著廣泛的應用.在應用三垂線定理時，既要注意三垂線定理圖形的多樣性，又要注意豎直或傾斜平面上三垂線定理的應用.按照“一定平面，二定垂線，三找斜線，射影就出現”的原則去確認圖形，得出所證的垂直關系，其關鍵是找平面的垂線和斜線在平面內的射影.

1.空間的角和距離問題中的應用

∴點P到DC，BD的距離分別為4 13 ， 4 13 901 .

題意圖形中如果有表示其距離的線段時，只須證明其確為表示距離的線段，再進行計算.如果沒有明顯表示距離的線段，就要先作出，并用三垂線定理加以證明，再計算.

2.在垂直問題中的應用

三垂線定理及逆定理涉及的是直線與直線的垂直問題，因為直線垂直問題可推出線面垂直問題，進而可導出面面垂直.所以在線面垂直、面面垂直問題中也常用到三垂線定理.因此，在解決垂直問題時，應首先考慮是否能使用三垂線定理.

總之，三垂線定理及逆定理是證明線線垂直，點線距、點面距、線面角的計算及二面角的形成中非常有效的工具，在解決空間圖形問題中充分發(fā)揮三垂線定理的作用，不僅有助于學生理解掌握定理，而且對于培養(yǎng)發(fā)展空間想象能力、推理論證能力有著積極的意義.

【參考文獻】

[1] 呂林根，許子道.解析幾何（第三版）[M] .北京：高等教育出版社，2001.

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